一種新的基于稀疏表示的寬帶信號DOA估計方法

趙永紅張林讓 劉 楠 解 虎

（西安電子科技大學(xué)雷達信號處理國家重點實驗室 西安 710071）

一種新的基于稀疏表示的寬帶信號DOA估計方法

趙永紅*張林讓 劉 楠 解 虎

（西安電子科技大學(xué)雷達信號處理國家重點實驗室 西安 710071）

該文提出一種基于稀疏表示的寬帶信號波達方向（DOA）估計方法，解決稀疏表示方法在寬帶信號DOA估計中由于基矩陣維數(shù)過大而使算法存儲量和重構(gòu)計算量大的問題。用單一頻點的基矩陣代替頻率和角度聯(lián)合構(gòu)建的基矩陣，使基矩陣的列數(shù)僅相當(dāng)于一個頻點處冗余基矩陣的列數(shù)，大大降低了稀疏重構(gòu)方法的存儲量和計算量。該方法首先對各頻點的頻域數(shù)據(jù)進行聚焦處理，將不同頻率的數(shù)據(jù)堆疊到參考頻率上并建立參考頻率處的基矩陣，然后建立聚焦后的稀疏表示模型進行DOA估計，并采用奇異值分解進一步降低算法的運算量，最后給出殘差門限的選擇方法。該算法不僅適用于非相關(guān)信號，也可直接處理相關(guān)信號而不需要任何的去相關(guān)運算，且具有高的檢測概率和估計精度，仿真實驗和分析驗證了該方法的有效性。

波達方向估計；稀疏表示；寬帶信號；相關(guān)信號

1 引言

陣列信號波達方向（DOA）的估計一直以來是個熱點問題，主要解決的問題是在噪聲背景下實現(xiàn)對信源的檢測和角度的估計。人們對 DOA估計的研究經(jīng)歷了很長的一段發(fā)展歷程，在此期間也產(chǎn)生了大量的算法，例如經(jīng)典的Capon方法［1］和子空間類方法［2，3］。近幾年來，學(xué)者們基于信號空間分布的稀疏性，將稀疏重構(gòu)的思想用于 DOA估計中，提出了很多基于稀疏表示的DOA估計方法［4-7］，這些方法與經(jīng)典的譜估計方法相比，具有很高的估計精度和分辨能力。

上述研究方法最初都是基于窄帶信號，針對寬帶信號，一般都采用分頻處理模型，得到每個子頻帶的接收數(shù)據(jù)，然后再采用某種方法對各頻帶上的數(shù)據(jù)進行融合處理并給出最終的 DOA估計結(jié)果。文獻［8］基于稀疏重構(gòu)的思想提出了寬帶L1-SVD方法，該方法存在兩個問題，一方面，該方法基矩陣的大小由寬帶信號子頻帶個數(shù)和角度劃分個數(shù)共同決定，當(dāng)頻帶個數(shù)較大時，該算法的存儲量和重構(gòu)計算量將會非常大。另一方面，該方法最終的DOA估計結(jié)果是各個子頻帶估計結(jié)果的平均值，這種處理過程僅僅獨立地利用了每個子頻帶的稀疏性，并沒有有效利用不同頻帶的聯(lián)合稀疏性。文獻［9］提出了L1-SVD方法的擴展方法，對寬帶信號實現(xiàn)了各個子頻帶的聯(lián)合估計，并采用奇異值分解降低了算法的運算量，但是該方法基矩陣的維數(shù)依然很大，并沒有解決L1-SVD方法存儲量和重構(gòu)計算量的問題。文獻［10］基于協(xié)方差矩陣擬合提出了 W-SpSF方法，該方法實現(xiàn)了各個子頻帶協(xié)方差矩陣的聯(lián)合估計，但該方法基矩陣的維數(shù)仍然取決于子頻帶的個數(shù)和角度劃分的個數(shù)，因此也存在存儲量和重構(gòu)計算量大的問題。文獻［11］引入空間頻率的概念，將頻率和角度2維空間降為空間角1維空間，這種方法雖然降低了算法的存儲量和重構(gòu)計算量，但對寬帶信號而言，該算法很難實現(xiàn)各個頻帶之間的聯(lián)合估計。

