HPM視角下的函數(shù)考源教學(xué)

◎李慧敏

(無錫衛(wèi)生高等職業(yè)技術(shù)學(xué)校，江蘇 無錫 214000)

2016年12月7日至8日，全國高校思想政治工作會議在北京舉行習(xí)近平總書記強調(diào)，好的思想政治工作應(yīng)該像鹽，但不能光吃鹽，最好的方式是將鹽溶解到各種食物中自然而然吸收

數(shù)學(xué)史是研究數(shù)學(xué)內(nèi)部知識、外部事物發(fā)展需要及其規(guī)律的科學(xué)它不僅是一部從數(shù)學(xué)內(nèi)在的原因來研究數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史，也是一部從外在的社會原因來研究數(shù)學(xué)發(fā)展與其他社會因素間關(guān)系的歷史

筆者認為在課堂中教師應(yīng)根據(jù)教學(xué)內(nèi)容特點，挖掘教學(xué)內(nèi)容中的育人要素，將其有機融入課堂教學(xué)中，潤物無聲，切實打通學(xué)科教育與思政教育緊密融合“最后一公里”在函數(shù)概念教學(xué)中，函數(shù)概念發(fā)展史猶如精神上的“鹽”，是學(xué)生深刻認識幾個階段函數(shù)概念的“調(diào)味品”適量放鹽，才能讓學(xué)生在咸淡適宜、味美可口的“課堂學(xué)習(xí)大餐”中汲取營養(yǎng)、受益終生

德國數(shù)學(xué)家克萊因曾將函數(shù)稱為數(shù)學(xué)的“靈魂”，并認為函數(shù)概念應(yīng)該成為中學(xué)數(shù)學(xué)的“基石”函數(shù)是現(xiàn)代數(shù)學(xué)最基本的概念，是描述客觀世界中變量關(guān)系和規(guī)律的最為基本的數(shù)學(xué)語言和工具，在解決實際問題中發(fā)揮重要作用函數(shù)的概念是全部數(shù)學(xué)概念中最重要的概念之一縱觀300年來函數(shù)概念的發(fā)展，眾多數(shù)學(xué)家從解析式、變量說、對應(yīng)說、集合的角度不斷賦予函數(shù)概念以新的思想，從而推動了整個數(shù)學(xué)的發(fā)展函數(shù)概念的一次次提出、一次次推翻、一次次修正、一次次完善，是后人對前人思維的一次次突破函數(shù)概念的演進過程可利用下表總結(jié)：

學(xué)說解析式說變量依賴說變量對應(yīng)說集合對應(yīng)說代表人物萊布尼茨和歐拉歐拉狄利克雷布爾巴基學(xué)派

在實際教學(xué)中，經(jīng)常有學(xué)生會問:“在初中已學(xué)過函數(shù)，現(xiàn)在又要重新學(xué)習(xí)函數(shù)，那么是初中函數(shù)定義不對嗎？”為了回答好學(xué)生提出的問題，教師在教學(xué)過程中應(yīng)該循著函數(shù)演變的進程，設(shè)計教學(xué)活動，讓學(xué)生了解函數(shù)發(fā)展歷程和函數(shù)概念演變的必要性，拓寬學(xué)生視野，使學(xué)生感悟數(shù)學(xué)的理性精神，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)人們往往認為“歷史文化”與數(shù)學(xué)教學(xué)呈現(xiàn)“弱相關(guān)”，因為數(shù)學(xué)課堂中數(shù)學(xué)運算、邏輯推理和數(shù)據(jù)分析等主要數(shù)學(xué)活動似乎與人的生產(chǎn)生活、道德品質(zhì)沒有直接的關(guān)聯(lián)事實上，數(shù)學(xué)教育中的數(shù)學(xué)歷史文化是深層次的，有其獨特的內(nèi)涵

筆者近期就再現(xiàn)數(shù)學(xué)歷史、發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)做了一些嘗試，下面結(jié)合這節(jié)課談?wù)剛€人的認識和體會

