導數(shù)應用中的化歸與轉(zhuǎn)化思想

李文生

(福建省連城一中)

在數(shù)學的知識和技能中，蘊含著具有普遍性的數(shù)學思想，它是數(shù)學的精髓和靈魂，是知識轉(zhuǎn)化為能力的橋梁，是數(shù)學知識和方法產(chǎn)生的根本源泉，對數(shù)學思想的應用，是數(shù)學學習走向更深層次的一個標志，它能指導我們有效地應用數(shù)學知識，探尋解題方向.

數(shù)學對象的內(nèi)部或者不同的數(shù)學對象之間，往往會以某種形式相互聯(lián)系，在一定的條件下能夠相互轉(zhuǎn)化，針對面臨的數(shù)學問題，實施或轉(zhuǎn)化問題的條件，或轉(zhuǎn)化問題的結(jié)論或轉(zhuǎn)化問題的內(nèi)在結(jié)構，或轉(zhuǎn)化問題的外部表現(xiàn)形式等行動策略去解決有關的數(shù)學問題，能促進問題的解決，可以說，數(shù)學解題的過程就是不斷化歸與轉(zhuǎn)化的過程.

在應用導數(shù)解決問題的過程中，對于一時難以解決的問題，可運用轉(zhuǎn)化與化歸思想經(jīng)過觀察、分析、類比、聯(lián)想等思維過程，運用恰當?shù)臄?shù)學方法進行變換，將原問題化歸為一類已經(jīng)能解決或者比較容易解決的問題.而導數(shù)綜合問題的主要類型有：

(1)不等式的恒成立問題；(2)證明不等式問題；(3)方程的求解問題.

通常，應用化歸與轉(zhuǎn)化思想解決導數(shù)的綜合問題時有一個基本的解題思路，即：將不等式的恒成立問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題；將證明不等式問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性與最值問題；將方程的求解問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的零點問題、兩個函數(shù)圖象的交點問題等.

為了完成上述轉(zhuǎn)化，要把握兩個關鍵：(1)針對問題的需要，合理地構造函數(shù)，找到問題轉(zhuǎn)化的突破口；(2)通過“再構造、再求導”，實現(xiàn)問題的深度轉(zhuǎn)化.

下面通過具體例題，對上述兩個關鍵進行一些探究.

問題一：怎樣合理構造函數(shù)

1.先分離參數(shù)后再構造函數(shù)

例1.已知函數(shù)f(x)=lnx，對任意的a∈［-1，0)，若不等式f(x)<在x∈(0，1］上恒成立，求實數(shù)b的取值范圍.

【分析】這是不等式的恒成立問題.

2.將不等式兩邊作差后再構造函數(shù)

需要補充說明的是：如果先分離參數(shù)后對應的函數(shù)不便于求解其最值，或者求解其函數(shù)最值繁瑣時，可采用直接構造函數(shù)的方法，也就是將不等式兩邊作差后再構造函數(shù).

例2.設函數(shù)f(x)=ln(x+1)，g(x)=xf′(x)，x≥0，其中f′(x)是f(x)的導函數(shù)，若f(x)≥ag(x)恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是()

A.(-1，+∞)B.(0，+∞)C.(-∞，0)D.(-∞，-1)

【分析】不等式 f(x)≥ag(x)恒成立，可先構造函數(shù) φ(x)=，再研究函數(shù)φ(x)≥0時參數(shù)a的取值范圍.

①當 a≤1時，φ′(x)≥0(當且僅當 x=0，a=1時等號成立)，則φ(x)在［0，+∞)上單調(diào)遞增，又 φ(0)=0，即 φ(x)≥0 在［0，+∞)上恒成立.

②當 a>1 時，對 x∈(0，a-1)，有 φ′(x)<0，則 φ(x)在(0，a-1)上單調(diào)遞減，

∴φ(a-1)<φ(0)＝0 即 a>1 時，存在 x>0，使 φ(x)<0，可知 ln(x+不恒成立.

3.抓住常規(guī)基本函數(shù)，變形后構造新函數(shù)

現(xiàn)兩邊同時除以ex得由于這時不等式兩邊的函數(shù)都是由常規(guī)基本函數(shù)組成，因此，可分別構造如下兩個函數(shù)：時，g′(x)＜0，當時，g′(x)＞0，故 g(x)在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增的最小值為同理，可求得 h(x)在(0，+∞)的最大值為

綜上，當 x＞0 時，g(x)＞h(x)，即 f(x)＞1

點評：一次函數(shù)、二次函數(shù)、指對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、簡單的分式根式函數(shù)、絕對值函數(shù)的圖象力求清晰準確，一些綜合性的問題基本上是這些函數(shù)的組合體，如果適當分解和調(diào)配就一定能找到問題解決的突破口，使問題簡單化、明確化.

問題二：如何再次構造新函數(shù)，實現(xiàn)“二次求導”

在求導的過程中，常常會發(fā)現(xiàn)導函數(shù)大于0或小于0時對應的自變量取值無法確定，這時可考慮再次構造新函數(shù)，從而實現(xiàn)“二次求導”.

例4.(2013年河南開封市四模)已知函數(shù)f(x)=ax2-x(a≠0)，g(x)=lnx.

若函數(shù)y=f(x)與y=g(x)的圖象有兩個不同的交點，求實數(shù)a的取值范圍.

評注:本題通過轉(zhuǎn)化，使求解a的取值范圍問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域問題，再利用函數(shù)的連續(xù)性，進而轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題.在對本題解法的探究中，轉(zhuǎn)化是關鍵，構造函數(shù)是途徑，“二次求導”是方法和策略.

綜上所述，通過構造函數(shù)再利用導數(shù)這一研究函數(shù)的有力工具，能夠使解題思路自然流暢、過程清晰，正是應用化歸與轉(zhuǎn)化這一重要數(shù)學思想在解題中具有普遍指導意義的有力體現(xiàn)。其中構造函數(shù)的方式、方法是實現(xiàn)轉(zhuǎn)化的重要途徑，雖是“小構造”但體現(xiàn)了解題的“大智慧”.平時教學中，特別是高考總復習中，應加強化歸與轉(zhuǎn)化思想的滲透，強化訓練，從而有效地提高學生解題的能力.