針對以上問題，本文利用聚焦方法的思想，提出了一種新的基于稀疏表示的寬帶信號 DOA估計方法。該方法將各個子頻帶的頻域數(shù)據(jù)聚焦到參考頻率點上，從而得到相同頻率下的頻域數(shù)據(jù)，然后再利用聚焦后的數(shù)據(jù)進行稀疏重構(gòu)，這時的基矩陣不再依賴于子頻帶的個數(shù)及各個子頻帶的頻點，僅僅與參考頻率和角度的劃分方式有關(guān)。因此，所提方法不但實現(xiàn)了各個子頻帶的聯(lián)合估計，而且降低了基矩陣的維數(shù)，從而實現(xiàn)存儲量和重構(gòu)計算量的降低。

2 信號模型

2.1 寬帶信號的數(shù)學(xué)模型

假設(shè)空間遠(yuǎn)場存在K個寬帶信號，中心頻率均為f，信號帶寬均為B，以角度入射到由N個陣元組成的均勻線陣上，陣元間距為中心頻率的半波長。采用分頻處理模型對寬帶信號進行處理，將其劃分為J個子頻帶，則第i個子頻帶的信號的模型［12］為

ηk為第k個信號的功率， δ（·）表示單位沖激響應(yīng)函數(shù)，為噪聲信號，假設(shè)服從高斯分布，滿足且與目標(biāo)信號不相關(guān)，I為單位矩陣，是i個子頻帶的陣列流形矩陣，c是信號的傳播速度，是陣元間距。

在實際應(yīng)用場合中，寬帶信號源大量存在，因此寬帶信號 DOA估計是值得深入研究的。經(jīng)典的基于信號子空間類的寬帶 DOA估計方法主要分為兩類：非相干子空間法（ISM）［13］和相干子空間法（CSM）［14，15］。ISM 將寬帶信號分解為若干個窄帶信號，然后對每個窄帶信號進行獨立的信號子空間處理，最后將每個窄帶信號估計結(jié)果的均值作為最終的估計結(jié)果。CSM將不同頻點上的信號子空間聚焦到參考頻率上，對聚焦后得到的參考頻率處協(xié)方差矩陣進行子空間處理得到最終的估計結(jié)果。從ISM和CSM的處理過程可以看出，ISM和CSM都存在子空間類方法的不足，即需要估計信源的個數(shù)，而且ISM方法不能直接處理相關(guān)信號。為了克服子空間類方法的不足，學(xué)者們提出了大量基于稀疏表示的寬帶信號DOA估計方法［16，17］。

2.2 基于稀疏表示的DOA估計模型

由于空間信源的個數(shù)相對于整個空域來說是有限的，因而導(dǎo)致信源在角度空間的稀疏性。稀疏表示的主要思想是將陣列流形矩陣過完備化，從而使得目標(biāo)信號矢量稀疏化。假設(shè)集合覆蓋所有可能的目標(biāo)入射方向，Q是空間角度劃分個數(shù)，且滿足Q ＞＞ N，以此構(gòu)造超完備基矩陣在基矩陣的表示下，可以得到第i個子頻帶用于DOA估計的稀疏模型為

最終的 DOA估計結(jié)果由各個子頻帶稀疏重構(gòu)結(jié)果的平均獲得，這種方法的處理過程類似于ISM，并沒有將不同子頻帶的信息聯(lián)合起來，實現(xiàn)頻帶間的聯(lián)合估計，而且不同子頻帶的基矩陣也不同，這樣增加了算法的存儲量和重構(gòu)計算量。為此，本文利用聚焦的思想，不僅實現(xiàn)頻帶間的聯(lián)合估計而且降低算法的存儲量和重構(gòu)計算量。

3 多頻帶聯(lián)合DOA估計方法

3.1基于聚焦變換的寬帶信號DOA估計模型

現(xiàn)有的基于稀疏表示的寬帶信號 DOA估計方法，不管是頻帶間的獨立估計還是頻帶間的聯(lián)合估計，大都存在冗余基矩陣存儲量大和稀疏重構(gòu)計算量大的問題。本文算法將不同頻率的子頻帶信號映射到參考頻率上，只需建立參考頻率點處的冗余字典，從而減小了存儲量，另外該算法對頻域快拍數(shù)沒有要求。對陣列接收的一幀數(shù)據(jù)進行DFT變換，得到的頻域數(shù)據(jù)可以表示為

