g-h分布和極值理論下的VaR估計(jì)

丁　芳，董白英

（寧夏師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，寧夏 固原 756000）

g-h分布和極值理論下的VaR估計(jì)

丁芳，董白英

（寧夏師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，寧夏 固原 756000）

采用國(guó)外學(xué)者提出的一種g-h分布，討論了基于g-h分布下的VaR計(jì)算和分布的一些特性，經(jīng)過(guò)研究證明，g-h分布下的VaR估計(jì)比在極值理論下的VaR更能準(zhǔn)確地描述資產(chǎn)收益率的變化，具有很大的柔性。

VaR；g-h分布；極值理論；閾值

風(fēng)險(xiǎn)估值VaR（Risk at Value）是一種被廣泛應(yīng)用的風(fēng)險(xiǎn)量化方法，它是指某種資產(chǎn)的最大可能損失。當(dāng)前有很多種計(jì)算VaR的方法，大體可以分為3類：參數(shù)法、非參數(shù)法和半?yún)?shù)法［1］，通常所說(shuō)的極值理論就屬于一種半?yún)?shù)法。

一般來(lái)說(shuō)投資組合回報(bào)是服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的。但是，實(shí)驗(yàn)證明收益率存在明顯的厚尾和不對(duì)稱現(xiàn)象［2］，并不服從正態(tài)分布。如果利用傳統(tǒng)方法分析則會(huì)導(dǎo)致VaR值的錯(cuò)誤估計(jì)。為了解決這個(gè)問(wèn)題本文引入了一種g-h分布，對(duì)該分布進(jìn)行了研究，研究發(fā)現(xiàn)g-h優(yōu)于極值理論方法，它對(duì)收益率有很好的擬合效果，很好地彌補(bǔ)了正態(tài)分布的不足即不對(duì)稱和后尾現(xiàn)象。

1　　g-h分布

1.1定義

g-h分布的定義最初是由Tukey（1997）［3］提出來(lái)的，經(jīng)過(guò)大量的實(shí)驗(yàn)我們發(fā)現(xiàn)g-h分布比其他分布能更好地處理資產(chǎn)收益率的尖峰厚尾和不對(duì)稱現(xiàn)象。

定義1設(shè)變量Z服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，Y是Z的一個(gè)函數(shù)，則隨機(jī)變量Y的g-h分布為

在式（1）的基礎(chǔ)上引入?yún)?shù)，可得的g-h分布為：

其中參數(shù)g是用于調(diào)整偏度的，參數(shù)h是用于調(diào)整峰度的。當(dāng)g=0時(shí)，g-h分布變?yōu)椋篨0，h（Z）=A+ BZexp（hZ2/2）=A+BYh（Z），稱之為h-分布；當(dāng)h=0時(shí)，g-h分布變?yōu)椋?/p>

稱之為g-分布；他們分別具有厚尾和不對(duì)稱現(xiàn)象。

1.2參數(shù)估計(jì)

在計(jì)算g-h分布下的VaR估計(jì)時(shí)，首先應(yīng)對(duì)參數(shù)進(jìn)行估計(jì)，進(jìn)而可得風(fēng)險(xiǎn)估計(jì)；估計(jì)參數(shù)g、h的方法有很多種，在這里我們采用最常用的一種方法分位數(shù)估計(jì)法［4］。

分位數(shù)估計(jì)法最早是由Tukey提出的。Xp和Zp分別為隨機(jī)變量X和服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的變量Z的第 p（0＜p＜0.5）個(gè)分位數(shù)，則

由Zp=Z1-p得

將式（6）代入式（3）和式（5）中，可得

gp值是隨著p值的不同而變化的。通常，采用gp的均值作為樣本整體的g值，這樣就可以通過(guò)觀察gp的值來(lái)確定g的穩(wěn)定性［5］。兩個(gè)字母值（xp-x1-p）的算數(shù)平均值為mid。如：

其中xp為隨機(jī)變量X的第p分位數(shù)。

得到g值后，可以使用字母距估計(jì)h，字母距LS是指其上分位數(shù)（x1-p）和下分位數(shù)（xp）間的距離

變換以后得

1.3g-h分布的一般化形式

前文始終假設(shè)參數(shù)g和h均為常數(shù)，事實(shí)上gp的值是因p的不同選取而有較明顯變化。因此，為了更準(zhǔn)確地描述參數(shù)g，反映參數(shù)g的變化，應(yīng)將g設(shè)為一個(gè)更復(fù)雜、更一般化的表達(dá)式?？梢酝ㄟ^(guò)令g和h為Z的函數(shù)來(lái)實(shí)現(xiàn)［7］。即：

此時(shí)，式（11）變?yōu)椋?/p>

因此

1.4g-h分布的統(tǒng)計(jì)特性

g-h分布可以分別對(duì)其中某些部分進(jìn)行建模。對(duì)其左右兩側(cè)建?？梢酝ㄟ^(guò)用上下半距分別代替字母距來(lái)完成，公式如下：

其中參數(shù)估值同樣可以采取前文中的取對(duì)數(shù)后進(jìn)行回歸分析的方法得到。

2　g-h VaR法

下面來(lái)介紹基于g-h分布下的VaR估計(jì)即g-hVaR法。在此之前，首先應(yīng)該將g-h分布所需要的參數(shù)給估計(jì)出來(lái)，即參數(shù)A、B、g和h，則要計(jì)算的在一定置信水平下的VaR值就為：

