基于學(xué)生經(jīng)驗(yàn)的數(shù)學(xué)建構(gòu)之旅

施英麗

（福建省晉江市靈源街道靈水中心小學(xué)）

回顧我國(guó)基礎(chǔ)教育數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史，作為一個(gè)一線教育工作者，在其思想中必定深深地烙下了“雙基”這個(gè)烙印。但在社會(huì)經(jīng)濟(jì)、文化飛速發(fā)展的今天，必將呼喚教育培養(yǎng)出適應(yīng)時(shí)代的人才，社會(huì)需要?jiǎng)?chuàng)新能力的人才，創(chuàng)新能力可從三方面獲得：一是知識(shí)的掌握，二是思維的訓(xùn)練，三是經(jīng)驗(yàn)的積累?！读x務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011 年版）》與實(shí)驗(yàn)稿相比在數(shù)學(xué)教學(xué)目標(biāo)上除繼續(xù)加強(qiáng)“雙基”外，還增加了“基本思想”和“基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)”，明確指出：“教學(xué)教學(xué)應(yīng)以學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展水平和已有的經(jīng)驗(yàn)為基礎(chǔ)，……使學(xué)生真正理解和掌握基本的數(shù)學(xué)知識(shí)與技能、數(shù)學(xué)思想和方法，得到必要的數(shù)學(xué)思維訓(xùn)練，獲得廣泛的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)?！毙抡n程要求學(xué)生主動(dòng)參與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程，強(qiáng)調(diào)每個(gè)學(xué)習(xí)者都不應(yīng)被動(dòng)地等待教師把知識(shí)傳遞給自己，而應(yīng)基于自己與世界相互作用的獨(dú)特經(jīng)驗(yàn)去建構(gòu)自己的知識(shí)并賦予經(jīng)驗(yàn)以意義。美國(guó)教育家杜威指出：“教育必須建立在經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上，教育就是經(jīng)驗(yàn)的生長(zhǎng)和經(jīng)驗(yàn)的改造?！倍磐恼摂嘟沂玖藢W(xué)生原有經(jīng)驗(yàn)和生活經(jīng)驗(yàn)在新知識(shí)學(xué)習(xí)中的作用?？梢?jiàn)，在教學(xué)中，經(jīng)驗(yàn)可作為新知識(shí)的生長(zhǎng)點(diǎn)和認(rèn)知平臺(tái)，通過(guò)不斷地喚醒、改造、遷移，促進(jìn)學(xué)生主動(dòng)地建構(gòu)數(shù)學(xué)模型。

一、喚醒經(jīng)驗(yàn)，初涉模型

建構(gòu)主義認(rèn)為：影響學(xué)習(xí)的唯一最重要的因素，就是學(xué)習(xí)者已經(jīng)知道了什么。學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)就是利用自己原有的數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)來(lái)主動(dòng)建構(gòu)新的數(shù)學(xué)知識(shí)，通過(guò)對(duì)新知識(shí)的認(rèn)識(shí)和理解，改造和充實(shí)自己的經(jīng)驗(yàn)，再用新的經(jīng)驗(yàn)來(lái)進(jìn)行新的數(shù)學(xué)認(rèn)知活動(dòng)的過(guò)程。也就是說(shuō)，學(xué)生的主動(dòng)發(fā)展離不開(kāi)學(xué)生的原有經(jīng)驗(yàn)。學(xué)生在正式學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)之前并非對(duì)數(shù)學(xué)一無(wú)所知，他們?cè)趤?lái)到學(xué)校之前就已經(jīng)在生活實(shí)踐中獲得了大量的數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)：形狀、數(shù)量、時(shí)間、空間、位置、排序、大小、分類、集合、對(duì)應(yīng)、比較等。這些“原生態(tài)”的經(jīng)驗(yàn)，于學(xué)生就是一種舊知、一種定式，很多時(shí)候是“內(nèi)隱”著的，是“蟄伏”著的，然而這種舊知需要當(dāng)場(chǎng)喚醒，需要當(dāng)即發(fā)生，需要有教師的引導(dǎo)，來(lái)傳遞教學(xué)上的正能量，讓知識(shí)經(jīng)驗(yàn)發(fā)光發(fā)熱。在教學(xué)三年級(jí)下冊(cè)《分一分（一）》時(shí)，分?jǐn)?shù)概念是學(xué)生首次接觸的重要的基礎(chǔ)知識(shí)，從整數(shù)到分?jǐn)?shù)是數(shù)概念的一次擴(kuò)展。學(xué)生建立這個(gè)概念需要一個(gè)較長(zhǎng)的過(guò)程。在正式學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)以前，學(xué)生已會(huì)運(yùn)用“一半”這樣的詞語(yǔ)，只是還沒(méi)有思考過(guò)要用什么符號(hào)來(lái)表示它們。在學(xué)生“分蘋果”的生活經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)上，通過(guò)“把4 個(gè)蘋果分給2 個(gè)人”“把4 個(gè)蘋果分給4 個(gè)人”“把1 個(gè)蘋果分給2 個(gè)人”這樣學(xué)生熟悉的簡(jiǎn)單問(wèn)題出發(fā)，巧妙地引導(dǎo)學(xué)生喚醒原有的“平均分”和“除法”的經(jīng)驗(yàn)，激活了學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)儲(chǔ)備，學(xué)生用個(gè)性化的方式表示出不同的結(jié)果，為初涉“分?jǐn)?shù)”模型作了適宜的認(rèn)知鋪墊。

