高階運動目標的長時間相參積累算法

田 超，文樹梁，杜智遠

（1．北京無線電測量研究所，北京100854；2．中國人民解放軍92493部隊，遼寧葫蘆島125001）

高階運動目標的長時間相參積累算法

田 超1，文樹梁1，杜智遠2

（1．北京無線電測量研究所，北京100854；2．中國人民解放軍92493部隊，遼寧葫蘆島125001）

針對具有任意階運動的目標的長時間相參積累問題，提出一種基于多維非均勻快速傅里葉變換（non－uniform fast Fourier transform，NUFFT）的長時間相參積累算法。該算法先在快時間頻域沿慢時間維利用多維NUFFT實現(xiàn)運動補償，然后通過快速傅里葉逆變換（inverse fast Fourier transform，IFFT）最終實現(xiàn)相參積累。該算法積累性能接近理論最優(yōu)且計算量小于已有算法。特別地，對于具有加加速度的運動目標進一步提出基于Wigner－NUFFT的相參積累算法，該算法相比多維NUFFT，計算量大大減小，但對積累前單個脈沖的信噪比提出更高要求。仿真結(jié)果證明了所提算法的有效性。

相參積累；非均勻快速傅里葉變換；高階運動；運動補償

0 引 言

隱身技術(shù)的廣泛應用大大降低了雷達對新一代戰(zhàn)機、導彈等目標的檢測性能［1－2］，因此如何實現(xiàn)對這類雷達截面積較小的目標的檢測已成為亟待解決的技術(shù)問題。利用長時間的信號積累是一種實現(xiàn)微弱運動目標檢測的有效手段，其關(guān)鍵問題是如何實現(xiàn)目標回波的運動補償［3－4］。現(xiàn)有積累算法多是針對勻速運動目標，但實際上目標往往具有加速度甚至更高階的運動參數(shù)，這限制了一些算法的應用，而已有可用于高階運動目標的積累算法主要分為非相參，相參與非相參混合以及相參3類。

非相參積累算法以Hough變換為代表，盡管文獻［5－8］以處理勻速運動目標為例，但所提方法對具有高階運動的目標同樣適用，該方法運算量小，但低信噪比時性能下降明顯。相參與非相參積累算法的主要思想是將回波數(shù)據(jù)分段，近似認為目標在段內(nèi)進行勻速運動，從而利用快速傅里葉變換（fast Fourier transform，F(xiàn)FT）實現(xiàn)相參積累，段間則利用Hough變換進行非相參積累［9］，其低信噪比下的目標檢測性能相比于文獻［5］有所提高，其性能取決于幀內(nèi)相參積累效果。相參積累算法以廣義Radon傅里葉變換（generalized Radon Fourier transform，GRFT）為代表［10］，該算法與相參Hough變換思路有相似之處［11］，且更具一般性，其積累性能更優(yōu)，但由于需要對各階運動參數(shù)進行遍歷搜索，運算量大。另外，勻速目標的相參積累中常用的Keystone變換和線性調(diào)頻Z變換（chirp Z transform，CZT）在補償?shù)粢蚰繕诉\動產(chǎn)生的高階相位項后可以應用［12－14］，這種處理方式可很好地實現(xiàn)相參積累，但其計算復雜度仍難以滿足實時處理的要求。

本文將非均勻快速傅里葉變換（non－uniform fast Fourier transform，NUFFT）推廣到多維并將在快時間頻域沿慢時間維進行目標回波運動補償?shù)膯栴}轉(zhuǎn)換為多維NUFFT（multi－dimensional NUFFT，MNUFFT）的計算問題，利用MNUFFT完成運動補償后通過快速傅里葉逆變換（inverse fast Fourier transform，IFFT）完成相參積累。該方法對具有任意階運動的目標均適用，積累性能可達到理論值，且運算量小于常用相參積累算法。特別針對具有加加速度的運動目標提出了基于Wigner－NUFFT（WNUFFT）的積累方法，該算法進一步減小了實現(xiàn)積累計算復雜度，但對積累前單個脈沖的信噪比亦提出更高要求。