一、教學(xué)實錄

(一)概念的引入

教師課前讓學(xué)生利用網(wǎng)絡(luò)資源，搜索整理函數(shù)概念的發(fā)展史，綜合學(xué)生的整理結(jié)果，基于學(xué)生的課前準備，提出問題，重現(xiàn)函數(shù)概念演變的歷史

設(shè)計意圖：在新課引入中，教師充分挖掘與數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容相關(guān)的育人元素，滲透課程思政教育，也可以充分挖掘數(shù)學(xué)知識本身蘊含的教育因素與文化價值，如：數(shù)學(xué)文化、勵志榜樣、歷史人物、行業(yè)現(xiàn)狀以及數(shù)學(xué)發(fā)展動態(tài)與變革等素材

(二)概念的發(fā)展

案例1 某男童，5歲，因患急性支氣管炎，現(xiàn)按醫(yī)囑需用注射阿米卡星治療(按體重計算藥劑量)已知小兒用藥量按體重計算公式如下：

每次劑量=體重(kg)×每次每千克體重需藥量

注：阿米卡星小兒用藥為每次2 mg/kg；

5歲兒童正常體重范圍16 kg～20 kg

問題1 上述案例中，有幾個變量?變量之間的關(guān)系是如何體現(xiàn)的？

歷史材料 17世紀德國數(shù)學(xué)家萊布尼茨在手稿《反切線或函數(shù)方法》中用fuction一詞來表示某個特殊的幾何量，如一個圖形中的線段，正式文中幾個幾何量之間的關(guān)系導(dǎo)致“函數(shù)”演變成代數(shù)式1718年，數(shù)學(xué)家約翰·伯努利將函數(shù)定義為：一個變量的函數(shù)是該變量和一些常數(shù)以任意方式組成的量因此函數(shù)的定義拓廣到代數(shù)式1748年，歐拉在《無窮分析引論》中將函數(shù)定義為：函數(shù)是由一個變量和一些數(shù)或常量以任何方式組成的解析式

在當(dāng)時的歷史條件下，數(shù)學(xué)家普遍認為函數(shù)就是解析式，但隨著新問題出現(xiàn)，如18世紀中期，數(shù)學(xué)家一直在爭論振動弦的問題：波動一根兩端固定的彈性弦，使其具有某種初始狀態(tài)，然后使其釋放振動你能用表達式表示變量間的關(guān)系嗎？

設(shè)計意圖：結(jié)合專業(yè)特征，設(shè)計教學(xué)案例教師從學(xué)生最近發(fā)展區(qū)出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生回顧函數(shù)解析式說，啟發(fā)學(xué)生思考：在現(xiàn)實生活中還有很多兩個相互依賴的變量是無法用表達式建立聯(lián)系的，該如何表示兩個變量關(guān)系？

案例2 波動一根兩端固定的彈性弦，使其具有某種初始狀態(tài)，然后使其釋放振動，彈性弦的振幅隨時間的變化情況如下圖所示

問題2 案例2中有變量嗎？如果有，有幾個變量？你能寫出變量之間的關(guān)系式嗎？

從這個例子中，我們發(fā)現(xiàn)，解析式并不能表示所有的函數(shù)關(guān)系，因此需要改進函數(shù)概念

歷史材料 由于“解析式說”并不能解釋所有的函數(shù)關(guān)系，歐拉在1755年《微分基礎(chǔ)》的前言中更新了函數(shù)的定義：如果某些量依賴于另一些量，當(dāng)后面這些量發(fā)生變化時，前面這些變量也隨之變化，則前面的量稱為后面的量的函數(shù)至此，函數(shù)的“變量依賴說”取代了“解析式說”“解析式說”和“變量依賴說”兩種函數(shù)定義統(tǒng)治了相當(dāng)長的歷史時期

設(shè)計意圖：教師遵循函數(shù)概念發(fā)展演變過程，啟發(fā)學(xué)生進一步思考，表述變量依賴關(guān)系的函數(shù)概念，培養(yǎng)學(xué)生勤于思考、嚴謹求實的學(xué)習(xí)品質(zhì)

