國內(nèi)數(shù)學(xué)符號相關(guān)研究綜述

趙東東

（南京師范大學(xué)教師教育學(xué)院）

一、數(shù)學(xué)符號概述

1.歷史介紹類

桂質(zhì)亮從原始計數(shù)符號、數(shù)字符號以及代數(shù)幾何符號三個方面對古代數(shù)學(xué)符號的發(fā)展、演變進行了敘述，并指出：相對于計數(shù)技巧，原始計數(shù)符號對數(shù)學(xué)的發(fā)展具有更基本、更重要的作用；該時期形成了大致完善的數(shù)字符號系統(tǒng)，在代數(shù)幾何領(lǐng)域不成系統(tǒng)地出現(xiàn)了一些縮寫與象形符號。

此外，徐美進基于對數(shù)學(xué)符號的分類，從表示數(shù)與量的符號、表示某種運算的符號（即運算符號）、表示某種關(guān)系的符號以及僅作為記號的符號等四個方面論述了數(shù)學(xué)符號的產(chǎn)生、演變和發(fā)展。托和勒理則論述了在數(shù)學(xué)符號化的發(fā)展進程中數(shù)的記號的產(chǎn)生以及代數(shù)的符號化，此外也介紹了笛卡爾和萊布尼茨關(guān)于符號化的思想以及數(shù)理邏輯興起所具有的深遠意義。

2.數(shù)學(xué)符號界定

薛茂芳認為：數(shù)學(xué)符號有兩種含義。一種是單指表示數(shù)學(xué)概念的符號；另一種泛指整個數(shù)學(xué)符號體系。它既包括表示數(shù)學(xué)概念的符號，又包括表示數(shù)學(xué)命題和數(shù)學(xué)論證適用的所有符號以及其他專用符號，等等。

徐美進將數(shù)學(xué)符號分為四類：表示數(shù)與量的符號、表示某種運算的符號（即運算符號）、表示某種關(guān)系的符號以及僅作為記號的符號。

3.數(shù)學(xué)符號特點

時靖認為數(shù)學(xué)符號具有統(tǒng)一性。與一般語言系統(tǒng)不同，數(shù)學(xué)語言系統(tǒng)每個符號都有具體含義，有統(tǒng)一的標(biāo)準(zhǔn)。此外，數(shù)學(xué)符號還具有抽象、簡潔、準(zhǔn)確、層次性和系統(tǒng)性等特點。

桂質(zhì)亮指出：數(shù)學(xué)符號系統(tǒng)具有約定性、規(guī)范性、簡潔性、準(zhǔn)確性、形式化，以及層次性、系統(tǒng)性等特點。

4.數(shù)學(xué)符號功能

桂質(zhì)亮認為數(shù)學(xué)符號系統(tǒng)的功能體現(xiàn)在傳達數(shù)學(xué)思想、簡化數(shù)學(xué)推理、輔助數(shù)學(xué)思維以及自我生成等方面。

托和勒理認為，數(shù)學(xué)符號系統(tǒng)是認識的載體、描述的手段以及推理的工具。它可以有效約簡思維、加快思維進程。此外，數(shù)學(xué)符號系統(tǒng)使思維得以規(guī)范，促進了思維的機械化并且使思維過程演算化、計算化，使人機對話成為可能。

二、數(shù)學(xué)符號學(xué)習(xí)與教學(xué)

1.數(shù)學(xué)符號學(xué)習(xí)

戴風(fēng)明對符號學(xué)習(xí)的困難成因進行了分析，認為學(xué)生數(shù)學(xué)符號學(xué)習(xí)困難成因主要有：（1）學(xué)生沒有理解數(shù)學(xué)符號的意義；（2）在使用數(shù)學(xué)符號時受負遷移影響；（3）缺乏將文字語言轉(zhuǎn)化為符號語言的能力；（4）缺乏數(shù)學(xué)語言識別的能力。