1 各階運動參數(shù)的分辨率

假設雷達發(fā)射的窄帶信號為

式中

Tp為脈沖寬度；Tr為脈沖重復周期；fc為信號載頻；K為調(diào)頻率（K＞0）；φ為隨機初相；Np為發(fā)射脈沖數(shù)。

沿徑向直線運動的目標在時刻t與雷達相距R（t），若回波能量無損失，則根據(jù)式（1）可得第m個脈沖回波經(jīng)混頻后為

式中，p（t）＝rect（t／Tp）exp（jπKt2）；c為光速；λc為波長；為快時間；tm＝（m－1）Tr為慢時間。

由式（2）可得回波快時間維的離散頻譜為

式中，fs為采樣率；fk＝kfs／Ns，k＝0，1，…，Ns，Ns＝fsTr；P（f）為p（t）的頻譜，可由駐定相位原理求得且｜P（fk）｜＝

若目標具有L階運動參數(shù)（L≥2），其運動方程可表示為

記

若存在xn≥0，yn≤0滿足

則R（n）（0）的分辨率即定義為Δn＝xn－yn。

當Tr較小時

根據(jù)定積分的相關(guān)知識，求解滿足式（5）的xn可先轉(zhuǎn)化為求解滿足，進而可得，同理可求得（y′＜0）。由xn和yn的表達式可以發(fā)現(xiàn)，同一運動參數(shù)在不同的fk下對應不同的分辨率，但對于窄帶信號，fk對分辨率的影響可以忽略。

當n＞1時，無法得到解析的y′，只能通過數(shù)值求解，表1列出通過數(shù)值求解得到的各階運動參數(shù)的分辨率。

表1 各階運動參數(shù)的分辨率

若在積累時間內(nèi)某階運動參數(shù)的變化不大于相應分辨單元，則可近似認為該階參數(shù)對相參積累的影響可以忽略，反之則需在運動模型考慮該階參數(shù)。

2 基于MNUFFT的相參積累算法

若記

則式（3）可簡化表示為

令

其中，an為R（n）（0）可能取到的最大值，則對式（8）完成相位補償并沿慢時間維進行累加可得

式中，ln＝0，1，…，Nln；an／Nln與R（n）（0）的理論分辨率相等。

根據(jù)文獻［15］可得

式中

I0（x）為第一類零階修正貝塞爾函數(shù)；un為大于1的常數(shù)，本文均取1．1；Wn為大于1的正整數(shù)，本文均取2；αn略小于π（2－1／un），本文均取π（2－1／un）－0．01；ln＝－Nln／2～Nln／2－1（n＝1，2，…，L）。

將式（10）代入式（9）通過推導可得

其中

以上利用MNUFFT實現(xiàn)相位補償?shù)倪^程主要分為3步：

步驟1 通過擴展長度的插值由一維向量［Sr（fk，t1），Sr（fk，t2），…，Sr（fk，tNp）］T得到L維矩陣U；

步驟2 計算矩陣U的L維FFT；

記

則經(jīng)過對Sf（l′1，…，l′L，fk）作IFFT轉(zhuǎn)換到快時間域從而最終實現(xiàn)對具有高階運動特性的目標的相參積累。

若｜Sf（l′1，…，l′L，n）｜超過檢測門限，則可以根據(jù)相應l′1，…，l′L，n的數(shù)值得到各階參數(shù)的估計值

3 基于WNUFFT的相參積累算法

參照z（n）的離散Wigner－Ville分布的形式將z（n）的WNUFFT定義為

式中，Xm為m的任意函數(shù)。

當目標最高階的運動參數(shù)為加加速度時，根據(jù)式（8）可得第m個脈沖回波的快時間頻譜為

在慢時間維，對Sr（fk，tm）的前Np／2和后Np／2項分別作WNUFFT，可得

其中

式（17）和式（18）可通過一維NUFFT計算得到，且可知l＝（NpTrR（3）（0）／4＋R（2）（0））／Δa2時，｜Wfk（Np／4＋1，l）｜取得最大值；l＝（3 NpTrR（3）（0）／4＋R（2）（0））／Δa2時，｜Wfk（3 Np／4＋1，l）｜取得最大值。

