非牛頓流體層流微分黏度函數(shù)

劉 濤,劉日成,呂顯瑞,靜 宇

(1.中國石油大學(北京)地球物理與信息工程學院,北京 102249；2.東北石油大學 數(shù)學與統(tǒng)計學院,黑龍江 大慶 163318；3.吉林大學 數(shù)學學院,長春 130012；4.東北石油大學 石油工程學院,黑龍江 大慶 163318)

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研究簡報

非牛頓流體層流微分黏度函數(shù)

劉 濤1,劉日成2,呂顯瑞3,靜 宇4

(1.中國石油大學(北京)地球物理與信息工程學院,北京 102249；2.東北石油大學 數(shù)學與統(tǒng)計學院,黑龍江 大慶 163318；3.吉林大學 數(shù)學學院,長春 130012；4.東北石油大學 石油工程學院,黑龍江 大慶 163318)

為避開用流體力學中的平均值方法求解微分黏度函數(shù)時遇到的奇異問題,基于復合函數(shù)鏈式規(guī)則簡化非牛頓流體的微分黏度函數(shù),并在此基礎上建立微分黏度的3種近似式,針對不同近似式的精確性進行分析和比較,明確了近似式的最佳適用范圍.

鏈式規(guī)則；冪律流體；微分黏度；近似式

文獻[1-2]研究表明,當隨鉆測量儀(MWD)系統(tǒng)中的鉆井液脈沖信號傳輸時,井眼內(nèi)鉆井液的流動狀態(tài)為非穩(wěn)定的瞬變流,該瞬變過程服從水擊現(xiàn)象的基本原理.對于牛頓流體水擊問題,目前已形成了較完備的理論體系.但石油工程中常用的鉆井液是由液相、固相及少量氣相組成的漿體,屬于純黏性無彈性的非牛頓流體[3].對非牛頓流體水擊問題的研究,一般借助牛頓流體一維不穩(wěn)定流動的數(shù)學模型,而基于非牛頓流體流變模式建立的水擊理論目前報道較少[4].

文獻[5]研究表明,要建立嚴格的非牛頓流體水擊方程的解析解非常復雜.以冪律流體為例,其微分黏度函數(shù)是非線性函數(shù),如果不采用冪律流體微分黏度的近似表達式,則可能無法用解析方法研究冪律流體的瞬變流問題.但文獻[5]只給了微分黏度的一種近似式.本文在文獻[5]的基礎上,研究非牛頓流體微分黏度近似表達式的多種求法,并對近似式的精確性進行比較分析,明確微分黏度近似式的最佳適用范圍.本文雖以冪律流體為例討論問題,但這種分析方法對其他類型的非牛頓流體問題同樣適用,具有一般性.

1 微分黏度的精確表達式

文獻[6]研究表明,當冪律流體在圓管內(nèi)做層流運動時,其相關參數(shù)的分布規(guī)律為:

(1)

(2)

(3)

(4)

其中:u表示速度；n表示流性指數(shù)；K表示稠度系數(shù)；(Δp)/L表示壓力梯度；R表示圓管半徑；r表示圓管的徑向距離；V表示平均速度；D表示圓管直徑.進一步可得

(5)

(6)

(7)

a.n=0.1;b.n=0.2;c.n=0.3;d.n=0.4;e.n=0.5;f.n=0.6;g.n=0.7;h.n=0.8;i.n=0.9;j.n=1.0.

其中：-δ=du/dr表示流體層間的速度梯度；δw=-(du/dr)|r=R表示管壁處的速度梯度；x=r/R.對于冪律流體,若用τ表示流體層間的剪切應力,則有τ=K(-du/dr)n.

微分黏度定義[7]為ηd=dτ/dδ.根據(jù)該定義并聯(lián)立上述各式,可得圓管內(nèi)冪律流體層流微分黏度的精確表達式為

(8)

若用ηdw表示管壁處的微分黏度,則由式(8)可得

(9)

(10)

(11)

式(11)表明,ξ或ηd是流性指數(shù)n和空間變量x的函數(shù),當流性指數(shù)n取不同值時,ξ=ξ(x)的函數(shù)圖像如圖1所示.由圖1可見,當n值充分大(一般認為n>0.4)時,除坐標原點附近外,ξ或ηd主要受流體性能參數(shù)n的影響.