假設(shè)寬帶信號的參考頻率為 f0，則對于第 i子頻帶，需要構(gòu)造該頻帶上對應(yīng)的聚焦矩陣使得

3.2 基于稀疏表示的寬帶信號DOA估計方法

傳統(tǒng)的基于聚焦矩陣的寬帶信號 DOA估計方法是將不同頻點的陣列數(shù)據(jù)映射到參考頻率上，得到聚焦后單一頻點處的協(xié)方差矩陣，再采用子空間類算法實現(xiàn)角度估計。而本文方法中，不需要計算協(xié)方差矩陣，并且對頻域快拍數(shù)沒有要求。將式（7）中的陣列流形矩陣 A（ f0）進行過完備化，可得到聚焦后用于DOA估計的稀疏模型：

從而提取聚焦后頻域數(shù)據(jù) XT的信號子空間為

容易知道，系數(shù)矩陣S~sv的每一列具有相同的行稀疏結(jié)構(gòu)，因此可以實現(xiàn)聯(lián)合估計。將式（11）的求解轉(zhuǎn)化為式（12）的優(yōu)化形式：

從式（12）可以看出，我們已經(jīng)成功地將目標(biāo)角度θ的參數(shù)估計問題轉(zhuǎn)化為稀疏向量矩陣S~sv的譜估計問題。式（12）的求解是一個優(yōu)化問題，通過簡單的調(diào)整可將其轉(zhuǎn)化為二階錐規(guī)劃的形式：

3.3 門限的選取

式（12）中，殘差門限β是一個非常重要的參數(shù)，用來平衡信號稀疏性和噪聲的影響。由式（11）可以得到

再將式（14）代入式（12）的不等約束中，得到

β的取值必須使式（15）以高概率成立。假設(shè)各個子頻帶的噪聲服從高斯分布且互相獨立，滿足

根據(jù)式（16）可以得到聚焦后的噪聲矩陣 NT=

的每一列獨立同分布且滿足均值為 0，方差為1的高斯分布，根據(jù)文獻［8］可以得到

4 性能分析

本文算法的主要目的是降低稀疏表示方法在寬帶信號分頻處理過程中存儲量和重構(gòu)計算量大的問題，為了說明所提算法大大降低了基矩陣的存儲量和算法重構(gòu)的計算量，現(xiàn)將該算法的存儲量和重構(gòu)計算量與L1-SVD和文獻［9］的方法進行比較，3種算法的求解均采用內(nèi)點法。假設(shè)角度劃分的個數(shù)為Q，陣元個數(shù)為N，后兩種算法采用 SVD降維后重構(gòu)數(shù)據(jù)的列數(shù)均等于目標(biāo)的個數(shù)K， 3種算法基矩陣的存儲量和算法重構(gòu)的計算量列于表1中。

表1 算法存儲量和重構(gòu)計算量對比結(jié)果

表1表明相對于L1-SVD和文獻［9］算法，本文算法的存儲量和重構(gòu)計算量均大大降低，在陣元個數(shù)和目標(biāo)個數(shù)給定的情況下，存儲量和計算復(fù)雜度的大小都與子頻帶的個數(shù)無關(guān)，而僅僅與角度劃分的個數(shù)有關(guān)。L1-SVD算法的存儲量和重構(gòu)計算量隨子頻帶個數(shù)的增加而線性增加，文獻［9］算法的存儲量也隨子頻帶個數(shù)線性增加，而重構(gòu)計算量按指數(shù)倍增加。

為了進一步分析本文算法的性能，我們采用仿真數(shù)據(jù)進行分析。設(shè)天線陣列為均勻線陣，由16個相同的全向陣元組成，陣元間距為寬帶信號中心頻率的半波長，寬帶信號的中心頻率為100 Hz，帶寬為中心頻率的40%。初始角度的獲得由波束形成給出，信號的傳播速度為 c= 340 m/s 。仿真實驗中以第1個頻率點為參考頻點進行聚焦，除實驗3外，其它實驗將寬帶信號劃分為33個子頻帶，所有實驗的頻域快拍數(shù)為1。

