基于空域加擾信號(hào)超平面特征的竊密算法

劉璐，金梁，黃開(kāi)枝，鐘州

(國(guó)家數(shù)字交換系統(tǒng)工程技術(shù)研究中心，河南 鄭州 450002)

1 引言

無(wú)線通信技術(shù)在給人們帶來(lái)便利的同時(shí)，其信息安全問(wèn)題也日益突出。傳統(tǒng)的無(wú)線保密通信主要是照搬有線通信中的密鑰體制，忽略了無(wú)線通信與有線通信的差異性。在無(wú)線通信系統(tǒng)中，不同用戶的接收信號(hào)是有差異的，這種差異使得在物理層實(shí)現(xiàn)保密通信成為了可能。

Wyner[1]首先提出在竊密信道(wiretap channel)中，僅依靠物理層的編碼即可實(shí)現(xiàn)保密通信，并且給出了保密容量的概念。Csiszár等人在文獻(xiàn)[2]中指出，對(duì)一般的高斯廣播信道，如果主信道容量大于竊聽(tīng)信道容量時(shí)，系統(tǒng)保密容量大于零。然而實(shí)際中，竊聽(tīng)者的方位信息一般未知，無(wú)法確定其信道狀態(tài)的優(yōu)劣，若竊聽(tīng)者的信噪比高于接收用戶，則無(wú)法保證通信的保密性。為了解決這一問(wèn)題，Goel、Negi、Li等人從不同的角度分別提出了多天線保密通信的新方法[3～6]。這些方法的相同點(diǎn)可以概括為：發(fā)送端在主信道方向上發(fā)送信息波束，同時(shí)在其零空間發(fā)送人工噪聲。隨機(jī)加入的噪聲僅僅惡化竊聽(tīng)方信號(hào)的接收質(zhì)量，而合法用戶的正常通信不受影響，因而存在正的保密速率。這種利用空間方位的不同進(jìn)行加密的方法，可統(tǒng)稱為空域加擾法[7]。

當(dāng)竊聽(tīng)者采用多天線接收時(shí)，Goel和Negi指出，人工噪聲會(huì)失效[4]，但沒(méi)有提出相應(yīng)的竊密思路；Li在數(shù)學(xué)上證明了竊聽(tīng)方無(wú)法通過(guò)盲解卷積的方法對(duì)空域加擾信號(hào)進(jìn)行竊密[6]，但尚不清楚能否通過(guò)其他方式竊密。近幾年，關(guān)于空域加擾法的研究主要集中于優(yōu)化信號(hào)與噪聲的功率分配[8,9]，以進(jìn)一步提升保密速率。而相應(yīng)的竊密算法研究較少。直到近期，吳飛龍等人提出了MUSIC-like竊密算法[7,10]，該算法利用信號(hào)子空間與噪聲子空間正交的特性，對(duì)有限字符集內(nèi)所有可能出現(xiàn)的信號(hào)序列進(jìn)行遍歷搜索，實(shí)現(xiàn)信息的獲取。該算法存在計(jì)算開(kāi)銷過(guò)大的缺點(diǎn)。同時(shí)，受限于計(jì)算復(fù)雜度，其遍歷塊的長(zhǎng)度往往較短，算法性能易受噪聲影響，因而很難在實(shí)際中應(yīng)用。

針對(duì)這一問(wèn)題，本文從空域加擾信號(hào)的信號(hào)空間角度出發(fā)，首先證明了發(fā)送天線數(shù)小于或等于竊聽(tīng)天線數(shù)時(shí)，加擾信號(hào)呈現(xiàn)出平行的超平面分布特征，并指出這是多天線能夠竊密的根本原因。然后利用該特征，提出了一種超平面聚類算法，通過(guò)選取一組相互平行的超平面去逼近接收信號(hào)，利用樣本獲取超平面參數(shù)，進(jìn)而破解信息。分析與仿真表明，該算法比MUSIC-like法在抗噪聲性能上提升了8～10 dB，計(jì)算復(fù)雜度低6～10個(gè)數(shù)量級(jí)，能夠用于實(shí)時(shí)解調(diào)。