2 速度梯度函數(shù)的近似表達式

根據(jù)微分黏度的定義式

(12)

(13)

(14)

由式(14)易見,此時n=1/3是奇點,所以為避開奇異問題,應尋求dτ/dδ的其他近似形式.因為在dτ/dδ中,dτ/dr是常數(shù),與空間坐標無關,所以只要尋求函數(shù)dδ/dr的有效近似方法便可求得較佳的dτ/dδ近似表達式.

2.1 dδ/dr的近似式 按流體力學中的平均值方法處理dδ/dr,可得dδ/dr的近似式:

(15)

令y=δ/δw,仍取x=r/R,可得dy/dx=2/(n+1),進一步得y=2/(n+1)x+C.

根據(jù)文獻[6]可得圖2,其中:曲線為精確曲線;折線OAB表示用直線Ⅰ和Ⅱ?qū)φ鎸嵎植记€進行逼近.由圖2可得:C=(n-1)/(n+1),x0=(1-n)/2.因此可得速度梯度函數(shù)(7)的第一種近似形式,即直線Ⅰ的表達式為

(16)

直線Ⅰ的另一種表達式求法如下：設

(17)

(18)

圖2 dδ/dr與r/R之間的函數(shù)關系Fig.2 Function relation between dδ/dr and r/R

由式(18)知x0=(k-1)/k,所以S2=1/(2k).因為直線Ⅰ應盡量逼近精確曲線,所以可令S1=S2,從而可得k=(n+1)/(2n).又因為k為直線的斜率,所以速度梯度函數(shù)(7)的第二種近似形式,即式(17)為

(19)

(20)

下面將式(16)、式(19)與精確表達式進行比較.當n不取小值時(n≥0.6)比較結果如圖3所示.由圖3可見:當n≥0.6時,除圓管軸心處外,y或δ的近似式與精確式符合良好,可以用y或δ的近似式代替其精確式,誤差不超過5%;式(19)比式(16)精確性高；n值越接近1,近似式的精確性越高.

2.2 分段逼近表達式 分段逼近是指用如圖2所示的折線OAB近似表示精確曲線.為簡便,本文折線由圖2中直線Ⅰ和直線Ⅱ上相應的線段組成,并且直線Ⅰ的表達式為(19).

(21)

(22)

從而可得

(23)

(24)

聯(lián)立式(19)和式(22)可得分段逼近表達式,其為速度梯度函數(shù)(7)的第三種近似形式.將r限定在不同范圍內(nèi),可得dδ/dr的第三種近似式,即聯(lián)立式(23)和式(24).圖4給出了分段逼近式與精確表達式的計算結果.由圖4可見,用折線OAB逼近真實曲線效果更好.

圖3 n取不同值時y或δ的近似式與精確式對比Fig.3 Comparison between the approximation formula and accurate formula of y or δ at different values of n

圖4 n取不同值時用折線逼近精確曲線的結果Fig.4 Results of the broken line approached to precise curve at different values of n

3 微分黏度的近似表達式及比較分析

聯(lián)立式(12),(15),(20),(23),(24),可得如下圓管內(nèi)冪律流體微分黏度的近似表達式：

近似式Ⅰ:

(25)

(26)

近似式Ⅱ:

(27)

(28)

近似式Ⅲ:

(29)

(30)

近似式(25)～(30)與精確式(8),(11)計算結果的對比如圖5～圖7所示,圖中虛線為式(26)或式(25)結果,點線為式(28)或式(27)結果,折線為式(30)或式(29)結果,實線為精確式(8)或式(11)的計算結果.由圖5～圖7可見,各近似式的精確性為：近似式Ⅲ優(yōu)于近似式Ⅱ,近似式Ⅱ優(yōu)于近似式Ⅰ.當n充分大(n≥0.6)時,除圓管軸心外,微分黏度近似式可較好地取代精確式,平均誤差小于5%.

