關(guān)于一些群的分解性討論

張濤

（南京財(cái)經(jīng)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院）

關(guān)于一些群的分解性討論

張濤

（南京財(cái)經(jīng)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院）

主要討論群的分解問(wèn)題，要討論群的分解首先要引入直積的概念。而為了接下來(lái)討論的方便，就要給出關(guān)于直積的一個(gè)非常重要的定理。之后，自然地給出了可分解群的概念。通過(guò)舉出兩個(gè)循環(huán)群的例子，得到一類(lèi)循環(huán)群可分解的一個(gè)充分條件，并且通過(guò)算術(shù)基本定理，將這個(gè)結(jié)論推廣到所有的有限循環(huán)群上。然后在此基礎(chǔ)之上，通過(guò)討論循環(huán)群與交換群的關(guān)系，發(fā)現(xiàn)有限交換群與有限循環(huán)群具有相同的分解性。此外，也給出了一些不可分解群的實(shí)例，特別是一個(gè)文字上的對(duì)稱(chēng)群，而具有一些很好的性質(zhì)，通過(guò)這些性質(zhì)得到了一個(gè)群可分解的充分條件。最后給出了一個(gè)群可分解甚至可唯一分解的一個(gè)非常重要的充分條件，并利用這個(gè)反過(guò)來(lái)討論了文章之前所舉的可分解群分解唯一性的問(wèn)題。并且通過(guò)良序性質(zhì)，最后證明了整數(shù)加群滿足降鏈條件而不滿足升鏈條件。

直積；可分解群；對(duì)稱(chēng)群；良序

群分很多類(lèi)，大部分群的結(jié)構(gòu)是未知的。遇到一個(gè)不熟悉的群，為了要弄清它的結(jié)構(gòu)，我們通常會(huì)有如下思路：首先我們可以找出與該群同構(gòu)的而其結(jié)構(gòu)又是已知的群。其次我們可以用構(gòu)造比他簡(jiǎn)單的子群來(lái)表達(dá)，這在討論群的構(gòu)造時(shí)有非常大的作用，特別是在討論群有多少個(gè)同構(gòu)分類(lèi)的問(wèn)題上。而一個(gè)群的構(gòu)造如何用它子群的構(gòu)造來(lái)決定，這就牽涉到群的分解，哪些群是可分解的？哪些群是不可分解的？在本文中，我們嘗試對(duì)一些特定的群進(jìn)行討論，而要討論群的分解，首先要用到直積的概念。

定義1：假設(shè)A，B是群G的子群，并且滿足

（1）A?G，B?G

（2）G=AB

（3）A∩B=E，E是群G的單位元群

那么稱(chēng)G為子群A，B的直積，記作G=A×B，且稱(chēng)A，B為G的直積因子。

有了直積的定義之后，我們?cè)诶弥狈e的性質(zhì)時(shí)，經(jīng)常采用如下定理，再給出定理之前，我們先給出一個(gè)引理：

引理1：群G的子群H，K的乘積HK成群?HK=KH.

證明：必要性：

若HK成群，?h∈H，?k∈K，因?yàn)閗h的逆h-1k-1∈HK，所以kh∈HK KH?HK.

又因?yàn)椋╤k）-1∈HK，令（hk）-1=h′k′，則hk=h′-1k′-1∈KH，所以HK?KH，因此HK=KH.

證明：充分性：

若HK=KH，則?hk∈HK的逆元k-1h-1在KH=HK中，而HKHK=HHKK=HK，所以HK對(duì)乘法封閉，于是HK成群。

有了這個(gè)引理之后，下面的定理就顯得很直觀.

定理1：G=A×B??g∈G能夠唯一的表成g=ab，a∈A，b∈B且A中任意元能與B中任意元交換.

證明：必要性：

因?yàn)镚=A×B，所以?g∈G有g(shù)=ab，若表示不唯一，則于A∩B=E矛盾；又A?G，B?G，所以a（ba-1b-1）=a（ba-1b-1）=（aba-1）b-1∈A∩B=E，所以ab=ba.

