學(xué)好三角函數(shù)，讓數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)暢通無(wú)阻

李 仙

（安徽師范大學(xué) 數(shù)學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院）

一、學(xué)好三角函數(shù)，能加強(qiáng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念的理解

三角函數(shù)一般都在課程的初始進(jìn)行學(xué)習(xí)，它的知識(shí)背景源于生活，借助數(shù)學(xué)符號(hào)來(lái)呈現(xiàn)，知識(shí)形象、簡(jiǎn)單，學(xué)生從認(rèn)知到理解不費(fèi)力，所以，我們可借助簡(jiǎn)單的平臺(tái)來(lái)培養(yǎng)學(xué)生，讓他們學(xué)會(huì)探索、理解、歸納，逐步得到提高。因此，利用三角函數(shù)的教學(xué)，可以逐步提升學(xué)生理解概念的能力，增強(qiáng)學(xué)生的概括能力以及邏輯思維能力。比如，下面的例題就是基本的概念問(wèn)題，同時(shí)它又結(jié)合了我們常見(jiàn)的三角形來(lái)解答：在△ABC中，角A、B、C所對(duì)的邊分別為 a、b、c，且 cos C=，求 sin（C+）的值。在這題中，需要我們透徹的理解概念問(wèn)題，題目本身很簡(jiǎn)單，只需我們對(duì)所求的問(wèn)題直接運(yùn)用公式轉(zhuǎn)換，然后代入已知條件即可，但是我們要學(xué)習(xí)的是一類(lèi)題而不是僅僅在于這道題目本身，所以，我們得透過(guò)現(xiàn)象看本質(zhì)，通過(guò)對(duì)該題的理解，加以拓寬延伸，這樣我們就可以逐步理清正弦和余弦三角函數(shù)間的聯(lián)系與區(qū)別，同時(shí)我們對(duì)三角函數(shù)的概念也可能有了更深入、更全面的理解。

二、學(xué)好三角函數(shù)，有助于構(gòu)建數(shù)學(xué)教學(xué)橋梁

數(shù)學(xué)可以分為幾何和代數(shù)，那么三角函數(shù)就是連接幾何與代數(shù)的橋梁。在三角函數(shù)的學(xué)習(xí)中，正弦和余弦三角函數(shù)是兩個(gè)最基本的概念，我們掌握這兩個(gè)概念后就可以求出其他三角函數(shù)，三角函數(shù)在幾何和代數(shù)中都得到廣泛使用，這就實(shí)現(xiàn)了代數(shù)和幾何之間的轉(zhuǎn)換，連通了這兩個(gè)版塊，使得學(xué)生在數(shù)學(xué)上的學(xué)習(xí)更加暢順。如下例題顯示，它不但考察了幾何問(wèn)題，同時(shí)也涉及代數(shù)的知識(shí)。

例如：已知函數(shù)（f x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0≤φ≤π）上的偶函數(shù)，其圖象關(guān)于點(diǎn)M（，0）對(duì)稱(chēng)，且在區(qū)間［0］上是單調(diào)函數(shù)求ω和φ的值。針對(duì)這種題型，它給出了函數(shù)和圖象的條件，所以我們要根據(jù)給出的條件進(jìn)行畫(huà)圖，結(jié)合圖形來(lái)解題，會(huì)容易很多，當(dāng)然也要學(xué)生對(duì)奇、偶函數(shù)的特點(diǎn)以及單調(diào)性、對(duì)稱(chēng)性等問(wèn)題比較熟悉，最后，再根據(jù)給出的條件來(lái)確定所求的值?？梢?jiàn)，三角函數(shù)連通了幾何和代數(shù)，消除了這是兩個(gè)科目的偏差，有利于對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)興趣的培養(yǎng)。