其中CL為置信水平，通常取95%，99%，99.5%和99.9%時(shí)，那么VaR1-Cl就表示在各個(gè)置信度下的VaR值。

3　極值理論

3.1模型介紹

用u表示一充分大的閾值，令X1，X2，…，XNu表示超過(guò)閾值的樣本觀測(cè)值，Y1，Y2，…，YNu表示超額數(shù)，即Yi=Xi-u，i=1，2，…，Nu，其中Nu為超過(guò)閾值u的樣本個(gè)數(shù)。設(shè)x0為回報(bào)分布F的右端點(diǎn)，它不一定是有限值，即

定義X的超額分布函數(shù)為：

其中0≤y≤x0-u，則

當(dāng)設(shè)定的閾值u足夠大時(shí)，F(xiàn)u（y）服從帕累托分布［8］：

其中δ＞0，當(dāng)ε≥0時(shí)，y≥0；而當(dāng)ε＜0時(shí)，0≤y≤-δ/ε。ε確定了GPD尾部的厚度，ε越小尾部越薄，ε越大尾部越厚。根據(jù)帕累托分布函數(shù)性質(zhì)，顯然可得當(dāng)ε＜0時(shí)，y的最大取值為，有上界。

從式（21）可以得到：

將式（22）代入式（23）可得：

則有

適當(dāng)?shù)拈撝祏對(duì)正確估計(jì)參數(shù)ε、δ至關(guān)重要，偏小的閾值會(huì)增大超限點(diǎn)，導(dǎo)致參數(shù)估計(jì)方差降低，偏差增大；閾值太大會(huì)使方差增大。

3.2閾值u的選擇

目前選取閾值u較常使用的有兩種方法：Hill圖法和平均超越函數(shù)［4］，后者是實(shí)際中比較常用的，即取u為超出閾值的樣本點(diǎn)的平均超越量，即

e（u）=E（X-u|X＞u），u≥0

其中 ε＜1，且當(dāng) ε≥0時(shí)，X≥0；ε＜0時(shí)，0≤x≤-δ/ε。顯然e（u）是u的線性函數(shù)?？梢酝ㄟ^(guò)樣本超額均值函數(shù)圖形選取適當(dāng)?shù)拈撝祏。作散點(diǎn)圖，選取u，使得當(dāng)x≥u時(shí) eu（x）是近似線性的。采用Hill估計(jì)來(lái)給出參數(shù)ε和δ的估計(jì)，它們的Hill極大似然估計(jì)量為：

3.3模型的準(zhǔn)確性檢驗(yàn)

VaR模型的準(zhǔn)確性檢驗(yàn)是指我們最后估計(jì)出的VaR值跟實(shí)際的損失進(jìn)行對(duì)比，看是否準(zhǔn)確地把損失控制在一定得范圍內(nèi)。VaR的失敗頻率檢驗(yàn)有很多種方法。本文采用Kupiec提出的似然比率檢驗(yàn)：

其中c為置信度，T為實(shí)際考察天數(shù)，N為失敗天數(shù)。這樣對(duì)VaR模型準(zhǔn)確性檢驗(yàn)就相當(dāng)于檢測(cè)p是否顯著不同與p*。在零假設(shè)p=p*的條件下，LR服從χ2（1）分布。

4　結(jié)論

通過(guò)對(duì)g-h分布下VaR和極值理論下的VaR的理論分析，我們得到，g-h VaR法從理論上來(lái)說(shuō)比極值理論下的VaR有更好的擬合效果，下一步我們將通過(guò)實(shí)證研究證明g-h分布比極值理論能更好地?cái)M合金融資產(chǎn)或者資產(chǎn)組合的收益率，更好地處理了正態(tài)分布所不能處理的尖峰和后尾現(xiàn)象。

［1］潘志斌.金融市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn)度量［M］.上海:上海社會(huì)科學(xué)院出版社，2008.

［2］朱海霞，潘志斌.基于g-h分布的投資組合VaR方法研究［J］.中國(guó)管理科學(xué)，2005（4）：7-12.

［3］吳新林.基于g-h分布的VaR估計(jì)［J］.湖北第二師范學(xué)院學(xué)報(bào)，2011（8）：6-9.

［4］王春峰.金融市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn)管理［M］.天津：天津大學(xué)出版社，2001.

［5］潘志斌，田澎，朱海霞.一種新型的VaR方法：g-hVaR法［J］.系統(tǒng)工程理論方法應(yīng)用，2006（3）：247-250.

［6］潘志斌，田澎，朱海霞.基于極端損失的投資組合VaR方法［J］.上海交通大學(xué)學(xué)報(bào)，2005（10）：1647-1651.

［7］陳倩，李金林，鄒慶忠.基于g-h分布的股票收益率風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值研究［J］.兵工學(xué)報(bào)，2009（1）：175-180.

［8］王新宇.金融市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn)的測(cè)度方法與研究［M］.北京：經(jīng)濟(jì)管理出版社，2008.

g-h Distribution and Extreme Value Theory Under the VaR Estimate

DING Fang，DONG Baiying
（School of Mathematics and Computer Science，Ningxia Normal University，Guyuan 756000，Ningxia，China）

The foreign scholars have put forward a kind of g-h distribution.Based on the distribution of g-h under VaR calculation，a discussion is made of some properties of distribution of extreme value theory.And the VaR were compared，after research proof，the distribution of g-h under VaR estimation in comparison to the extreme value theory under the VaR can more accurately describe the change of assets income rate，which is very flexible.

VaR；g-h distribution；extreme value theory；threshold value

F224.0

A

1672-2914（2015）04-0034-04

2015-05-25

寧夏教育廳高等學(xué)校教育項(xiàng)目（寧教高［2014］222號(hào)）；寧夏師范學(xué)院科研項(xiàng)目（NXSFYB1543）。

丁 芳（1988-），女，寧夏固原市人，寧夏師范學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院教師，研究方向?yàn)榻鹑诠こ獭?/p>