2 系統(tǒng)模型

保密無(wú)線通信模型如圖1所示，發(fā)送端Alice向合法用戶Bob發(fā)送信息，遭到非法用戶Eve的竊聽(tīng)。其中，Alice天線數(shù)用Na表示，Bob單天線，Eve天線數(shù)用Ne表示。

圖1 系統(tǒng)模型

窄帶通信系統(tǒng)中，Alice和Bob之間的主信道可以用向量hAB=[h1,h2,…,hNa]T表示，其中，hi為Alice的第i根發(fā)送天線到Bob接收天線之間的信道增益，上標(biāo)T表示矩陣轉(zhuǎn)置。Alice到Eve的竊聽(tīng)信道可以表示為一個(gè)Na×Ne的矩陣

其中，hij為Alice的第i根發(fā)送天線到Eve的第j根接收天線之間的信道增益。假定所有信道都是慢衰落信道，信道增益在一個(gè)數(shù)據(jù)幀內(nèi)保持不變，并且在不同幀之間獨(dú)立同分布。Alice在時(shí)刻n發(fā)送信號(hào)矢量x(n)，Bob和Eve接收到的信號(hào)分別為

其中，nB(n)和nE(n)分別是n時(shí)刻Bob和Eve天線上接收到的加性高斯白噪聲表示酉空間的內(nèi)積，上標(biāo)H代表矩陣共軛轉(zhuǎn)置。

3 加擾信號(hào)的超平面特征

空域加擾的思想是Alice根據(jù)hAB對(duì)發(fā)送信息進(jìn)行隨機(jī)映射，即利用多天線技術(shù)在主信道的零空間內(nèi)對(duì)傳統(tǒng)的星座點(diǎn)進(jìn)行高維展開(kāi)。Bob首先發(fā)送訓(xùn)練序列給Alice，Alice通過(guò)信道估計(jì)得到hAB。假定Alice的發(fā)送符號(hào)集為U={u1,u2,…,um}，其中m為發(fā)送符號(hào)集的大小。Alice在時(shí)刻n發(fā)送符號(hào)u(n)∈U，并用主信道單位方向?qū)π畔⑦M(jìn)行波束成型調(diào)制

其中，v(n)=[v1(n),v2(n),…,vNa-1(n)]T為人工噪聲系數(shù)，是服從某種分布的隨機(jī)變量(一般假定其各元素獨(dú)立同分布，且服從復(fù)高斯分布)，并且與發(fā)送信息u(n)相互獨(dú)立；Z=[β1, β2,…, βNa-1]為hAB零空間的一組正交基，滿足＜ βi, hAB＞=0，i=1,2,…, Na-1。

Alice將調(diào)制信息同人工噪聲疊加后發(fā)送，即x(n)為

可見(jiàn)，x(n)是u(n),v1(n), v2(n),…, vNa-1(n)分別對(duì)主信道以及Na-1個(gè)零空間基向量進(jìn)行調(diào)制疊加的結(jié)果。只有主信道方向攜帶信息，其他分量均為人工噪聲。

定理1 加擾信號(hào)x(n)的星座圖呈m張平行的超平面分布，每個(gè)超平面對(duì)應(yīng)一個(gè)原始發(fā)送符號(hào)u(n)，主信道方向?yàn)槌矫娴姆ň€方向，u(n)為超平面的偏移量。

證明 將x(n)向主信道投影，得到

在幾何學(xué)中，集合H={x∈Cn|＜x, w＞}為n維酉空間中的一個(gè)超平面(hyperplane)[11]。其中，b∈C，被稱作H的偏移量；w∈Cn且|| w ||=1，被稱作H的法向量?？梢?jiàn)，H被法向量和偏移量唯一決定，因此可以用(w,b)來(lái)簡(jiǎn)化表示H，其幾何意義如圖2所示，代表在w方向上投影為b的點(diǎn)組成的集合。當(dāng)且僅當(dāng)H1∩H2=?時(shí)，稱超平面H1與H2相互平行，記作H1//H2。