若記｜Wfk（Np／4＋1，l）｜最大值點對應的l為l1，｜Wfk（3 Np／4＋1，l）｜最大值點對應的l為l2，那么可以求得加速度和加加速度的估計值分別為

為盡量保證在高信噪比下對l1和l2進行估計，需將Wfk（Np／4＋1，l）和Wfk（3 Np／4＋1，l）通過IFFT變換到快時間域，進而搜索到峰值點對應的位置，得到l1和l2。

根據(jù)估計的加速度和加加速度值即可補償式（14）中的二次項和三次項，從而得到

此時S′r（fk，tm）可看作勻速運動目標的快時間頻譜，令為速度搜索間隔，一般設為不大于速度分辨率的數(shù)值，對S′r（fk，tm）進行NUFFT，可得

在快時間頻域完成速度、加速度和加加速度的補償后，對Sf（l，fk）作IFFT轉(zhuǎn)換到快時間域，即完成相參積累，并可根據(jù)輸出模值峰值點位置得到初始距離和初始速度的估計值。

基于WNUFFT的長時間相參積累算法的實現(xiàn)流程如圖1所示。

圖1 基于WNUFFT的相參積累算法實現(xiàn)流程圖

4 仿真結(jié)果與分析

由于本文的研究背景是基于某米波全向雷達，故基本仿真參數(shù)設置如下：載頻150MHz，帶寬5MHz，脈沖寬度50μs，調(diào)頻率2×1010Hz／s，脈沖重復周期1ms，接收脈沖個數(shù)1 000，時域采樣率5MHz。

圖2 勻加速運動目標積累結(jié)果

假設目標沿徑向朝雷達勻加速運動，初始速度840m／s，加速度60m／s2，初始距離51．029km，則參考速度R（1）（0）為870m／s，參考距離R0為50．61km。當加速度搜索的最大值100m／s2，搜索間隔數(shù)50時，在無噪聲的情況下利用MNUFFT實現(xiàn)相參積累的結(jié)果如圖2所示。

綜合圖2（a）～圖2（c）可知，積累最大值出現(xiàn)在R0＝50．61km，R（1）（0）＝870m／s，R（2）（0）＝60m／s2處，與期望的數(shù)值一致，說明利用MNUFFT可以有效補償高階相位項，從而實現(xiàn)相參積累。

GRFT作為RFT的多維推廣，可直接在時域?qū)崿F(xiàn)高階運動目標的長時間相參積累。在頻域，通過遍歷搜索并完成高次相位項的補償后，可利用Keystone變換或Chirp Z變換補償剩余的一次相位項，從而完成所有相位項的補償，以便最終完成積累。

在高斯白噪聲背景下，分別利用MNUFFT、Chirp Z變換、Keystone變換和GRFT對勻加速運動目標進行相參積累后的檢測性能曲線如圖3所示，其中虛警概率為10－6。

圖3 高階運動目標相參積累算法檢測性能對比

由圖3可知，若要求檢測概率為0．9，則MNUFFT、Chirp Z變換、Keystone變換和GRFT對應的脈沖壓縮后信噪比與理論值分別相差0．2dB，0．2dB，1．8dB，4．7dB。這說明基于MNUFFT的相參積累算法在積累性能上與Chirp Z變換相同，而優(yōu)于Keystone變換和GRFT。

選用何種積累算法除了考慮其積累性能，實現(xiàn)的計算復雜亦是一項重要依據(jù)。假設速度以及各階加速度的搜索間隔等于各自的分辨率，距離的搜索間隔為c／（2fs），目標速度不超過nb倍盲速。由于各階加速度在實際中出現(xiàn)模糊的可能性遠小于速度，故僅考慮盲速。記k階加速度的搜索間隔數(shù)為Nak（k＝1，2，…，La，La＝L－1）。