2.數(shù)學(xué)符號教學(xué)與應(yīng)用

王成營認為，承載數(shù)學(xué)知識的數(shù)學(xué)符號自成體系，除具有文字語言、符號語言和圖表語言三種等價的符號形式外，還具有基本意義、聯(lián)想意義、轉(zhuǎn)換意義等不同的符號意義?；诖耍瑪?shù)學(xué)符號意義獲得能力具有多元性、層次性以及發(fā)展性。它以數(shù)學(xué)問題解決教學(xué)為例，給出了培養(yǎng)學(xué)生符號意義獲得能力的四個階段，即符號的識別與切分、符號意義的聯(lián)想與發(fā)現(xiàn)、符號意義的整合與優(yōu)化、符號的操作與表征等。

時靖認為，在數(shù)學(xué)符號教學(xué)中一方面要使學(xué)生正確書寫讀出數(shù)學(xué)符號和準(zhǔn)確理解數(shù)學(xué)符號的意義；另一方面則需加強學(xué)生對數(shù)學(xué)符號的表述。

戴風(fēng)明認為，在數(shù)學(xué)符號教學(xué)中應(yīng)激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，讓學(xué)生從具體情境中抽象出數(shù)量關(guān)系以及變化規(guī)律并用符號來表示。此外，還應(yīng)使學(xué)生理解數(shù)學(xué)符號的本質(zhì)特征從而克服學(xué)習(xí)上的負遷移，通過讓學(xué)生學(xué)會數(shù)學(xué)語言各種形態(tài)之間的互譯來增強學(xué)生的數(shù)學(xué)符號意識等。

……

3.數(shù)學(xué)符號意識

戴風(fēng)明認為，教學(xué)中應(yīng)從以下幾個方面培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)符號意識：（1）激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣；（2）使學(xué)生能從具體情境中抽象出數(shù)量關(guān)系、變化規(guī)律，并能用符號表示；（3）使學(xué)生理解數(shù)學(xué)符號的本質(zhì)特征；（4）使學(xué)生能對數(shù)學(xué)語言在各形態(tài)間互譯；（5）借助問題解決增強學(xué)生的數(shù)學(xué)符號意識；

李幫魁，吳行鵬認為，培養(yǎng)學(xué)生符號意識應(yīng)注意：（1）充分利用“表征”，豐富學(xué)生的符號語言，加深認識。在教學(xué)實踐中，應(yīng)使學(xué)生經(jīng)歷“從具體事物個性化的符號表示學(xué)會數(shù)學(xué)的表示”的符號化表征過程，豐富符號語言，為進行符號思維奠定基礎(chǔ)。（2）掌握不同符號間的轉(zhuǎn)換。在生活和學(xué)習(xí)中，通過用多種形式表述和呈現(xiàn)數(shù)學(xué)對象，可以有效獲得對概念本身或問題背景的深入理解。

在教學(xué)實踐方面，萬兆榮以蘇教版“用字母表示數(shù)”一課的教學(xué)為例，介紹了如何有效引導(dǎo)學(xué)生建立符號意識。

三、其他相關(guān)研究

郭思樂認為：基礎(chǔ)教育中諸多問題的根源在于對課程的本質(zhì)認識局限于符號研究課程本體。符號研究課程本體注重把握符號的自身形式，脫離了生活和實際，忽視了學(xué)生學(xué)習(xí)的主體地位。相反，符號實踐課程本體拒絕無意義的形而上重復(fù)，把指向生活實際作為符號使用實踐的最終取向，從而利于形成個性化的符號文化、利于提高教育的質(zhì)量和效率。他進一步提出，揭示兩種課程本體的機理并真正實現(xiàn)由符號研究課程本體向符號實踐課程本體的回歸是深入進行課程改革的關(guān)鍵。

喻紹梧從數(shù)學(xué)語言的特征、數(shù)學(xué)符號、數(shù)學(xué)語言的建構(gòu)等出發(fā)對數(shù)學(xué)語言以及數(shù)學(xué)符號進行了論述。他認為，數(shù)學(xué)符號在數(shù)學(xué)中的引進與應(yīng)用有利于推動數(shù)學(xué)的發(fā)展。引入符號來代表“數(shù)”是代數(shù)成為一門學(xué)科的關(guān)鍵性的一步。此外，他認為“符號的引進不僅具有表述的作用，而且還有創(chuàng)造的作用?！?/p>