圖2 超平面示意

圖3 加擾信號(hào)星座圖的超平面分布(2根發(fā)送天線，QPSK調(diào)制)

定理1從幾何的角度揭示了空域加擾的本質(zhì)，雖然它隨機(jī)置亂了發(fā)送星座圖，但為了讓Bob能夠常規(guī)解調(diào)，置亂的信號(hào)依然需要服從一定的規(guī)則，即星座點(diǎn)只能在相應(yīng)的超平面內(nèi)隨機(jī)置亂。定理2解釋了空域加擾法在Ne≥Na時(shí)失去保密性的根本原因：當(dāng)竊聽(tīng)天線數(shù)目充分多時(shí)，Eve相當(dāng)于在另一組基下觀測(cè)加擾信號(hào)，而空間超平面的幾何關(guān)系具有旋轉(zhuǎn)和平移的不變性，并不會(huì)隨基的變化而改變。所以超平面特征是Eve截獲信息的突破口。

4 超平面聚類竊密算法

基于加擾信號(hào)的上述幾何特征，設(shè)計(jì)超平面聚類法(HC, hyperplane clustering)進(jìn)行竊密。該算法利用m張平行的超平面對(duì)一幀內(nèi)前K個(gè)接收信號(hào)y1, y2,…,yK進(jìn)行聚類，得到最佳超平面參數(shù)w?和如圖4所示，Eve利用所得到的參數(shù)，對(duì)該幀信號(hào)進(jìn)行解調(diào)。

設(shè)dij為yi到Hj的距離的平方，即

建立目標(biāo)函數(shù)為

圖4 竊密解調(diào)器

其中，b=(b1,b2,…,bm)T代表m張超平面的偏移量；w是共同的法向量；布爾矩陣δ=(δij)K×m滿足

即用m張平行的超平面去逼近K個(gè)接收信號(hào)樣本點(diǎn)，且“逼近效果”用各點(diǎn)離超平面最小距離的平方誤差之和來(lái)衡量。采用如下的方法對(duì)式(12)迭代求解。

1) 0n=，并隨機(jī)初始化(0)w和(0)b。

3) 最優(yōu)化w和b，并重新劃分超平面。即在式(12)中，對(duì)w和b分別求偏導(dǎo)，并令導(dǎo)數(shù)為零（詳細(xì)計(jì)算過(guò)程見(jiàn)附錄），可得

其中，A為對(duì)稱矩陣，且

4) n=n+1，重復(fù)步驟2)和步驟3)，直至w和b收斂到

5 性能仿真和復(fù)雜度分析

本節(jié)仿真驗(yàn)證所提算法，討論參數(shù)：Ne、K、Eve接收信噪比SNR以及信干擾比SIR(Alice信息發(fā)送功率與干擾發(fā)送功率的比值，SIR越小，干擾功率越大)對(duì)竊聽(tīng)BER(誤比特率)的影響。并且在相同條件下，將超平面聚類法(HC)的BER以及計(jì)算復(fù)雜度同現(xiàn)有的MUSIC-like法進(jìn)行比較。

5.1 性能仿真

性能仿真參數(shù)如表1所示。

表1 仿真參數(shù)

1) 聚類樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)K的影響

由于竊聽(tīng)方無(wú)法獲取訓(xùn)練樣本，只能通過(guò)盲辨識(shí)途徑截獲信息，因此需要利用較多的接收樣本點(diǎn)（該樣本點(diǎn)所攜帶的具體信息未知）校正超平面參數(shù)。從幾何角度看，只有接收信號(hào)足夠多時(shí)，其超平面分布的特征才會(huì)更加明顯。如圖5所示，開(kāi)始時(shí)，BER大幅下降，但K增大到一定程度后，BER不再顯著變化。因此，綜合考慮竊密性能和計(jì)算復(fù)雜度，樣本數(shù)無(wú)需過(guò)大，下面仿真中均取K=200。