證明：充分性：

由條件可得AB=BA，則G=AB，又表示唯一，有A∩B=E.

而gAg-1=abAb-1a-1=aAa-1?A，所以A?G，同理B?G.

有了直積的概念之后，我們可以自然的引入下面的定義.

定義2：一個(gè)群如果能分解為它的真子群的直積，就稱(chēng)為可分解群，否則就是不可分解群。

根據(jù)這個(gè)定義，我們可以知道，如果一個(gè)群可分解，并且其直積因子的結(jié)構(gòu)已知的話，則該群的構(gòu)造就由它的直積因子唯一決定。當(dāng)然，我們可以自然的將上述直積概念推廣將群G表示為n個(gè)子群的直積的情況，即得G=A1×A2×……An的定義。因此若G是有窮群，則有，即G的階數(shù)為它的直積因子的階數(shù)的乘積。

例1.6元循環(huán)群（a）是子群（a2），（a3）的直積，即（a）=（a2）×（a3）為可分解群。

例2.設(shè)G是15元群，15=3×5，由西羅定理可知3西羅子群的個(gè)數(shù)n3=1+3x要整除5，所以G只有1個(gè)3西羅子群G1，同理也只有一個(gè)5西羅子群G2，而一個(gè)群的所有同階西羅子群是彼此共軛的，因此它們都是G的正規(guī)子群。又因?yàn)殡A為素?cái)?shù)的群皆為循環(huán)群，所以G=G1×G2=（a）×（b）=（ab）為循環(huán)群，也就是說(shuō)，15群在同構(gòu)意義下只是循環(huán)群，并且為可分解群。

那么，通過(guò)這兩個(gè)例子我們很可能會(huì)得到這樣一種假象：有限階的循環(huán)群都是可分解群。為此，我們有這樣的一個(gè)結(jié)論：循環(huán)P群和無(wú)窮循環(huán)群都是不可分解群

證明：任取循環(huán)P群的兩個(gè)子群，其階分別為Ps和Pt（s≤t），那么根據(jù)西羅定理，Ps階子群又是Pt階子群的子群，它們的交很明顯不是單位元群；而對(duì)無(wú)窮循環(huán)群來(lái)說(shuō)，我們知道它同構(gòu)于整數(shù)加群Z，對(duì)?（m）＜Z，（n）＜Z除單位元外至少有m，n的最小公倍數(shù)q∈（m）∩（n），所以它的任意兩個(gè)子群的交也不可能是單位元群。那么有限階的循環(huán)群什么時(shí)候可分解呢？其實(shí)通過(guò)上面兩個(gè)例子，我們還是可以看出其中的一般規(guī)律，也就是：

假設(shè)（a）是n=rs階循環(huán)群，其中（r，s）=1，則（a）=（as）×（ar）

證明：因?yàn)椋╮，s）=1，則?u，v，有ru+sv=1，于是a=（ar）n·（as）v，所以（a）=（ar）×（as），令b∈（ar）∩（as），則b=ash=ark，于是sh≡rk（n），也就是說(shuō)sh-rk=mn=mrs，所以sh=r（k+ms），而（r，s）=1，因此r|h，b= ash=asrl=e，即（ar）∩（as）=E，又很容易知道（ar）?（a），（as）?（a），所以（a）=（as）×（ar）。