案例3 今年2月份全國新冠肺炎當(dāng)日新增確診人數(shù)統(tǒng)計表如下

日期2223242526我國新冠肺炎當(dāng)日新增確診人數(shù)10127610

問題3 上述表格中有變量嗎？如果有，有幾個變量？你能用變量依賴說解釋嗎？

歷史材料 1837年，德國數(shù)學(xué)家狄利克雷認為：如果對的每一個值，總有一個完全確定的值與之對應(yīng)，那么是的函數(shù)“狄利克雷函數(shù)”的提出意義在于：這一全新的函數(shù)，突破了以往人們對于函數(shù)的印象，它既不能用統(tǒng)一的解析式表示，也不能用變量依賴說解釋狄利克雷定義的函數(shù)概念，第一次將函數(shù)定義域限定在一個區(qū)間上，打破了以往函數(shù)定義在整個實數(shù)集的局限這一定義就是人們常說的經(jīng)典函數(shù)定義由此，函數(shù)的“變量對應(yīng)說”取代了函數(shù)的“變量依賴說”

下面我們來回顧一下函數(shù)概念的三次演變

學(xué)說解析式說變量依賴說變量對應(yīng)說代表人物萊布尼茨和歐拉歐拉狄利克雷

在上一章中，我們學(xué)習(xí)了集合，知道了用集合來表示對象既簡潔又清晰

問題4 你能說說這三個函數(shù)自變量和因變量的取值集合嗎？

(1)=2(16≤≤20)

(3)

日期2223242526我國新冠肺炎當(dāng)日新增確診人數(shù)10127610

問題5 我們用集合表示了兩個變量的范圍，現(xiàn)在可不可以在變量對應(yīng)說的函數(shù)定義下，重新在集合的視角下來定義函數(shù)呢？

歷史材料 20世紀康托爾創(chuàng)立了集合論，人們發(fā)現(xiàn)集合語言能簡潔清晰地表示一些數(shù)學(xué)對象，并且集合語言被稱為近現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基本語言，廣泛地應(yīng)用于數(shù)學(xué)各個分支學(xué)科因此，集合概念的出現(xiàn)使得函數(shù)概念得到了進一步的發(fā)展數(shù)學(xué)家龐加萊曾說過，有了集合論，數(shù)學(xué)的完全嚴格性就已經(jīng)達到，用集合語言重新定義函數(shù)概念，是函數(shù)概念逐漸精確化的最佳途徑

設(shè)計意圖：在現(xiàn)實生活中，變量不僅可以代表實數(shù)，還可以代表不能表示大小的其他事物，既然變量都不是數(shù)字了，那么我們應(yīng)該找一個更加寬泛的概念來描述這種關(guān)系，于是函數(shù)“集合對應(yīng)說”應(yīng)運而生

在這一環(huán)節(jié)中，教師通過三個案例和五個層層遞進的探究題，啟發(fā)學(xué)生遵循數(shù)學(xué)家探究生活中變量關(guān)系的思路，理順函數(shù)定義發(fā)展的脈絡(luò)，讓學(xué)生在獲取新知的同時，能感悟數(shù)學(xué)家治學(xué)嚴謹?shù)膽B(tài)度

(三)概念的生成和理解

問題6=1是不是函數(shù)？如果是，定義域和值域分別是什么？

設(shè)計意圖：打破函數(shù)變量依賴說的慣性思維，教師引導(dǎo)學(xué)生從集合對應(yīng)說角度，考察=1是否為函數(shù)，加深學(xué)生對函數(shù)集合對應(yīng)說的理解

問題7 是否存在一個函數(shù)，使得非負實數(shù)對應(yīng)1，負實數(shù)對應(yīng)-1？如果可以找到，那么該函數(shù)定義域和值域分別是什么？

設(shè)計意圖：教師通過舉例構(gòu)建函數(shù)，進一步加深學(xué)生對集合元素對應(yīng)關(guān)系的認識

問題8 觀察圖像，是的函數(shù)嗎？說明理由

設(shè)計意圖：促進學(xué)生對定義中兩個變量的任意性和唯一性的理解，為辨別函數(shù)提供方法指導(dǎo)