圖5 聚類樣本個(gè)數(shù)K對(duì)算法性能的影響(SNR=10 dB)

2) 算法收斂性

將式(9)和式(10)所示的理論值與HC所獲得的估計(jì)值進(jìn)行對(duì)比，分別在大小信噪比下驗(yàn)證算法的收斂性。結(jié)果如圖6所示，其中，用向量夾角衡量和w的誤差，用衡量偏移量誤差?？梢?jiàn)，算法收斂速度較快，且在大信噪比下能夠逼近實(shí)際值，同時(shí)，算法收斂性隨天線數(shù)增大而改善。

圖6 算法的收斂性(SIR=0 dB)

3) 抗噪聲性能

在Alice采用相同功率發(fā)送干擾和信息的條件下，Eve的信息截獲性能如圖7所示。同MUSIC-like算法相比(設(shè)其遍歷塊長(zhǎng)度 ?9K=)，HC法的BER曲線向左平移了約8～10 dB。原因分為兩方面：從MUSIC-like方法來(lái)說(shuō)，其計(jì)算復(fù)雜度隨?K呈指數(shù)增長(zhǎng)，所以?K的取值不能太大(通常取6～9，遠(yuǎn)小于K)，無(wú)法充分利用樣本信息，易受信道噪聲影響；從HC算法來(lái)說(shuō)，向法向量w做投影的過(guò)程，不僅保留了信息成分、抵消了人工噪聲，同時(shí)也消除了信號(hào)空間中其他方向上的噪聲。所以，HC的抗噪性優(yōu)于MUSIC-like算法。

圖7 竊密算法的BER性能(SIR=0 dB)

4) 信干擾比的影響

信干擾比對(duì)算法解調(diào)性能的影響如圖8所示。隨著SIR的提升，HC法的誤碼率急劇下降。這是因?yàn)镾IR越大，超平面間距越大，相應(yīng)聚類效果就會(huì)越好。然而，MUSIC-like法沒(méi)有利用該特征，性能提升較小。

圖8 SIR對(duì)算法性能的影響(SNR=2 dB)

5.2 計(jì)算復(fù)雜度分析

HC法利用了超平面特征對(duì)信號(hào)建模分類，其計(jì)算復(fù)雜度主要集中于算法的第2步，需要乘累加個(gè)數(shù)約為O(mKNe)。得到和后，解調(diào)一幀符號(hào)所消耗的乘累加數(shù)約為O(LNe)。因此，共需消耗乘累加數(shù)約為O(TmKNe+LNe)，其中，T為迭代次數(shù)；而同樣條件下，由于需要遍歷符號(hào)集，MUSIC-like 法計(jì)算復(fù)雜度較高，消耗乘累加數(shù)約為

為了直觀地對(duì)比2種算法的計(jì)算量，假設(shè)Alice采用表2所示的物理層參數(shù)（為3GPP2推薦的標(biāo)準(zhǔn)物理層格式[12]）發(fā)送加擾信號(hào)，Eve實(shí)時(shí)解調(diào)所需處理速度如圖9所示?？梢?jiàn)MUSIC-like法所需的處理速度大大超出常規(guī)DSP器件的處理速度（約1 000億次乘加運(yùn)算/秒，MMAC）。而HC法比MUSIC-like法的計(jì)算復(fù)雜度下降了6～10個(gè)數(shù)量級(jí)，目前DSP器件的運(yùn)算速度能夠滿足其實(shí)時(shí)處理的需求。

表2 物理層幀格式

圖9 實(shí)時(shí)解調(diào)所需運(yùn)算速度

6 結(jié)束語(yǔ)