又如，在教學(xué)“認(rèn)識(shí)人民幣”一課時(shí)，讓學(xué)生以小組為單位開(kāi)展購(gòu)物活動(dòng)，通過(guò)模擬“買文具”這一真實(shí)有趣的生活情境，有效地激活了學(xué)生已有的購(gòu)物的生活經(jīng)驗(yàn)，讓學(xué)生自然而然地掌握了元、角、分之間的關(guān)系。可見(jiàn)，學(xué)生已有的經(jīng)驗(yàn)只有被想方設(shè)法喚醒，為教學(xué)所用，才能成為一泓源頭活水，達(dá)到柳暗花明又一村的境界。

二、改造經(jīng)驗(yàn)，建構(gòu)模型

教育家杜威將教育理解為經(jīng)驗(yàn)的不斷改造，以學(xué)生經(jīng)驗(yàn)為出發(fā)點(diǎn)的課堂就應(yīng)讓學(xué)生在活動(dòng)中不斷豐富與改造，而獲得自己真正能理解的經(jīng)驗(yàn)，建構(gòu)數(shù)學(xué)模型。我們應(yīng)更多地思考如何“對(duì)經(jīng)驗(yàn)的改造”，將經(jīng)驗(yàn)改造為科學(xué)，而不是成為孩子們創(chuàng)新思維的絆腳石，在當(dāng)前就應(yīng)注意防止這樣一種傾向，即由于盲目追隨時(shí)髦而造成“常識(shí)的迷失”。以下是某位教師在教學(xué)《線的認(rèn)識(shí)》一課時(shí)的片段：

師：我們研究的是直直的線，這些線分為長(zhǎng)的看不到頭，長(zhǎng)但可以看到頭，短的可以看到頭幾種情況，看到頭的又可以分為看得到起點(diǎn)和終點(diǎn)，只看到一個(gè)頭的兩種情況。（學(xué)生頻頻點(diǎn)頭，師板書以上三種情況。）

師：你能將這三種不同特征的線畫出來(lái)嗎？（學(xué)生自由完成后交流。）

師：同學(xué)們，剛才我們畫的這個(gè)“頭”，在數(shù)學(xué)上稱為“端點(diǎn)”……這三種情況在數(shù)學(xué)上分別稱為直線、射線、線段。

數(shù)學(xué)模型的建立有賴于數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)的合理改造。教師利用生活喚醒學(xué)生潛在知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，繼續(xù)豐富線看不到起點(diǎn)和終點(diǎn)，看到起點(diǎn)但看不到終點(diǎn)，可以看到起點(diǎn)和終點(diǎn)三種情況的“生活化數(shù)學(xué)事實(shí)”。課堂中，師生進(jìn)行了無(wú)拘無(wú)束的交流討論，一起對(duì)生活中慣見(jiàn)說(shuō)法（“頭”“終點(diǎn)”等）進(jìn)行了提煉、改造、升華，使之?dāng)?shù)學(xué)化、模型化，在學(xué)生頭腦中順利而牢固地建立了“端點(diǎn)”的表象，建立了直線、射線、線段的數(shù)學(xué)概念模型。教師不僅重視學(xué)生已有的經(jīng)驗(yàn)，使學(xué)生的數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)不斷呈現(xiàn)、生長(zhǎng)，而且通過(guò)交流，使經(jīng)驗(yàn)不斷豐實(shí)、提升，成功地實(shí)現(xiàn)了從數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)到數(shù)學(xué)模型的跨越，充分體現(xiàn)“教育過(guò)程是經(jīng)驗(yàn)不斷改組、改造和轉(zhuǎn)化的過(guò)程”這一理念。