問題9 下列函數(shù)是同一個函數(shù)嗎？

(3)=,∈{0,1}與=,∈{0,1}

設(shè)計意圖：教師通過同一函數(shù)的辨別，突出函數(shù)定義域和對應(yīng)法則在函數(shù)概念中的地位，凸顯函數(shù)概念的本質(zhì)

(四)課堂小結(jié)

教師引導(dǎo)學(xué)生回憶本節(jié)課的具體內(nèi)容，從中梳理知識層面和精神層面的收獲，啟發(fā)學(xué)生思考函數(shù)概念演變歷史帶來的啟示：數(shù)學(xué)的研究方向很多，函數(shù)是一個基礎(chǔ)而深刻的概念，從邏輯上來說，內(nèi)涵越小外延就越大如果一個概念定義越簡單，它能包括的事物就越多從函數(shù)概念的演變歷程可以看出，函數(shù)的定義需要眾多數(shù)學(xué)家的研究，更需要幾百年數(shù)學(xué)的發(fā)展作為基礎(chǔ)

二、學(xué)習(xí)反饋

課后問卷調(diào)查結(jié)果顯示：(1)在函數(shù)集合說概念理解上，課前有802%的學(xué)生認為=0不是函數(shù)，課中教師舉了一個類似的例子:=1是不是函數(shù)?通過函數(shù)集合說的概念學(xué)習(xí)，學(xué)生都認為這是一個函數(shù)，且能用集合對應(yīng)關(guān)系來描述函數(shù)，并能指出定義域和值域(2)90%的學(xué)生明白了為什么初中學(xué)習(xí)過函數(shù)，現(xiàn)在要重新認識函數(shù)，并且明白現(xiàn)在所學(xué)的集合對應(yīng)說的函數(shù)定義并非函數(shù)概念的最終形式，隨著問題層變化，可能還會出現(xiàn)新的函數(shù)概念，研究更加復(fù)雜的函數(shù)關(guān)系(3)在課后測驗中，我們發(fā)現(xiàn)大部分學(xué)生想了解數(shù)學(xué)概念發(fā)展的歷史，喜歡聽數(shù)學(xué)家構(gòu)建數(shù)學(xué)知識的故事，愿意遵循數(shù)學(xué)家的足跡認識和重構(gòu)新知識同時大部分學(xué)生希望“在數(shù)學(xué)課中穿插數(shù)學(xué)家的故事和言行”因為他們認為對比以前課堂上背概念、背公式和刷題，現(xiàn)在這種學(xué)習(xí)方式更有趣、更生動，他們不僅能感受到數(shù)學(xué)家的治學(xué)嚴謹，還能感受數(shù)學(xué)家背后折射出的人性光芒，既拓寬了他們的知識面，又使他們感受到數(shù)學(xué)課程滲透的人文精神

三、教學(xué)反思

通過學(xué)習(xí)，學(xué)生追隨數(shù)學(xué)家們的腳步，經(jīng)歷函數(shù)概念從“解析式說”到“變量依賴說”，再到“變量對應(yīng)說”，最后到“集合對應(yīng)說”的整個發(fā)展過程，獲得了對函數(shù)概念的深刻理解，同時積累了數(shù)學(xué)探究的經(jīng)驗，感受到數(shù)學(xué)的演進性特征整節(jié)課中，學(xué)生遵循數(shù)學(xué)家探究現(xiàn)實生活中變量關(guān)系的路徑，在問題情境探究中，共同揭示現(xiàn)實生活中各種變化過程背后的客觀規(guī)律，不僅了解了數(shù)學(xué)概念的發(fā)展史，還在舊知的基礎(chǔ)上構(gòu)建了新知，建立更加穩(wěn)固的函數(shù)概念知識網(wǎng)絡(luò)圖

