分類討論思想在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用

章建華

（福建省福安市第六中學(xué)）

分類討論思想是高考七大數(shù)學(xué)思想方法之一， 它是解決問(wèn)題的一種邏輯方法，這種思想在簡(jiǎn)化研究對(duì)象、發(fā)展思維方面起著重要作用，高考將分類討論思想的考查放在比較重要的位置，并以解答題為主進(jìn)行考查。 分類討論思想實(shí)際上也是“化整為零，各個(gè)擊破”的教學(xué)策略。 分類討論思想不僅有利于提高學(xué)生的歸納、總結(jié)水平，同時(shí)也有利于提高學(xué)生的概括性、條理性、邏輯性，這對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生的嚴(yán)謹(jǐn)思維、邏輯思維都具有極其重要的現(xiàn)實(shí)意義。高中生如果能很好地掌握分類討論思想， 可以大大提高學(xué)生的數(shù)學(xué)解題能力，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)。

一、分類討論思想的基本概述及其在數(shù)學(xué)解題中的作用

我們?cè)诮鉀Q某些數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，常常會(huì)遇到這樣一種情況：解到某一步后，發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的發(fā)展是按照不同的方向進(jìn)行的。當(dāng)被研究的問(wèn)題包含了多種情況，就必須抓住主導(dǎo)問(wèn)題發(fā)展方向的主要因素，在其變化范圍內(nèi)，根據(jù)問(wèn)題的不同發(fā)展方向，劃分為若干部分分別研究，這就是分類討論思想方法。

分類討論思想通常以概念的劃分、集合的分類為基礎(chǔ)，主要有以下幾個(gè)方面：一是分類意識(shí)，即什么情況下需要分類；二是如何分類，即要科學(xué)地分類，分類要標(biāo)準(zhǔn)統(tǒng)一，不重不漏。三是分類之后如何科學(xué)地研究；四是如何合理地整合。

通過(guò)分析、總結(jié)歷年來(lái)的高考考點(diǎn)，可以看出分類討論的數(shù)學(xué)方法是其中的一個(gè)重要知識(shí)點(diǎn)。 這主要是因?yàn)榉诸愑懻摲椒梢院芎玫劐憻拰W(xué)生的邏輯思維， 這對(duì)于解決其他的實(shí)際問(wèn)題也非常必要。而且一般分類討論問(wèn)題的綜合性較強(qiáng)，這樣考查考生多方面的知識(shí)，評(píng)估學(xué)生的實(shí)際學(xué)習(xí)能力。其次，掌握分類討論思想，有利于更好地解決實(shí)際問(wèn)題，比如數(shù)學(xué)概念中會(huì)有分類討論的問(wèn)題，包括等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式、絕對(duì)值定義等；數(shù)學(xué)運(yùn)算公式中有不等式兩邊同時(shí)乘以一個(gè)實(shí)數(shù)后對(duì)于不等號(hào)方向有何影響、 偶次方根非負(fù)等；參數(shù)變化中參數(shù)取值不同導(dǎo)致結(jié)果不同；參數(shù)值不同采用不同的證明方法或者求解方法等。 這些問(wèn)題都必須采用分類討論思想解決。

二、分類討論思想在高中數(shù)學(xué)解題中的實(shí)際應(yīng)用

1.科學(xué)、合理分類

分類討論思想的第一步是對(duì)問(wèn)題中的對(duì)象進(jìn)行分類， 如果將問(wèn)題比喻成一個(gè)集合A的話， 則就是指應(yīng)該將A劃分成A1、A2、A3、A4等n個(gè)非空真子集，其中n肯定超過(guò)2 個(gè)（包括2），集合A中的每一個(gè)元素都屬于其中的一個(gè)子集。想要確保分類的科學(xué)性，首先一定要保證分類上不能出現(xiàn)遺漏， 然后要保證分類上不能出現(xiàn)重復(fù)。在確保做到不重不漏的前提下，結(jié)合題目的性質(zhì)以及題目中給出的條件盡量減少分類。

