尋找問題“原型” 巧引解題思路

林朝順

（福建省大田縣第一中學(xué)）

教材內(nèi)容是高考試題的重要來源，對(duì)于一些難度較大的題目，往往是經(jīng)過命題者的加工，若能揭開其神秘面紗，找到其“原型”，便會(huì)豁然開朗，輕松找到解題思路.下面結(jié)合筆者的教學(xué)，總結(jié)常見的幾種類型，以期拋磚引玉.

一、尋找不等關(guān)系“原型”，輕松破解不等式

例1.（2013年新課標(biāo)全國卷Ⅱ理科數(shù)學(xué)試題）

已知函數(shù)f（x）=ex-ln（x+m）

（1）設(shè)x=0是f（x）的極值點(diǎn)，求m，并討論f（x）的單調(diào)性.

（2）當(dāng)m≤2時(shí)，證明f（x）＞0.

解析：（1）略.

（2）易證不等式 ex≥x+1和 ln（1+x）≤x，兩個(gè)不等式都是等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng) x=0 時(shí)成立.所以 ex≥x+1≥ln（1+x+1）=ln（x+2）≥ln（x+m）.上式的第一個(gè)不等號(hào)和第二個(gè)不等號(hào)不會(huì)同時(shí)成立，所以當(dāng)m≤2時(shí)，證明f（x）＞0.

點(diǎn)評(píng)：本題解題的關(guān)鍵是聯(lián)想到微積分中常見的不等式——ex≥x+1，對(duì)上式兩邊取對(duì)數(shù)得 x≥ln（1+x）.

結(jié)論 1：當(dāng) a＞1 時(shí)，ax≥（lna）x+1，ax≥ln（1+ax）

結(jié)論 2：當(dāng) a＞1 時(shí)，ax＞ln［ln（a）x+2］

解析：當(dāng) a＞1 時(shí)，ax≥（lna）x+1，ax≥ln（1+ax），因此 ax≥（lna）x+1≥ln［1+（lna）x+1］=ln［2+（lna）x］，以上式子的兩個(gè)等號(hào)不會(huì)同時(shí)成立，所以結(jié)論2成立.

二、還原幾何圖形“原型”，揭開面紗的真相

例2（.福建省2013屆高三第四次大聯(lián)考）

解析：發(fā)現(xiàn)四棱錐O-ABCD是正方體的一部分.于是，以O(shè)為中心，以ABCD為一個(gè)面，把四棱錐O-ABCD補(bǔ)成一個(gè)正方體ABCD-EFGH，因?yàn)樗睦忮FO-ABCD的高是2，所以所作的球是正方體ABCD-EFGH的內(nèi)切球.于是，所求的體積是正方體內(nèi)切球體積的，所以這個(gè)球與四棱錐O-ABCD相交部分的體積是：×π×23=π

點(diǎn)評(píng)：很多幾何圖形是由我們熟悉的圖形通過割補(bǔ)等變換得到，若能還原為我們熟悉的圖形，必定會(huì)給解題帶來方向。

結(jié)論1：已知底面為正方形的四棱錐O-ABCD，各側(cè)棱長都為2，底面面積為16，以O(shè)為球心，2為半徑作一個(gè)球，則這個(gè)球與四棱錐O-ABCD相交部分的體積是64.

點(diǎn)評(píng)：所作的球是正方體ABCD-EFGH的外接球.

結(jié)論 2 ：已知底面為正 n（ n=3，4，5）邊形的正棱錐頂點(diǎn)為 O ，各側(cè)棱長都為a，頂點(diǎn)到底面的距離為h，以O(shè)為球心，h為半徑作一個(gè)球，則這個(gè)球與正棱錐相交部分的體積是

結(jié)論 3 ：已知底面為正 n（ n=3，4，5）邊形的正棱錐頂點(diǎn)為 O ，各側(cè)棱長都為a，底面面積為b，頂點(diǎn)到底面的距離為h，以O(shè)為球心，a為半徑作一個(gè)球，則這個(gè)球與正棱錐相交部分的體積是.

三、幾點(diǎn)啟示

1.注重教材，積累“原型”.課本中蘊(yùn)含著豐富的知識(shí)和方法，很多試題以課本知識(shí)為背景，都可以在課本中找到“原型”.要引導(dǎo)學(xué)生重視教材，拓展教材，利用教材構(gòu)造完整的知識(shí)體系，弄清各塊知識(shí)的來龍去脈，在更高的層次把握和運(yùn)用教材.

2.注重探究，提升能力.引導(dǎo)學(xué)生從不同角度思考問題，認(rèn)識(shí)不同問題的本質(zhì)屬性。經(jīng)常進(jìn)行一題多解、一題多變、多題一解等訓(xùn)練，提升學(xué)生的探究問題能力，從而能夠?qū)栴}舉一反三，觸類旁通.

3.識(shí)別“原型”，轉(zhuǎn)化問題.轉(zhuǎn)化與化歸是高中數(shù)學(xué)中的核心思想.是由“未知”通往“已知”的橋梁，利用化歸思想解題的關(guān)鍵是確定合理、可行的轉(zhuǎn)化目標(biāo)，明確將未知轉(zhuǎn)化為已知的意義，其中，識(shí)別“原型”有時(shí)會(huì)給化歸指明正確的方向.

王劍明.課本不等式應(yīng)用三重境界［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)，2013（19）.