實驗 1假設(shè)空間遠(yuǎn)場存在兩個等功率寬帶信號，信噪比為6 dB，一個信號固定在 θ1= 0°，另一個信號的角度為 θ2= θ1+Δθ ，其中角度間隔 Δθ =1°～ 15°，步長為1°。θ2在每個角度方向分別進行1000次獨立的蒙特卡洛實驗，得到重構(gòu)以后能夠正確檢測兩個目標(biāo)的概率隨第2個目標(biāo)角度的變化關(guān)系，其中圖1是非相關(guān)信號，圖2是相關(guān)信號。從圖中可以看出，本文算法不僅適用于非相關(guān)信號，而且也適用于相關(guān)信號，并且兩種情況下，在角度間隔較小時，當(dāng)文獻［9］算法不能檢測時，本文算法仍能以一定的概率正確估計兩個信號。這里我們設(shè)定檢測概率的定義為：在每次實驗中，若估計所得角度與真實角度差的絕對值均小于等于1°，則定義該次實驗為一次正確檢測，否則認(rèn)為檢測失敗。

實驗 2設(shè)定兩個等功率目標(biāo)的來波方向分別為 -3 0°和10°，將其信噪比進行變化，變化范圍為0～15 dB，變化間隔為1 dB。每個信噪比下進行1000次獨立的蒙特卡洛實驗，得到重構(gòu)以后的均方根誤差（RMSE）隨信噪比的變化曲線，其中圖3是非相關(guān)信號，圖4是相關(guān)信號。從圖中可以看出，不管是非相關(guān)信號還是相關(guān)信號，本文算法的均方根誤差均明顯低于文獻［9］算法、L1-SVD算法和傳統(tǒng)的CSM方法，并且更接近克拉美羅界，說明在相同信噪比下，本文算法的估計性能優(yōu)于另外3種算法。這里均方根誤差的定義為其中，H 為在 1000次獨立的蒙特卡洛實驗中的總次數(shù)，K表示目標(biāo)個數(shù)，表示在目標(biāo)有效估計的第h次的第k個目標(biāo)的估計角度， θk為第k個目標(biāo)的真實角度。

實驗 3設(shè)定兩個等功率目標(biāo)的來波方向分別為 -3 0°和10°，信噪比為6 dB，但是將子頻帶的個數(shù)進行變化，變化范圍為10～100，變化間隔為10。每個子頻帶個數(shù)下進行 1000次獨立的蒙特卡洛實驗，得到重構(gòu)以后的均方根誤差隨子頻帶個數(shù)的變化曲線，其中圖5是非相關(guān)信號，圖6是相關(guān)信號。從圖中可以看出，不管是相關(guān)信號還是非相關(guān)信號，在相同子頻帶個數(shù)下本文算法的均方根誤差均明顯小于文獻［9］算法、L1-SVD算法和傳統(tǒng)的CSM方法，并且更接近克拉美羅界，說明在相同子頻帶個數(shù)下本文算法的估計精度高于文獻［9］算法、L1-SVD算法和傳統(tǒng)的CSM方法。均方根誤差的定義和實驗2相同。

圖1 檢測概率隨角度差的變化曲線（非相關(guān)信號）

圖2 檢測概率隨角度差 的變化曲線（相關(guān)信號）

圖3 RMSE隨信噪比的 變化曲線（非相關(guān)信號）

圖4 RMSE隨信噪比的變化曲線（相關(guān)信號）

圖5 RMSE隨子頻帶個數(shù) 的變化曲線（非相關(guān)信號）

圖6 RMSE隨子頻帶個數(shù) 的變化曲線（相關(guān)信號）

實驗 4本實驗主要考察門限選取對 DOA估計結(jié)果的影響。假設(shè)空間遠(yuǎn)場存在兩個等功率寬帶信號，信噪比為10 dB。圖7給出了目標(biāo)角度分別為0°和30°時利用本文算法所得的稀疏空域譜。從圖中可以看出本文算法能夠?qū)蓚€目標(biāo)進行有效的估計。圖8給出了目標(biāo)角度分別為0°和5°時利用本文算法所得的空域譜。從圖中可以看出，在角度間隔較小時，采用理論門限有可能出現(xiàn)偽峰現(xiàn)象，通過調(diào)整門限可以達到抑制偽峰的目的，從而提高本文算法DOA估計的穩(wěn)健性。