四、小結(jié)與研究展望

之前國內(nèi)對數(shù)學(xué)符號的研究涉及領(lǐng)域相對較廣。從縱向發(fā)展來看，國內(nèi)對數(shù)學(xué)符號的研究由起初的歷史介紹與理論探究逐步豐富、發(fā)展并且深入，與實踐教學(xué)聯(lián)系越發(fā)緊密；從橫向來看，數(shù)學(xué)符號研究內(nèi)容不斷豐富，如數(shù)學(xué)符號與數(shù)學(xué)語言的相關(guān)研究、數(shù)學(xué)符號的識別等，在博碩士論文中還有相關(guān)的調(diào)查研究與教學(xué)策略探究。此外，作為課程標(biāo)準(zhǔn)重要內(nèi)容的數(shù)學(xué)符號意識受到重視且研究文章數(shù)增長較快。

1.增加實證性的量化研究，建立相應(yīng)的評估量表

對數(shù)學(xué)符號進行的理論探討文章雖然較多且涉及面較廣，但是實證性的量化研究卻不多。隨著當(dāng)今“大數(shù)據(jù)”時代的到來，應(yīng)該充分利用和發(fā)揮數(shù)字的力量，針對部分研究方向進行量化研究。此外，還應(yīng)建立相應(yīng)的評估量表，從而得到量化的數(shù)據(jù)進行統(tǒng)計分析。如，在研究數(shù)學(xué)符號意識時，有了相應(yīng)的評估量表就可以得到不同年齡階段、不同符號意識方面學(xué)生的發(fā)展水平，從而分階段、有針對性地根據(jù)相應(yīng)理論（如“最近發(fā)展區(qū)”）進行教學(xué)活動。

2.加強數(shù)學(xué)符號實踐教學(xué)方面的專門研究

縱覽數(shù)學(xué)符號相關(guān)文獻，雖然博碩士論文中有不少調(diào)查類文章、數(shù)學(xué)符號教學(xué)策略類文章，但與實踐教學(xué)相結(jié)合的、對實際教學(xué)產(chǎn)生直接引導(dǎo)與示范作用的高層次文章較少。教育理論的發(fā)展應(yīng)注重在實際生活中的應(yīng)用，充分發(fā)揮其對實踐教學(xué)的引領(lǐng)作用。

［1］桂質(zhì)亮.古代數(shù)學(xué)符號的發(fā)展與演變［J］.華中師范大學(xué)學(xué)報：自然科學(xué)版，1989，23（03）：447-455.

［2］徐美進.數(shù)學(xué)符號在數(shù)學(xué)中的作用［J］.遼寧工學(xué)院學(xué)報，1996，16（04）：77-81.

［3］托和勒理.數(shù)學(xué)符號系統(tǒng)的形成與認識功能［J］.東北師大學(xué)報：自然科學(xué)版，1995（02）：31-37.

［4］薛茂芳.數(shù)學(xué)符號與數(shù)學(xué)教學(xué)［J］.曲阜師范大學(xué)學(xué)報：自然科學(xué)版，1986（02）：92-95.

［5］時靖.淺談數(shù)學(xué)符號［J］.內(nèi)蒙古師范大學(xué)學(xué)報：教育科學(xué)版，2011，24（12）：123-124.

［6］桂質(zhì)亮.論數(shù)學(xué)符號系統(tǒng)的特點與功能［J］.華中師范大學(xué)學(xué)報：自然科學(xué)版，1990，24（04）：509-515.

［7］戴風(fēng)明.淺談增強學(xué)生數(shù)學(xué)符號意識的教學(xué)途徑［J］.教育與職業(yè)，2005（35）：129-130.

［8］李幫魁，吳行鵬.數(shù)學(xué)符號意識的形成途徑［J］.教育科學(xué)論壇，2012（02）：44-45.

［9］萬兆榮.展示建模過程，建立符號意識：關(guān)于“用字母表示數(shù)”的教學(xué)思考［J］.教學(xué)與管理，2014：40-42.

［10］郭思樂.課程本體：從符號研究回歸符號實踐［J］.教育研究，2003（07）：72-78.

［11］喻紹梧.數(shù)學(xué)符號與數(shù)學(xué)語言［J］.四川教育學(xué)院學(xué)報，2002，18（05）：62-66.