這個(gè)結(jié)論我們可以進(jìn)一步的推廣得到一個(gè)更一般的結(jié)論：由算術(shù)基本定理，我們知道n的標(biāo)準(zhǔn)分解式為，其中pi為互不相同素?cái)?shù)且ri＞0，（i=1，2，…s）則，所以根據(jù)上面的討論立馬有，再反復(fù)利用上面證明的結(jié)論，我們可以得到有限階循環(huán)群總可以分解為一些循環(huán)p群的直積。我們知道循環(huán)群是交換群，但交換群不一定是循環(huán)群，但我們可以很快推導(dǎo)出一個(gè)循環(huán)群G，其所有的子群都具有 Gm=（am）的形式，其中m是正整數(shù)且m|n，也就是說(shuō)Gm是由群中各元的m乘冪所構(gòu)成。因此石茲后來(lái)證明了其逆，即交換群G，如果它的所有子群都具有Gm的形式，那么G就是循環(huán)群。因此，交換群G是循環(huán)群的充分必要條件是它的子群都是Gm（m是正整數(shù)）的形式。當(dāng)然這里我們需要說(shuō)明一下，如果G不是交換群，Gm不一定成群；如果G是交換群，很明顯又Gm都是G的子群；再對(duì)?m∈Z，Gm都是G的子群，G也不一定就是交換群。直接證明石茲的結(jié)論是很困難的，但不難發(fā)現(xiàn)，石茲的定理可以換一種表述，即有窮交換群是循環(huán)群的充分必要條件是群的元數(shù)為群中所有元數(shù)階數(shù)的最小公倍數(shù)。

證明：必要性：

假設(shè)G=（a）的階數(shù)n=pq，（p，q）=1而G中任意元的階數(shù)要整除n，所以n使他們的公倍數(shù)，又所以n是它們的最小公倍數(shù)。

證明：充分性：

bpn=e，（ab）qn=aqn=e，所以，而（p，q）=1，因此，則pq=n，所以G是循環(huán)群。

那么在此基礎(chǔ)之上，我們可以很明顯地看出，對(duì)于交換 群來(lái)說(shuō)，群的階數(shù)為所有元數(shù)階數(shù)的最小公倍數(shù)，所以其是循環(huán)群，因而其可以分解為一些循環(huán)G群的直積。而我們對(duì)于有窮交換群又有這樣一個(gè)定理

再根據(jù)剛剛證明的結(jié)論，不難發(fā)現(xiàn)對(duì)任意的有限交換群總能分解為一些循環(huán)p群的直積。

例3.12元交換群是它的4元子群和3元子群的直積，此時(shí)元子群子群要么是循環(huán)群，要么是克萊茵4元群B4，而B(niǎo)4又是兩個(gè)12元群的直積，所以12元交換群要么是循環(huán)群，即4元群和元群的直積，要么是兩個(gè)2元群和3元群的直積構(gòu)成的非循環(huán)群。而且我們還可以得到一個(gè)結(jié)論就是任意的有限交換群G能夠分解為階數(shù)是n1的循環(huán)群（ai）的直積，即G=（a1）×（a2）×…（am），并且可以使ni|ni+1i=1，2，…m-1

例4.G=（a1）×（a2）×…×（a5），他們的階數(shù)分別是23，24，3，32，33，令G1=（a3），G2=（a1）×（a4）=（a1a4），G3=（a1）×（a5）=（a1a5），則有G=G1×G2× G3，這時(shí)G1，G2，G3的階數(shù)為3，23，32，24，33。

接下來(lái)，我們要引入一類(lèi)非常重要的不可分解群：對(duì)稱(chēng)群Sn.

引理2：對(duì)稱(chēng)群Sn都是不可分解群

證明：首先證明當(dāng)n≠4時(shí)，除平凡正規(guī)子群外只有An?Sn

假設(shè)A?Sn（n＞4），則（Hn∩An）?An，而當(dāng)n＞4時(shí)，交代群An是一類(lèi)非常重要的單群，所以Hn∩An=A或Hn∩An=E。對(duì)于前者，H?An若H?Sn則有H=Sn；對(duì)于后者，H除包含單位元外其他的都是奇排列，而且它們的平方都是單位元，所以這些奇排列用不同文字的循環(huán)排列的乘積表示時(shí)一定都是對(duì)換的乘積，否則它們的平方就不是單位元。又H不含兩個(gè)奇排列，這是因?yàn)閮蓚€(gè)奇排列的乘積是偶排列必為單位元，從而它們互逆，從而相等。假如s=（ij）…是H所含的奇排列，令t=（ik），k≠j則tst-1=（kj）…∈H，這與H不含兩個(gè)奇排列矛盾。所以H也不含一個(gè)奇排列，因此H=E.