實現(xiàn)基于GRFT、Keystone變換、Chirp Z變換和MNUFFT的相參積累算法所需的復乘和復加次數(shù)如表2所示。

表2 高階運動目標相參積累算法實現(xiàn)計算復雜度對比

由表1知，波長為2m，積累1s時，加速度的分辨率為7m／s2，加加速度的分辨率為36m／s3，更高階的加速度因分辨率更低而實際考慮得并不多，因此在計算量的數(shù)值對比中只考慮到加加速度。當Na1＝Na2＝20時，則搜索的加速度和加加速度的最大值分別為140m／s2和720m／s3，能滿足一般應用場景，同時取Ns＝5 000，則實現(xiàn)基于GRFT、Chirp Z變換、Keystone變換和MNUFFT的相參積累需要的復乘次數(shù)隨積累脈沖數(shù)Np和速度模糊數(shù)nb的變化分別如圖4和圖5所示。

由圖4（a）知，基于GRFT和Keystone變換的相參積累算法計算復雜度高于基于Chirp Z變換和MNUFFT的相參積累算法，且隨著脈沖積累數(shù)的增加，基于GRFT和Keystone變換的相參積累算法的相對計算復雜度越來越高。由圖4（b）知，nb＝1時，基于Chirp Z變換的相參積累算法相對于基于MNUFFT的相參積累算法，其計算復雜度隨著脈沖積累數(shù)的增加亦越來越高，但不會高于后者的2倍，當積累脈沖數(shù)為1 000時，實現(xiàn)基于MNUFFT的相參積累算法所需復乘次數(shù)約為基于Chirp Z變換的算法的60%。

由圖5（a）知，基于GRFT、Keystone變換和Chirp Z變換的相參積累算法相對于基于MNUFFT的相參積累算法，計算復雜度隨速度模糊數(shù)的變化不大。由圖5（b）知，隨著速度模糊數(shù)的增大，基于MNUFFT的相參積累算法相對于基于Chirp Z變換的相參積累算法在計算復雜度上的優(yōu)勢越來越小。

綜上所述，若目標速度小于1倍盲速，利用多維NUFFT實現(xiàn)相參積累的計算復雜度相對其他算法的優(yōu)勢最大；若目標速度大于1倍盲速，建議按照常規(guī)思路先通過各階加速度的搜索完成高階相位項的補償，而后利用NUFFT完成一次相位項的補償，這樣可以保證其相對已有算法在計算復雜度上的優(yōu)勢。而對于米波雷達，若合理選擇載頻和脈沖重復頻率，使飛機和一般導彈類目標在1倍盲速內(nèi)是可能的。

圖4 實現(xiàn)相參積累所需復乘次數(shù)隨Np的變化曲線

圖5 實現(xiàn)相參積累所需復乘次數(shù)隨nb的變化曲線

下面驗證基于WNUFFT的長時間相參積累算法的有效性。

假設某運動目標初始速度840m／s，初始加速度60m／s2，加加速度72m／s3，初始距離51．029km。當脈壓前信噪比為－5dB，加速度搜索間隔為2m／s2時，在快時間頻域沿慢時間維進行兩次WNUFFT后轉(zhuǎn)換到快時間域的結(jié)果分別如圖6和圖7所示。

圖6 前Np／2點WNUFFT后IFFT的結(jié)果

圖7 后Np／2點WNUFFT后IFFT的結(jié)果

由圖6知，對前Np／2點作WNUFFT再經(jīng)IFFT轉(zhuǎn)換到快時間域的輸出幅度峰值點對應的加速度數(shù)值為78m／s2，故有＾R（2）（0）＋＾R（3）（0）NpTr／4＝78m／s2；由圖7知，對后Np／2點作WNUFFT再經(jīng)IFFT轉(zhuǎn)換到快時間域的輸出幅度峰值點對應的加速度數(shù)值為114m／s2，故有＾R（2）（0）＋3＾R（3）（0）NpTr／4＝114m／s2，從而可以得到加速度和加加速度的估計值分別為60m／s2和72m／s3。

