淺談函數(shù)的基本性質(zhì)的應(yīng)用

吳加火

（福建省大田縣第一中學(xué)）

函數(shù)簡單的理解就是一個量隨著另一個量的變化而變化，函數(shù)的性質(zhì)可以簡單地分為函數(shù)的單調(diào)性、對稱性、周期性三個基本性質(zhì)。

一、函數(shù)的單調(diào)性

函數(shù)的單調(diào)性，反應(yīng)的就是函數(shù)圖象的走勢，是學(xué)習(xí)函數(shù)最基本的函數(shù)基礎(chǔ)，而在學(xué)習(xí)與考試中則是比較函數(shù)的大小，解不等式與求最值。這是函數(shù)單調(diào)性應(yīng)用最多的幾種題型，例如：已知函數(shù)f（x）對任意x,y∈R均滿足：f（x+y）=f（x）+f（y）；f（1）=2；當(dāng)且僅當(dāng)x＜0時，f（x）＜0，求：當(dāng)-3≤x≤3時，求f（x）的最大值與最小值。

解：在方程f（x+y）=f（x）+f（y）中取x=0，y=0，可得f0=0，取y=-x，可得f（x）=-f（-x），即函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，在f（x）的定義域R內(nèi)任取x1，x2，使x1＜x2，即x1-x2＜0則f（x1-x2）=f（x1）+f（-x2）=f（x1）-f（x2）＜0，故f（x）在定義域R內(nèi)是單調(diào)遞增函數(shù)，因為f（1）=2，所以f（3）=f（2）+f（1）=f（1）+f（1）+f（1）=6，f（-3）=-f（3）=-6，故當(dāng)-3≤x≤3求f（x）的最大值為6，最小值-6。這就是一道經(jīng)典的對函數(shù)單調(diào)性理解的利用而對于函數(shù)的單調(diào)性的判斷一般通過函數(shù)的四則運算最終實現(xiàn)。

二、函數(shù)的對稱性

函數(shù)的對稱性可以理解為函數(shù)圖象的對稱性以及奇偶函數(shù)的對稱性。函數(shù)圖象的對稱性一般我們定義為若函數(shù)y=f（x）的圖象有兩條垂直對稱軸x=a和x=b（a不等于b）,那么f（x）為周期函數(shù)，2|a-b|是它的一個周期。若函數(shù)y=f（x）的圖象有一個對稱中心M（m，n）和一條垂直對稱軸x=a，那么f（x）為周期函數(shù)，且4|a-m|為它的一個周期。若一個函數(shù)的反函數(shù)是它本身，那么它的圖象關(guān)于直線y=x對稱。奇偶函數(shù)的性質(zhì)則可以簡單地說奇加減奇為偶，偶加減偶為偶，奇乘奇乘為偶，偶乘偶為偶。

三、函數(shù)的周性

函數(shù)的周期性反映的是函數(shù)的重復(fù)性，如果函數(shù)存在一個非零數(shù)使得當(dāng)定義域內(nèi)的每一個值時都成立，那么就把函數(shù)叫做周期函數(shù)，非零常數(shù)叫做這個函數(shù)的周期。在了解函數(shù)的性質(zhì)后，從而應(yīng)用到函數(shù)有關(guān)的題目中，在解決負(fù)數(shù)求證時都將用到函數(shù)的周期性的基本性質(zhì)。

孫宜新.函數(shù)的基本性質(zhì)的解題中的應(yīng)用［J］.數(shù)學(xué)愛好者，2006（02）.