當(dāng)n=4時(shí)，我們能夠很快驗(yàn)證除平凡正規(guī)子群外只有A4?S4， B4?S4，而且E?C4=｛（1），（12）（34）｝?B4=D（A4）?A4=D（S4）?S4，注意這里得到正規(guī)子群具有傳遞性的這樣有誘惑力的結(jié)論，至于傳遞性在何種情況下成立，我們將在下面進(jìn)行討

又D（Sn）=An，所以當(dāng)n≤3時(shí)結(jié)論是顯然成立的。

所以對(duì)稱(chēng)群Sn都是不可分解群。此外當(dāng)n≠6時(shí)，Sn≌Aut（Sn），所以當(dāng)n≠6時(shí)，Aut（Sn）也是不可分解群，所有與對(duì)稱(chēng)群Sn同構(gòu)的群也都是不可分解群。當(dāng)然在這里，我們要注意的是一個(gè)群自身的性質(zhì)一般是不能轉(zhuǎn)移到它的自同構(gòu)群上的。

例5.無(wú)窮循環(huán)群（a）的自同構(gòu)群是2元循環(huán)群，當(dāng)（a）是n元循環(huán)群的時(shí)候，它有φ（n）個(gè)生成元ar，這里φ（n）表示關(guān)于n的歐拉函數(shù)，其中（r，n）=1，所以它的自同構(gòu)有個(gè)φ（n）個(gè)，即σ（ra）=ar，所以這時(shí)（a）的自同構(gòu)群與Z-（n）中所有的，（r，n）=1，對(duì)乘法形成的群同構(gòu)，所以循環(huán)群的自同構(gòu)群只是交換群，不一定是循環(huán)群。此外不同構(gòu)群的自同構(gòu)群也可能同構(gòu)，例無(wú)窮循環(huán)群和3元循環(huán)群的自同構(gòu)群都是2元群。

但是對(duì)稱(chēng)群Sn有一類(lèi)特殊的性質(zhì).

命題1：當(dāng)n≥3時(shí)，Z（Sn）=E

證明：取??≠（1），則?i≠j，使得?（i）=j，令σ∈Sn，使得σ（i）= k，k≠i，j并且保持其他元素不動(dòng)，則σ?（i）=?（k）≠j，σ?（i）=j，顯然σ?≠?σ，所以??≠（1）?Z（Sn）.

在此基礎(chǔ)之上，我們又知道當(dāng)n≠6時(shí)，對(duì)稱(chēng)群Sn的自同構(gòu)群都是內(nèi)同構(gòu)群，我們稱(chēng)這樣的群為完全群，對(duì)于完全群我們有一個(gè)重要的定理。

定理3：如果H?G且H又是完全群，那么G=H×Z（H），其中Z（H）為H的中心化子。

因此，在此定理基礎(chǔ)之上，我們可以得到一個(gè)推論：如果SnΔG，n≠2，6那么群G就是可分解群。

在上面的討論中，我們留下了一個(gè)問(wèn)題，即正規(guī)子群在何種情況下具有傳遞性。為了解決這個(gè)問(wèn)題，我們首先得引入一個(gè)定義。

定義3：如果一個(gè)群能夠分解為它的真單子群的直積，則稱(chēng)該群為完全可分解群.

例6.15元群可以分解為3西羅子群和5西羅子群的直積，并且兩者均為單群。對(duì)于完全可分解群的性質(zhì)，我們有如下兩個(gè)已知的定理.