實驗 5本實驗主要考察預(yù)估角誤差對本文算法的影響。假設(shè)空間遠(yuǎn)場存在一寬帶信號源，信噪比為15 dB，信號源的真實角度為θ，預(yù)估角度為，預(yù)估角誤差的取值范圍為：0 °～ 12°，每個預(yù)估角誤差下進行 1000次獨立的蒙特卡洛實驗，得到重構(gòu)以后的均方根誤差隨預(yù)估角誤差的變化曲線如圖9所示。從圖中可以看出，當(dāng)預(yù)估角誤差小于瑞利限時，均方根誤差很?。ň∮?°），但當(dāng)預(yù)估角誤差大于瑞利限時，隨著預(yù)估角誤差的增大，均方根誤差急劇增大，這說明初始角度的取值（預(yù)估角誤差小于瑞利限時）對算法的影響不大。

圖7 空域譜（目標(biāo)角度為0°和30°）

圖8 空域譜（目標(biāo)角度為0°和5°）

圖9 RMSE隨預(yù)估角誤差的變化曲線

5 結(jié)論

本文利用聚焦的思想，提出了一種基于稀疏表示的寬帶信號 DOA估計方法。一方面，該方法的存儲量和重構(gòu)計算量均與子頻帶個數(shù)無關(guān)，而取決于陣元個數(shù)，角度劃分個數(shù)以及目標(biāo)個數(shù)，解決了稀疏表示方法在寬帶信號處理中存儲量和重構(gòu)計算量大的問題；另一方面，該方法實現(xiàn)了頻帶間的聯(lián)合估計。另外，對于殘差約束門限的選取，本文給出了一種選擇依據(jù)。該方法不僅可以處理非相關(guān)信號，也可直接處理相關(guān)信號而不需要任何的預(yù)處理，仿真結(jié)果表明，該方法具有高的檢測概率和估計精度。

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趙永紅： 女，1989年生，博士生，研究方向為陣列信號處理.

張林讓： 男，1966年生，教授，博士生導(dǎo)師，研究方向為陣列信號處理、雷達系統(tǒng)仿真.

劉 楠： 男，1981年生，副教授，研究方向為MIMO雷達、網(wǎng)絡(luò)化雷達協(xié)同探測及抗干擾.

解 虎： 男，1987年生，博士生，研究方向為陣列信號處理、空時二維自適應(yīng)處理.

A Novel Method of DOA Estimation for Wideband Signals Based on Sparse Representation

Zhao Yong-hong Zhang Lin-rang Liu Nan Xie Hu
（National Laboratory of Radar Signal Processing， Xidian University， Xi’an 710071， China）

A novel wideband signals Direction-Of-Arrival （DOA） estimation method based on sparse representation is proposed. This algorithm can reduce the storage and calculation of the traditional sparse representation methods in wideband signals process， which is caused by the large dimension of base matrix. The over-complete dictionary is constructed by using one-frequency to replace the 2D combination of frequency and angle. The column number of constructed dictionary only equals to that of single-frequency redundant dictionary. The proposed method first adopts focused thought to stack the different frequency data to the reference frequency and founds the redundant dictionary with a single frequency. Then， a sparse recovery model is established to obtain the DOA estimations，which are coming from following the focus process. At the same time， the Singular Value Decomposition （SVD） is used to summarize each frequency to reduce computation burden further. Finally， an automatic selection criterion for the regularization parameter involved in the proposed approach is introduced. The proposed algorithm can effectively distinguish the correlative signals without any decorrelation processing， and it has higher accuracy and detection possibility. The experiment results indicate that the proposed method is effective to estimate the DOA of wideband signals.

Direction-Of-Arrival （DOA） estimation； Sparse representation； Wideband signal； Correlative signal

s: The National Foundation for Key Laboratory（914XXX1002）； The Fundamental Research Fund for the Central Universities of China （JB140213）

TN957.51

A

1009-5896（2015）12-2935-06

10.11999/JEIT150423

2015-04-13；改回日期：2015-07-03；網(wǎng)絡(luò)出版：2015-08-28

*通信作者：趙永紅 Zhaoyh_2014@163.com

國家重點實驗室基金（914XXX1002）和中央高?；究蒲袠I(yè)務(wù)費（JB140213）資助課題