利用得到的加速度和加加速度估計值對快時間頻譜的二次和三次相位項進行補償，而后沿慢時間進行NUFFT，并轉(zhuǎn)換到快時間域完成積累，其積累結(jié)果如圖8所示。

圖8 完成運動補償后積累結(jié)果

由圖8知，積累峰值出現(xiàn)在（51．03km，840m／s）處，與設定的運動參數(shù)數(shù)值相符，說明實現(xiàn)了有效的積累。

然而，能否達到如圖8所示的理想積累效果，取決于能否實現(xiàn)對初始加速度和初始加加速度的高精度估計，而利用WNUFFT實現(xiàn)對加速度和加加速度的準確估計對回波信號的信噪比提出了較高要求，因此基于WNUFFT的相參積累算法更適用于回波信噪比較高的情況。

記實現(xiàn)基于WNUFFT和MNUFFT的相參積累算法所需復乘次數(shù)分別為CWNT和CMNT。為便于比較，假定Na1＝Na2＝20，Ns＝5 000，則當nb＝1時，CMNT／CWNT隨Np的變化如圖9所示；當Np＝1 000時，CMNT／CWNT隨nb的變化如圖10所示。

圖9 CMNT／CWNT隨Np的變化曲線

圖10 CMNT／CWNT隨nb的變化曲線

由圖9和圖10知，隨著脈沖積累數(shù)和速度模糊數(shù)的增大，CMNT／CWNT趨于某定值，說明基于WNUFFT的積累算法在計算復雜度上的優(yōu)勢在一定范圍內(nèi)的增加后將保持不變，但CWNT仍然比CMNT低2個數(shù)量級。

因此，相對于基于MNUFFT的相參積累算法，基于WNUFFT的相參積累算法極大地降低了計算復雜度，但其對回波脈壓前信噪比亦有相對更高的要求。

5 結(jié) 論

本文針對高階運動目標的相參積累問題，提出了在快時間頻域沿慢時間維利用多維NUFFT進行運動補償后利用IFFT轉(zhuǎn)換回快時間域的方法，相對于已有積累算法，在目標速度不超過1倍盲速時，該方法既不存在積累損失且計算量至少減少40%。特別地，針對具有加加速的目標，進一步提出了基于Wigner－NUFFT的相參積累算法，該算法相對基于MNUFFT算法計算量極大地減小，但對其積累前單個脈沖的信噪比的要求更高。

［1］Li P，Zhou H F，Zhang B．A study on long－term integration based on segmented range［J］．Modern Radar，2012，34（7）：20－24．（李品，周海峰，張飆．基于距離分段的目標長時間積累方法研究［J］．現(xiàn)代雷達，2012，34（7）：20－24．）

［2］Zhang S S，Zeng T，Long T，et al．Dim target detection based on Keystone transform［C］∥Proc．of the IEEE International Radar Conference，2005：889－894．

［3］Bao Q L，Chen Z P，Zhang Y，et．a(chǎn)l．Long term integration of radar signals with unknown Doppler shift for ubiquitous radar［J］．Journal of Systems Engineering and Electronics，2011，22（2）：219－227．

［4］Tian C，Wen S L．A long－term coherent integration algorithm based on non－uniform fast Fourier transform［J］．Journal of Electronics ＆Information Technology，2014，36（6）：1374－1379．（田超，文樹梁．基于非均勻FFT的長時間相參積累算法［J］．電子與信息學報，2014，36（6）：1374－1379．）

［5］Carlson B D，Evans E D，Wilson S L．Search radar detection and track with the Hough transform（I）：system concept［J］．IEEE Trans．on Aerospace and Electronic Systems，1994，30（1）：102－108．

［6］Carlson B D，Evans E D，Wilson S L．Search radar detection and track with the Hough transform（Ⅱ）：detection statistics［J］．IEEE Trans．on Aerospace and Electronic Systems，1994，30（1）：109－115．