定理4：假設(shè)G是完全可分解群，A是它的任意正規(guī)子群，則存在一正規(guī)子群B，使得G=A×B.這就是說(shuō)，完全可分解群的任意正規(guī)子群是它的直積因子。

定理5：完全可分解群的正規(guī)子群是完全可分解群，完全可分解群的商群也是完全可分解群。

有了這兩個(gè)定理，現(xiàn)在我們可以來(lái)解決上述的問(wèn)題了。

命題2：在完全可分解群中，正規(guī)子群這個(gè)關(guān)系適合傳遞性。

證明：設(shè)G為完全可分解群，A?G，則?B?G有G=A×B，所以A∩B=E，且A中任意元能與B中任意元交換。又設(shè)A1?A，則?g∈G，當(dāng)?g∈A時(shí)，gA1g-1?A；當(dāng)g∈B時(shí)，gA1g-1=A1gg-1?A，所以A1?G.

在上面我們相繼介紹了直積，可分解群與不可分解群的定義，并且舉了一些可分解群與不可分解群的實(shí)例之后。我們不禁要提出這樣的疑問(wèn)為了要搞清一個(gè)復(fù)雜群的結(jié)構(gòu)時(shí)，我們何時(shí)才能將其分解或唯一分解成一些不可分解群的直積呢？雖然我們上面推導(dǎo)出了有限階循環(huán)群總可以分解為一些循環(huán)p群的直積這樣的結(jié)論，但是將循環(huán)群的條件去除以后結(jié)論就不一定正確了。

對(duì)此克努爾，雷馬克，許密特有一個(gè)重要定理，在給出定理之前我們首先給出一個(gè)定義

定義4：群G叫做滿足（正規(guī)）子群的升鏈條件，是指對(duì)于G的每個(gè)（正規(guī)）子群鏈G1＜G2＜…，均存在一個(gè)整數(shù)n，使得當(dāng)i≥n時(shí)有Gi＜Gn；G叫作滿足（正規(guī)）子群的降鏈條件，是指對(duì)于G的每個(gè)（正規(guī)）子群鏈G1＞G2＞…，存在一個(gè)整數(shù)n，使得當(dāng)i≥n時(shí)有Gi=Gn.

定理6：若群G滿足正規(guī)子群的升鏈條件或降鏈條件，那么G就能夠分解為有限個(gè)不可分解子群的直積。若G滿足同時(shí)正規(guī)子群的降鏈條件及升鏈條件，那么G就能夠唯一的分解為有限個(gè)不可分解子群的直積，也就是說(shuō)如果有G=G1×G2…Gh，G=H1×H2×…× H4其中Gi，Hi都是不可分解子群，那么h=k，并且適當(dāng)?shù)母淖冺樞蚩梢允笹i≌Hi。

例7：很明顯，我們由定義可以很快的看出任意有限群均同時(shí)滿足升鏈條件和降鏈條件，所以上面所講的，有限循環(huán)群或有限交換群的直積分解均是唯一的。

例8：整數(shù)加群Z滿足子群的升鏈條件但不滿足降鏈條件

證明：Z的子群的形式為（m）=｛km |k∈Z ｝，并且若（m）＜（n）則有n|m，而對(duì)于自然數(shù)集N，按照自然的數(shù)的大小關(guān)系，其成為一個(gè)良序集，即每個(gè)非空子集均具有一個(gè)最小元。所以Z滿足正規(guī)群列的升鏈條件，又Z是可數(shù)集，所以不滿足正規(guī)群列的降鏈條件而是無(wú)窮循環(huán)群，不可分解。

群的分解很重要，它能夠在我們弄清楚群的結(jié)構(gòu)的過(guò)程中提供幫助。在群的分解基礎(chǔ)之上，我們可以進(jìn)一步的討論群的同構(gòu)分類(lèi)問(wèn)題，甚至我們進(jìn)一步的可以在某些特定的情況下開(kāi)始討論一個(gè)群的子群的個(gè)數(shù)問(wèn)題，這是群里中主要的問(wèn)題之一，在一般情況下，這個(gè)問(wèn)題沒(méi)有解決。密勒爾曾經(jīng)通過(guò)子群的個(gè)數(shù)及性質(zhì)來(lái)討論群的構(gòu)造，取得了許多好的結(jié)果，當(dāng)然這是我們以后要研究的問(wèn)題了。

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·編輯 薛直艷