2.確定分類的標(biāo)準(zhǔn)

高中數(shù)學(xué)解題中采用分類討論的方法， 在確定分類討論對(duì)象后，應(yīng)該思考分類標(biāo)準(zhǔn)，分類標(biāo)準(zhǔn)是解題中的關(guān)鍵環(huán)節(jié)，決定了解題的簡(jiǎn)易程度。 下面主要從以下幾個(gè)角度確定分類標(biāo)準(zhǔn)：

（1）按照數(shù)學(xué)概念劃分

在數(shù)學(xué)中，有些概念就是分類定義的，如絕對(duì)值的概念等。

（2）按照數(shù)學(xué)運(yùn)算法則和定理、公式劃分

高中數(shù)學(xué)有很多數(shù)學(xué)運(yùn)算法則和定理、公式是分類給出的，例如等比數(shù)列的求和公式就分為q=1 和q≠1 兩種情況；指數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性就分為a＞1，0＜a＜1 兩種情況； 求一元二次不等式的解又分為a＞1，a＜0 及Δ＞1，Δ=0，Δ＜0 幾種情況等等。

例2.數(shù)列｛an｝滿足a1=x，a2=3x，sn+1+sn+sn-1=3n2+2，（n≥2，n∈N*），Sn是數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和。（1）若數(shù)列｛an｝為等差數(shù)列，數(shù)列｛bn｝滿足bn=2an-1，數(shù)列｛cn｝滿足cn=t2bn+2-tbn+1-bn，試比較數(shù)列｛bn｝前n項(xiàng)Bn和與數(shù)列｛cn｝前n項(xiàng)和Cn的大小。（2）若對(duì)任意n∈N*，an＜an+1恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍。

分析：數(shù)列求通項(xiàng)與求和問(wèn)題常用到分類討論思想。涉及等比數(shù)列時(shí)，公比q的取值對(duì)求和的形式有決定的作用，本例中比較大小，含有字母t，就要用到分類討論思想，討論t的取值來(lái)比較大??；在第（2）問(wèn)中，還要討論n的取值求解。 比如：

解：（1）由已知得到a3=14-9x，再由2a2=a1+a3得6x=x+（14-9x）

所以x=1，an=2n-1（n∈N*），所以bn=22n-2＞0，cn=（16t2-4t-1）bn，

（2）由Sn+1+Sn+Sn-1=3n2+2，（n≥2，n∈N*）知Sn+2+Sn+1+Sn=3（n+1）2+2，

兩式作差得an+2+an+1+an=6n+3，an+3-an=6，所以當(dāng)n=1 時(shí)，an=a1=x，

當(dāng)n=3k-1 時(shí)，an=a3k-1=a2+6（k-1）=2n+3x-4；

當(dāng)n=3k時(shí)，an=a3k=a3+6（k-1）=2n-9x+8；

當(dāng)n=3k+1 時(shí)，an=a3k+1=a4+6（k-1）=2n+6x-7；

因?yàn)閷?duì)n∈N*，an＜an+1，恒成立，所以a1＜a2且a3k-1＜a3k＜a3k+1＜a3k+2，

本例中兩處用到分類討論的思想，是一道典型的討論題。

（3）按照?qǐng)D形位置的劃分

圖形位置的相對(duì)變化也會(huì)引起分類，例如，兩點(diǎn)在同一平面的同側(cè)、異側(cè)，二次函數(shù)的圖象的對(duì)稱軸相對(duì)于定義域區(qū)間的不同位置等。

例3.已知圓A的方程式是（x-2）2+（y-3）2=1，現(xiàn)在想要求解一條切線l使得這個(gè)圓A和x、y軸的截距相等。

解：假如，這條切線l和x軸的截距是a，這條切線l和y軸的截距是b，結(jié)合直線方程的適用范圍考慮，一定要討論截距a、b是不是會(huì)變成0。 為此就應(yīng)該分為以下兩種情況進(jìn)行討論：

