巧借東風(fēng)，化難為易
——一個(gè)基本圖形在中考復(fù)習(xí)中的應(yīng)用

王雪麗

（浙江省溫嶺市松門鎮(zhèn)中學(xué)）

巧借東風(fēng)，化難為易
——一個(gè)基本圖形在中考復(fù)習(xí)中的應(yīng)用

王雪麗

（浙江省溫嶺市松門鎮(zhèn)中學(xué)）

在歷年的中考題中，以加菲爾德證明勾股定理時(shí)所采用的構(gòu)圖為基礎(chǔ)進(jìn)行演變，形成一類基本圖形，結(jié)合平行四邊形、平面直角坐標(biāo)系、函數(shù)知識(shí)的綜合題目，它們都可由兩個(gè)三角形相似得到相應(yīng)的邊之間的關(guān)系，從而進(jìn)行解題。引導(dǎo)學(xué)生注重對(duì)已獲得的知識(shí)、解題經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行歸納和轉(zhuǎn)化，進(jìn)一步發(fā)展解題能力，提高中考復(fù)習(xí)的有效性。

構(gòu)造；加菲爾德圖形；相似三角形

美·波利亞說：“求解某個(gè)數(shù)學(xué)題目所需的材料是我們以前所獲得的數(shù)學(xué)知識(shí)中某些與之相關(guān)的內(nèi)容，比如以前解過的某些題目或者以前證明過的某些定理?！睉?yīng)用一些基本圖形及基本結(jié)論可以提高學(xué)生相應(yīng)的解題能力。

1876年，美國第20任總統(tǒng)詹姆斯·瓊·加菲爾德（A·Garfield, 1831～1881），他在《新英格蘭教育日志》上發(fā)表了勾股定理的證明，如圖1，通過構(gòu)造兩個(gè)全等的直角三角形，利用同一圖形整體面積等于局部面積之和，從而證明了勾股定理。驚嘆于證明的巧妙構(gòu)思之余，更對(duì)于他的構(gòu)圖產(chǎn)生了一些思考。

如圖1，已知∠B=∠D=∠ACE=90°可得∠ECD=∠CAB，所以△ABC～△ECD，若兩個(gè)三角形的相似比為1，則△ABC≌△ECD。

圖1

如圖1這樣的基本圖形，我們稱之為加菲爾德圖形，也叫做三垂足共線圖形。從上述的證明中我們發(fā)現(xiàn)加菲爾德圖形有個(gè)基本結(jié)論，若∠B=∠D=∠ACE=90°，則△ABC～△ECD。

這一基本圖形的基本結(jié)論在中考題中有較廣泛的應(yīng)用，特別在求線段長度、點(diǎn)的坐標(biāo)以及函數(shù)等問題時(shí)，應(yīng)用這一基本圖形，可達(dá)到事半功倍的效果。

一、在有些數(shù)學(xué)題中直接提煉加菲爾德圖形，應(yīng)用基本圖形的結(jié)論構(gòu)造方程求解

例1（.2014年山東省棗莊市）如圖2，將矩形ABCD沿CE向上折疊，使點(diǎn)B落在AD邊上的點(diǎn)F處，若AE=BE，則長AD與寬AB的比值是_______。

圖2

二、在很多數(shù)學(xué)題中，加菲爾德圖形是隱性存在的，這就需要學(xué)生在解題過程中去構(gòu)造加菲爾德圖形

圖3

圖4

圖5

例3（.2014年江蘇省南京市）如圖5，在矩形AOBC中，點(diǎn)A的坐標(biāo)是（-2，1），點(diǎn)C的縱坐標(biāo)是4，則B、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別是 （ ）

解析：求點(diǎn)的坐標(biāo)常聯(lián)想到過點(diǎn)作坐標(biāo)軸的垂線段，從而求點(diǎn)坐標(biāo)問題可轉(zhuǎn)化為求垂線段的長度問題，如圖6，過A、B、C分別作AD⊥x軸于點(diǎn)D，BE⊥x軸于點(diǎn)E，CG⊥y軸于點(diǎn)G,交BE于點(diǎn)F。構(gòu)造兩個(gè)加菲爾德圖形，易得△DAO～△EOB～△FBC，又由于BC=AO，則△DAO≌△FBC，結(jié)合已知條件易得，OE=，CG=。故選B。

圖6

分解和重組是思維的重要活動(dòng)。復(fù)雜的綜合題是由一些常見的基本題目、基本圖形組合而成的。對(duì)于這一類題目，我們可以采用庖丁解牛的手法，把復(fù)雜的問題分解成簡單的問題；應(yīng)用基本圖形及其結(jié)論可使復(fù)雜的問題迎刃而解，這種化難為易、化繁為簡的解題思想初中數(shù)學(xué)中考復(fù)習(xí)很重要。

三、遷移圖形

當(dāng)∠B=∠C=∠AED=a時(shí)，加菲爾德圖形的結(jié)論仍成立。我們把類似于圖7的基本圖形叫做M型圖形，也叫做三等角頂點(diǎn)共線圖形。它們有共同結(jié)論：△ABC～△ECD。

圖7

引導(dǎo)學(xué)生熟悉和掌握一系列基本圖形及其相關(guān)結(jié)論，能夠把問題從陌生熟悉化，從復(fù)雜簡單化，從困惑明朗化。引導(dǎo)學(xué)生注重對(duì)題目條件的分析、結(jié)論的分析，以及條件和結(jié)論之間聯(lián)系的分析。歸納出解決問題的通性、通法，既能夯實(shí)基礎(chǔ)，又能達(dá)到讓學(xué)生懂一題，曉一類，通一片的效果。推動(dòng)學(xué)生數(shù)學(xué)能力的發(fā)展和數(shù)學(xué)思維的進(jìn)步，從而提高中考復(fù)習(xí)的有效性。

［1］波利亞.怎樣解題：數(shù)學(xué)思維的新方法［M］.涂泓，馮承天，譯.上海：上海科技教育出版社，2013.

［2］王金戰(zhàn)，王志進(jìn).中考搶分36計(jì)：數(shù)學(xué)［M］.吉林教育出版社，2011.

·編輯 張珍珍