圖5 n取不同值時近似式Ⅰ與精確式的圖像對比Fig.5 Comparison of the images of the approximation formula Ⅰ and the accurate formula at different values of n

由上述結果可見,冪律流變模式能較好地適應流體中、高速度梯度流動規(guī)律的描述,但不適用低速度梯度的情況.在圓管軸心處,r較小時,δ較低,無論n取何值,冪律流體的微分黏度或視黏度都趨于∞,這是冪律流變模式的固有缺陷[8].本文提出的近似式在圓管軸心處與精確式間的誤差在某種程度上對精確式可能具有一定的修正作用.

圖6 n取不同值時近似式Ⅱ與精確式的圖像對比Fig.6 Comparison of the images of the approximation formula Ⅱ and the accurate formula at different values of n

圖7 n取不同值時近似式Ⅲ與精確式的圖像對比Fig.7 Comparison of the images of the approximation formula Ⅲ and the accurate formula at different values of n

4 結 論

1)微分黏度ηd是流性指數(shù)n和空間變量x的函數(shù),一般地,當n>0.4(特別當n≥0.6)時,除坐標原點附近外,ηd主要受流體性能參數(shù)n的影響,與空間變量x無關；

2)本文給出了速度梯度函數(shù)的3種近似形式,并在此基礎上給出了微分黏度的3種近似表達式；

3)當n≥0.6時,除圓管軸心處外,速度梯度δ的近似式與精確式符合良好,可用δ的近似式代替其精確式,相對誤差不超過5%;精確性的比較結果為：分段逼近表達式(即式(22)和式(19)組合)優(yōu)于式(19),式(19)優(yōu)于式(16)；

4)通過微分黏度近似式與精確式的計算及比較分析表明,當n≥0.6時,除圓管軸心處外,微分黏度近似式可以取代精確式,相對誤差小于5%;精確性是:近似式Ⅲ優(yōu)于近似式Ⅱ,近似式Ⅱ優(yōu)于近似式Ⅰ.

[1] 劉修善,蘇義腦.鉆井液脈沖信號的傳輸特性分析 [J].石油鉆采工藝,2000,22(4)：8-10.(LIU Xiushan,SU Yinao.Analysis for the Transmission Characteristics of the Pulse Signal of Drilling Fluid [J].Oil Drilling and Production Technology,2000,22(4)：8-10.)

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(責任編輯：趙立芹)

DifferentialViscosityFunctionofLaminarFlowofNon-NewtonianFluidinPipes

LIU Tao1,LIU Richeng2,Lü Xianrui3,JING Yu4

(1.CollegeofGeophysicsandInformationEngineering,ChinaUniversityofPetroleum(Beijing),Beijing102249,China；2.SchoolofMathematicsandStatistics,NortheastPetroleumUniversity,Daqing163318,HeilongjiangProvince,China；3.CollegeofMathematics,JilinUniversity,Changchun130012,China；4.SchoolofPetroleumEngineering,NortheastPetroleumUniversity,Daqing163318,HeilongjiangProvince,China)

Based on the chain rule of composite function,the differential viscosity function of non-Newtonian fluid was simplified so that the problem of singularity is avoided,which is encountered in solving the differential viscosity function by the average value method commonly used in fluid mechanics.Then three approximation formula of the differential viscosity were established,the precision of the approximations was analyzed and compared,and the optimal scopes of application of the approximations were given.

chain rule；power law fluid；differential viscosity；approximation formula

10.13413/j.cnki.jdxblxb.2015.03.24

2014-09-24.

劉 濤(1984—),女,漢族,博士,講師,從事測井工程數(shù)值分析與仿真的研究,E-mail：liutao_chn@126.com.通信作者：劉日成(1975—),男,漢族,博士研究生,副教授,從事工程數(shù)學方法的研究,E-mail：richengliu@sina.com.

吉林省自然科學基金(批準號：201215038).

O357

：A

：1671-5489(2015)03-0471-07