①假如特殊情況，a、b均為0，則切線l方程為kx-y=0，利用圓的性質(zhì)可知，圓心（2，3）和切線l之間的距離應(yīng)該就是這個(gè)圓的半徑， 因此這種情況下求解出來(lái)的結(jié)果是k=。 因此切線l的方程應(yīng)該列為：或者

②假如a、b的值相等，且均不為0 的情況下，假設(shè)切線l方程為x+y-a=0， 主要是由于圓和切線是一種相切的關(guān)系， 因此可知最后解出而切線l的方程應(yīng)該是：x+y-最終綜合以上兩種情況求解出來(lái)的結(jié)果，也就可以得出切線l方程的所有可能：

（4）按照題目的特殊要求劃分一些題目，如排列組合的計(jì)數(shù)問(wèn)題、概率問(wèn)題，要按題目的特殊要求，分成若干情況研究。

例4.如上圖所示，在排成4×4 的方陣的16 個(gè)點(diǎn)中，中心位置在4 個(gè)點(diǎn)在某圓內(nèi)，其余12 個(gè)點(diǎn)在圓外，從16 個(gè)點(diǎn)中任選3 點(diǎn)作為三角形的頂點(diǎn)，其中至少有一個(gè)頂點(diǎn)在圓內(nèi)的三角形有多少個(gè)？

分析：解決排列與組合問(wèn)題時(shí)應(yīng)用分類討論思想，本例中看到至少有一個(gè)頂點(diǎn)在圓內(nèi)，想到分類討論思想，依次分1 個(gè)點(diǎn)、2 個(gè)點(diǎn)、3 個(gè)點(diǎn)在圓內(nèi)討論求解，要做到不重不漏。

解：按從圓內(nèi)4 點(diǎn)任取3 點(diǎn)、2 點(diǎn)、1 點(diǎn)分三類：

（5）按照題目的參數(shù)量變的劃分

在研究含有參數(shù)的函數(shù)問(wèn)題時(shí)，由參數(shù)的“量變”而導(dǎo)致結(jié)果的“質(zhì)變”，也要進(jìn)行分類討論。

②當(dāng)m＜0 時(shí)，若m≤-1，f＇（x）≤0 對(duì)x∈（0，+∞）恒成立，所以f（x） 在（0，+∞） 上單調(diào)遞減； 若-1＜m＜0， 由f＇（x）=0， 得x1=且x1＜x2＜0，可知f＇（x）在（0，x1）與（x2，+∞）上為負(fù)，在（x1，x2）上為正，所以f（x）在（0，x1）與（x2，+∞）上單調(diào)遞減，f（x）在（x1，x2）上單調(diào)遞增。綜上所述，當(dāng)m≥0 時(shí)在（0，+∞）上單調(diào)遞增；當(dāng)m≤-1 時(shí)，f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減；當(dāng)-1＜m＜0 時(shí)，f（x）在（0，x1）與（x2，+∞）上單調(diào)遞減，f（x）在（x1，x2）上單調(diào)遞增。

綜上所述， 分類討論思想是高中數(shù)學(xué)解題中非常重要的一種解題思想，在歷年高考中也是重點(diǎn)考查的知識(shí)點(diǎn)。在數(shù)學(xué)解題中學(xué)會(huì)應(yīng)用分類討論思想，有利于學(xué)生數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)和發(fā)展，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)， 教師在實(shí)際教學(xué)過(guò)程中應(yīng)該不斷滲透分類討論思想，使學(xué)生能夠更好地掌握這種數(shù)學(xué)思想。

劉向華.分析和解決數(shù)學(xué)問(wèn)題能力的培養(yǎng)［D］.少年智力開發(fā)報(bào)，2011（04）.