在文獻(xiàn)[7]的研究基礎(chǔ)之上，本文對(duì)空域加擾法做了更為深入的分析，從幾何角度入手，指出了竊密的可行性在于加擾信號(hào)存在超平面分布特征，并據(jù)此設(shè)計(jì)了超平面聚類算法，完成信息截獲。HC法比現(xiàn)有的MUSIC-like算法抗噪性能好，計(jì)算復(fù)雜度低，便于實(shí)際應(yīng)用。若要利用空域加擾法實(shí)現(xiàn)保密通信，一方面要縮短幀長(zhǎng)來(lái)隱藏超平面特征；另一方面也可以優(yōu)化加擾圖案，零空間內(nèi)的高斯白噪聲能被多天線分離，并不具有隱蔽性，反而容易暴露超平面特征。如何設(shè)計(jì)具有信息隱蔽性的加擾圖案，值得進(jìn)一步研究。

附錄 式(14)和式(15)的證明

設(shè)復(fù)向量a, x∈Cn，b∈C，令y=xHa+b ，為了方便對(duì)x的實(shí)部和虛部分別求偏導(dǎo)，可將n維復(fù)向量看作2n維實(shí)向量進(jìn)行處理：

其中，下標(biāo)r和i分別代表相應(yīng)變量的實(shí)部和虛部，即x=xr+j xi，a=ar+jai，y=yr+jyi，b=br+jbi，并且

式(18)中的元素均為實(shí)數(shù)，而

所以利用實(shí)數(shù)求導(dǎo)公式可以得到

令偏導(dǎo)為零，可得

將式(22)和式(23)轉(zhuǎn)換成相應(yīng)的復(fù)數(shù)形式，即

將式(24)、式(25)代入對(duì)式(12)的求導(dǎo)過(guò)程中，即可得到式(14)、式(15)。

[1] WYNER A D. The wire-tap channel[J]. Bell System Technical Journal,1975, 54(8): 1355-1387.

[2] CSISZáR I, K?RNER J. Broadcast channels with confidential messages[J]. IEEE Transactions on Information Theory, 1978, 24(3): 339-348.

[3] NEGI R, GOEL S. Secret communications using artificial noise[A].IEEE Vehicular Technology Conference[C]. Dallas, USA, 2005.1906-1910.

[4] GOEL S, NEGI R. Guaranteeing secrecy using artificial noise[J].IEEE Transactions on Wireless Communications, 2008, 7(6): 2180-2189.

[5] LI X, HWU J, RATAZZI E P. Array redundancy and diversity for wireless transmissions with low probability of interception[A]. IEEE International Conference on Acoustics, Speech and Signal Processing[C]. Toulouse, France, 2006.211-221.

[6] LI X, HWU J, RATAZZI E P. Using antenna array redundancy and channel diversity for secure wireless transmissions[J]. Journal of Communications, 2007, 2(3): 224-232.

[7] 吳飛龍, 王文杰, 王慧明等. 基于空域加擾的保密無(wú)線通信統(tǒng)一數(shù)學(xué)模型及其竊密方法[J]. 中國(guó)科學(xué), 2012, 42(4): 483-492.WU F L, WANG W J, WANG H M,etal. A unified mathematical model for spatial scrambling based secure wireless communication and its wiretap method[J]. Science China, 2012, 42(4): 483-492.

[8] ZHOU X, MCKAY M R. Secure transmission with artificial noise over fading channels: achievable rate and optimal power allocation[J].IEEE Transactions on Vehicular Technology, 2010, 59(8): 3831-3842.

[9] YANG Y C, WANG W, HUI Z. Transmitter beamforming and artificial noise with delayed feedback: secrecy rate and power allocation[J]. IEEE Journal on Communications and Networks, 2012, 14(4): 374-384.

[10] LI H, WANG W J, YIN Q Y. A MUSIC-like blind co-channel signals separation algorithm and its performance analysis, circuits and systems[A]. IEEE International Symposium on Circuits and Systems[C].Taipei, China, 2009. 844-847.

[11] LUENBERGER D. Optimization by Vector Space Methods[M]. New York: Wiley, 1969.

[12] 3GPP2 C. S0024-A, cdma2000 High Rate Packet Data Air Interface Specification-part 13: SUBTYPE 2 Physical Layer-Modulation Characteristics[S]. 2006.