三、學(xué)好三角函數(shù)，有益于探究數(shù)學(xué)知識(shí)源頭

三角函數(shù)是數(shù)學(xué)知識(shí)的重要部分，當(dāng)然它在現(xiàn)實(shí)中也有著更為巧妙的用處。個(gè)人認(rèn)為，三角函數(shù)的延伸既可“承上”又可“啟下”，可以作為數(shù)學(xué)知識(shí)的源頭。三角函數(shù)涉及的知識(shí)非常廣泛，它本為函數(shù)，具有函數(shù)的基本特征，又可結(jié)合圖形，這樣它也可以擁有幾何圖形的一些性質(zhì)，所以說(shuō)，學(xué)好三角函數(shù)，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的道路上就會(huì)暢順許多。

例如，已知銳角三角形ABC的三邊為連續(xù)整數(shù)，且角A、B滿(mǎn)足A=2B。

（1）求角B的取值范圍及△ABC三邊的長(zhǎng)。

（2）求△ABC的面積S。

該題中雖然沒(méi)有明顯出現(xiàn)三角函數(shù)的字眼，但是想解決這道題，我們必須借助三角函數(shù)才可以完成。通過(guò)三角形的內(nèi)角和以及正、余弦函數(shù)之間的關(guān)系換算，一步一步地推出所求的問(wèn)題，當(dāng)然還要注意角和邊的對(duì)應(yīng)關(guān)系。由該題可以知道，三角函數(shù)在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用是非常廣泛的，它所涉及的知識(shí)也是多種多樣的，所以學(xué)習(xí)好三角函數(shù)，不僅能探索出知識(shí)的來(lái)龍去脈，還學(xué)會(huì)了從多角度思考問(wèn)題。

四、學(xué)好三角函數(shù)，更能準(zhǔn)確把握問(wèn)題的關(guān)鍵

在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，以三角函數(shù)為平臺(tái)，抓住有趣三角圖形、轉(zhuǎn)化成切實(shí)可行的函數(shù)模型，去引領(lǐng)學(xué)生找準(zhǔn)問(wèn)題的突破口，讓課堂從簡(jiǎn)單的知識(shí)傳播地變?yōu)橥诰蛑R(shí)和探索問(wèn)題的大舞臺(tái)，對(duì)提高課堂效率有很重要的幫助。以前我們?cè)谥v解三角函數(shù)的時(shí)候，都能做到“精講精練”，但是現(xiàn)在的考題相當(dāng)靈活，我們得把學(xué)生培養(yǎng)成不僅會(huì)分析問(wèn)題而且要求在規(guī)定時(shí)間內(nèi)能命中問(wèn)題關(guān)鍵的嚴(yán)謹(jǐn)思維的學(xué)生。借助三角函數(shù)的學(xué)習(xí)可以引領(lǐng)學(xué)生在以往“精講精練”的基礎(chǔ)上不管是自發(fā)的還是在教師的引導(dǎo)下做到知識(shí)系統(tǒng)化、網(wǎng)絡(luò)化，讓學(xué)生從模仿中學(xué)會(huì)捕捉，從漸入熟練中得以翱翔。同時(shí)不忘提醒學(xué)生，在對(duì)一個(gè)問(wèn)題理解的同時(shí)，不忘從一種題型入手去放眼一類(lèi)題型，加以拓寬、延伸。例如：

已知函數(shù) （f x）=cos2x+2sin x cos x-sin2x。

（1）求（f x）的最小正周期和值域。

（2）在△ABC中，角A、B、C所對(duì)的邊分別是a、b、c，若（f）=2且a2=bc，試判斷△ABC的形狀。

這樣的題目，首先需要學(xué)生對(duì)三角函數(shù)的公式以及公式間的轉(zhuǎn)換非常的熟悉，當(dāng)然這樣的題目做熟練了，公式也就銘記于心了。這個(gè)題目涉及的是倍角之間的轉(zhuǎn)換，這類(lèi)問(wèn)題其中一個(gè)解法，我們可以把所有的角轉(zhuǎn)換成同一個(gè)角來(lái)進(jìn)行處理，這也是學(xué)生遇到這類(lèi)題目的一個(gè)常規(guī)思維。掌握了方法，就抓住了學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)關(guān)鍵所在。

梁志芳.學(xué)生學(xué)習(xí)三角函數(shù)的調(diào)查研究［D］.北師范大學(xué)，2011.