［7］Carlson B D，Evans E D，Wilson S L．Search radar detection and track with the Hough transform（III）：detection performance with binary integration［J］．IEEE Trans．on Aerospace and Electronic Systems，1994，30（1）：116－125．

［8］Sun Y，Willett P．Hough transform for long chirp detection［J］．IEEE Trans．on Aerospace and Electronic Systems，2002，38（2）：553－569．

［9］Wu Z P，Wu H Y，Su T．Integration of target energy in 3－D radar data of range－Doppler－time［J］．Systems Engineering andElectronics，2013，35（1）：68－72．（吳兆平，吳惠陽，蘇濤．距離－多普勒－時間三維雷達數(shù)據(jù)中的目標能量積累［J］．系統(tǒng)工程與電子技術(shù)，2013，35（1）：68－72．）

［10］Xu J，Yu J，Peng Y N．Radon－Fourier transform for radar target detection（I）：generalized Doppler filter bank［J］．IEEE Trans．on Aerospace and Electronic Systems，2011，47（2）：1186－1202．

［11］Zeng J K，He Z S，Mahtini S，et al．Modified Hough transform for searching radar detection［J］．IEEE Geoscience and Remote Sensing Letters，2008，5（4）：683－686．

［12］Kirkland D．Imaging moving targets using the second－order Keystone transform［J］．IET Radar Sonar ＆Navigation，2011，5（8）：902－910．

［13］Yu J，Xu J，Peng Y N．Long time coherent integration method for targets with a radial acceleration［J］．Journal of Tsinghua University（Science ＆Technology），2010，50（5）：793－796．（余吉，許稼，彭應寧．徑向勻加速目標的長時間相參積累方法［J］．清華大學學報（自然科學版），2010，50（5）：793－796．）

［14］Yu J，Xu J，Peng Y N．Radon－Fourier transform for radar target detection（III）：optimality and fast implementations［J］．IEEE Trans．on Aerospace and Electronic Systems，2012，48（2）：991－1004．

［15］Karsten F．Non－equispaced fast Fourier transform with applications to tomography［J］．The Journal of Fourier Analysis and Application，2003，9（5）：431－450．

E－mail：qctchao87＠126．com

文樹梁（1971－），男，研究員，博士，主要研究方向為雷達系統(tǒng)和雷達信號處理。

E－mail：wenshul＠sina．com

杜智遠（1976－），男，高級工程師，碩士，主要研究方向為測控總體技術(shù)。

E－mail：51077993＠qq．com

Long time coherent integration algorithm for moving targets with high order motion

TIAN Chao1，WEN Shu－liang1，DU Zhi－yuan2
（1．Beijing Institute of Radio Measurement，Beijing 100854，China；2．Unit 92493of the PLA，Huludao 125001，China）

A long time coherent integration algorithm based on multi－dimensional non－uniform fast Fourier transform（NUFFT）is proposed for moving targets with arbitrary orders of motion．The presented algorithm firstly utilizes multi－dimensional NUFFT to realize motion compensation in the fast－time frequency domain，and then accomplishes coherent integration via inverse fast Fourier transform（IFFT）．The performance of this algorithm is almost optimal while the computational complexity is less than that of the existed algorithms．Especially，another new algorithm with Wigner－NUFFT is used to deal with a target with a jerk．Compared to the algorithm with multi－dimensional NUFFT，the algorithm with Wigner－NUFFT has much lower computational complexity．However，the disadvantage is that a higher signal－to－noise ratio is needed．The simulation results demonstrate the effectiveness of the proposed algorithm．

coherent integration；non－uniform fast Fourier transform（NUFFT）；high order motion；motion compensation

TN 95

A

10．3969／j．issn．1001－506X．2015．06．01

田 超（1987－），男，博士研究生，主要研究方向為雷達總體技術(shù)。

1001－506X（2015）06－1229－08

2014－09－12；

2014－11－16；網(wǎng)絡優(yōu)先出版日期：2014－12－12。

網(wǎng)絡優(yōu)先出版地址：http：／／www．cnki．net／kcms／detail／11．2422．TN．20141212．0901．004．html