在教學(xué)“面積單位”時(shí)，如果把抽象的知識(shí)直接呈現(xiàn)給學(xué)生，認(rèn)知突然，又易死記硬背。它應(yīng)該是在學(xué)生已有的“長(zhǎng)度”知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上學(xué)習(xí)的，如果能以長(zhǎng)度單位為“固著點(diǎn)”，把新知識(shí)納入原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，則新舊知識(shí)將相互作用而獲得意義。因此，教師從面積單位蘊(yùn)含的教學(xué)本質(zhì)入手，結(jié)合線、面之間的關(guān)系，以長(zhǎng)度單位1 厘米、1 分米、1 米分別往上推高，得到了相應(yīng)的1 平方厘米、1平方分米、1 平方米的格子。這樣的動(dòng)態(tài)化呈現(xiàn)過(guò)程，化靜為動(dòng)，直觀形象地還原了面積單位的“生命形態(tài)”。此外，呈現(xiàn)面積單位后，又以“這個(gè)面積單位有什么特點(diǎn)”“這三個(gè)面積單位有什么相同點(diǎn)和不同點(diǎn)”等問(wèn)題，引發(fā)學(xué)生深層次的思考，學(xué)生的對(duì)話既溝通了長(zhǎng)度單位和面積單位間的聯(lián)系，又建構(gòu)了“面積單位”的本質(zhì)。

三、遷移經(jīng)驗(yàn)，完善模型

從具體的問(wèn)題抽象、提煉、構(gòu)建出相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，并不是學(xué)生認(rèn)識(shí)的終結(jié)。建立模型后，教師還要組織學(xué)生通過(guò)經(jīng)驗(yàn)的遷移將數(shù)學(xué)模型還原為具體的數(shù)學(xué)直觀或可感的數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)，使原有的經(jīng)驗(yàn)結(jié)構(gòu)才更為完善充實(shí)、已經(jīng)構(gòu)建的數(shù)學(xué)模型的情境得以擴(kuò)充和提升。

如“雞兔同籠”，通過(guò)雞、兔來(lái)研究問(wèn)題、解決問(wèn)題，但建立模型的過(guò)程不可能將所有的同類事物都舉盡，因此，教師要帶領(lǐng)學(xué)生繼續(xù)擴(kuò)展考查的范圍，提煉出不同情境、數(shù)據(jù)時(shí)相同的模型結(jié)構(gòu)，變多種問(wèn)題情境為一種模型結(jié)構(gòu)。在建立“雞兔同籠”問(wèn)題的解決模型后，教師可以出示如下問(wèn)題讓學(xué)生分析：（1）停車場(chǎng)上停了汽車和摩托車一共32 輛，有10 個(gè)輪子，求汽車和摩托車各有多少輛？（2）全班46 人去劃船，共乘12 只船，其中每只大船正好坐5 人，每只小船正好坐3 人，求大船和小船各有多少只？（3）儲(chǔ)蓄罐里有1角和5 角的硬幣共30 枚，價(jià)值7 元，1 角和5 角的硬幣各有多少枚？這些題目分別涉及“汽車和摩托車”“大小船”“1 角和5 角的硬幣”，盡管情境不同，但模型的本質(zhì)相同，都是把不同的兩種量轉(zhuǎn)變成“雞”和“兔”，然后用“雞兔同籠”問(wèn)題的模型解答。學(xué)生在解決這些問(wèn)題的過(guò)程中逐漸形成“雞兔同籠”問(wèn)題的“數(shù)學(xué)形式”，將復(fù)雜的問(wèn)題簡(jiǎn)單化，同時(shí)積累了數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，學(xué)會(huì)了數(shù)學(xué)思考。

總之，數(shù)學(xué)知識(shí)的建構(gòu)過(guò)程就是讓學(xué)生從既有經(jīng)驗(yàn)出發(fā)引出新經(jīng)驗(yàn)的過(guò)程，是經(jīng)驗(yàn)“打磨”的過(guò)程，學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)如同春天時(shí)萌芽的種子，充滿著生長(zhǎng)的力量；教師的課堂教學(xué)就是把教材這一養(yǎng)料以適宜的方式適時(shí)、適量地提供給學(xué)生經(jīng)驗(yàn)這顆已萌芽的種子，以促進(jìn)它不斷生長(zhǎng)。

吳榮安.基于學(xué)生經(jīng)驗(yàn)的數(shù)學(xué)課堂資源開(kāi)發(fā)與利用策略［J］.江蘇教育，2012（09）.