通過“函數(shù)”一課的教學(xué)實踐，筆者認為，在課堂上再現(xiàn)數(shù)學(xué)歷史，發(fā)展核心素養(yǎng)，不能僅僅停留在“貼標(biāo)簽”層面，教師要結(jié)合具體的教學(xué)內(nèi)容，從教學(xué)目標(biāo)的確定、教學(xué)過程的實施到教學(xué)評價，都要有核心素養(yǎng)培育的意識，充分挖掘教學(xué)內(nèi)容中核心素養(yǎng)培養(yǎng)的素材，找準切入點，關(guān)注生長點，慢慢滲透，長期培育，逐步提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)

(一)再現(xiàn)歷史，重構(gòu)知識

數(shù)學(xué)知識具有厚重的歷史文化背景，數(shù)學(xué)的發(fā)展史就是數(shù)學(xué)知識的演變史本課采用的史料主要是通過歷史文獻得出結(jié)論：早期數(shù)學(xué)家在函數(shù)概念的理解上存在困惑，源于紛繁復(fù)雜的世界，歷史是一面鏡子，歷史相似性的存在告訴我們，如果我們能走進另一個時代、另一種文化的數(shù)學(xué)家的心靈中，那么我們就能更從容地走進同一個時代、同一種文化的學(xué)生心靈中，一起循著數(shù)學(xué)家的足跡，重新構(gòu)建知識

(二)改進方式，理解深刻

本文采用歷史發(fā)生教學(xué)原理，結(jié)合護理專業(yè)特點，整合教學(xué)資源，呈現(xiàn)知識自然發(fā)生全過程荷蘭著名數(shù)學(xué)教育家弗賴登塔爾認為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)主要是進行“再創(chuàng)造”，教師只有讓學(xué)生經(jīng)歷了知識的“再創(chuàng)造”過程，才能將知識以它最初被發(fā)現(xiàn)時的樣子表現(xiàn)出來，才能將數(shù)學(xué)冰冷的美麗轉(zhuǎn)變成火熱的思考因此本節(jié)課通過再現(xiàn)歷史、改進教學(xué)的方式，將知識發(fā)生過程進行濃縮，側(cè)重于主題發(fā)生發(fā)展的關(guān)鍵步驟、概念發(fā)生及發(fā)展中的思考過程，讓學(xué)生深刻理解知識的發(fā)展呈螺旋式上升在一定的歷史背景下，人們將某個概念定義為一種形態(tài)，隨著紛繁復(fù)雜的事物變化以及人們探尋解決問題的認知力的提升，某個概念的呈現(xiàn)也會發(fā)生變化數(shù)學(xué)教學(xué)不能割裂數(shù)學(xué)歷史，了解歷史，有助于我們更好地理解和教授數(shù)學(xué)概念這種呈現(xiàn)方式既符合函數(shù)概念發(fā)展的歷史脈絡(luò)，又符合函數(shù)概念發(fā)展的邏輯脈絡(luò)課堂中學(xué)生回憶已有的函數(shù)知識時，大多數(shù)學(xué)生對函數(shù)的理解還是局限在一次函數(shù)、反比例函數(shù)和二次函數(shù)的層面，也就是函數(shù)概念發(fā)展的第一個階段解析說因此，教師應(yīng)從解析式定義出發(fā)過渡到另外三種定義，站在學(xué)生認知的起點，構(gòu)建學(xué)生的認知脈絡(luò)

(三)精神引領(lǐng)，素養(yǎng)培育

源于教材、高于教材的內(nèi)容蘊含著數(shù)學(xué)思想方法、理性思維、情感態(tài)度、問題解決的能力等，需要教師從素養(yǎng)培養(yǎng)的視角進行適當(dāng)?shù)募庸ず屯诰驅(qū)W生通過數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，養(yǎng)成善于思考、以理服人的行為習(xí)慣，形成重論據(jù)、有條理、合乎邏輯的思維品質(zhì)，感悟嚴謹求實的科學(xué)精神和一絲不茍、精益求精的工匠精神本節(jié)課中數(shù)學(xué)學(xué)家研究概念的思維方式，刨根究底、嚴謹治學(xué)的科學(xué)精神等隱性的教育素材，是數(shù)學(xué)教育提升學(xué)生學(xué)科素養(yǎng)、實現(xiàn)立德樹人目標(biāo)的有力支撐