初等數(shù)學(xué)研究的文化價(jià)值挖掘

李三華

(井岡山大學(xué) 數(shù)理學(xué)院數(shù)學(xué)系，江西 吉安 343009)

在高等院校數(shù)學(xué)系開設(shè)《初等數(shù)學(xué)研究》這一課程，主要是為了數(shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)生將來能從事中學(xué)數(shù)學(xué)教育工作。眾所周知，《初等數(shù)學(xué)研究》課程旨在“居高臨下”地對初等數(shù)學(xué)從內(nèi)容到理論體系、知識結(jié)構(gòu)有一個(gè)系統(tǒng)深入的研究，［1］雖然這門課程中大多數(shù)概念和原理為學(xué)生所熟悉，但是學(xué)生學(xué)習(xí)這門課程的積極性不是很高，總覺得太簡單而不像對待其他數(shù)學(xué)專業(yè)知識那么重視。另外，作為高校教育工作者有時(shí)會(huì)把高等數(shù)學(xué)與初等數(shù)學(xué)割裂開來，［2］不會(huì)考慮到用高等數(shù)學(xué)的思想、知識、方法來解決初等數(shù)學(xué)問題，也不會(huì)考慮把初等數(shù)學(xué)問題放在數(shù)學(xué)文化背景下教學(xué)，以身試教為學(xué)生作榜樣。如此下去，學(xué)生在學(xué)習(xí)這門課程的時(shí)候，感覺自己還是像中學(xué)生一樣處理初等數(shù)學(xué)問題，完全不會(huì)把所學(xué)的大學(xué)高等數(shù)學(xué)知識進(jìn)行考慮問題，導(dǎo)致學(xué)生的思維能力回到了中學(xué)生時(shí)代的原點(diǎn)，更何況談及學(xué)生創(chuàng)新思維能力、探索能力的培養(yǎng)與陶冶學(xué)生數(shù)學(xué)文化情操。

鑒于以上情況，從文化視角［3］下對初等數(shù)學(xué)研究教學(xué)中作了一些深入的改革，主要從高等數(shù)學(xué)知識在這門課程中充分挖掘與之相關(guān)的初等數(shù)學(xué)內(nèi)容并如何調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的主動(dòng)性，更新傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教育觀念、轉(zhuǎn)變已有的教學(xué)方式，以符合現(xiàn)代數(shù)學(xué)教育目的的全面貫徹，即適合社會(huì)大眾的需要。

1 利用高等數(shù)學(xué)知識挖掘初等數(shù)學(xué)研究中容易忽視的內(nèi)容，注重學(xué)生的個(gè)人體驗(yàn)

初等數(shù)學(xué)是一門綜合性學(xué)科，涉及了各個(gè)方面的數(shù)學(xué)知識，其內(nèi)容看似簡單，但與高等數(shù)學(xué)的牽連極其緊密，需要高等數(shù)學(xué)來進(jìn)行研究解釋緣由及發(fā)展過程，挖掘它所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)概念內(nèi)涵和外延、解題思路、數(shù)學(xué)文化等。因而在初等數(shù)學(xué)研究的教學(xué)中，結(jié)合高等數(shù)學(xué)的知識，提出課題，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行研究及查找文獻(xiàn)資料。

1.1 突出數(shù)論在初等數(shù)學(xué)研究的教育文化價(jià)值，促使學(xué)生對問題的思考及解決

初等數(shù)學(xué)研究中一些細(xì)小的內(nèi)容很容易被學(xué)生忽視，認(rèn)為它們極其簡單，其實(shí)不然，這些內(nèi)容表面上看起來確實(shí)顯而易見的，但是要學(xué)生說出其緣由來，估計(jì)很難道出個(gè)一二。這就需要教師利用高等數(shù)學(xué)來挖掘初等數(shù)學(xué)研究中細(xì)小內(nèi)容。比如在有理數(shù)域中提到分?jǐn)?shù)與小數(shù)互化:有理數(shù)，當(dāng)分母n 的質(zhì)因數(shù)只有2 和5 時(shí)，則可化為有限小數(shù)。當(dāng)分母n 含有2 和5 以外的其它質(zhì)因數(shù)時(shí)，則可化為循環(huán)小數(shù)。這個(gè)教學(xué)內(nèi)容一不小心就會(huì)跳過，不會(huì)被學(xué)生注意到，就算看見了，也不會(huì)把它作為一個(gè)研究問題去考慮。因此，這就要求教師對這個(gè)內(nèi)容的處理，如何引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步地探究這個(gè)問題的緣由以及相關(guān)研究問題。首先，引導(dǎo)學(xué)生把已經(jīng)學(xué)過的數(shù)論的相關(guān)知識和定理從腦海中回顧起來，或者作為課堂討論形式來說明為什么當(dāng)分母n 的質(zhì)因數(shù)只有2 和5 時(shí)，則可化為有限小數(shù)。而為什么當(dāng)分母n 含有2 和5 以外的其它質(zhì)因數(shù)時(shí)，則可化為循環(huán)小數(shù)，此時(shí)學(xué)生會(huì)發(fā)現(xiàn)循環(huán)小數(shù)分兩種情形，一種是純循環(huán)小數(shù)，另一種是混循環(huán)小數(shù)，接著提問具備什么條件下，有理數(shù)是純循環(huán)還是混循環(huán)小數(shù)呢?然后要利用歐拉定理和費(fèi)馬定理在研究循環(huán)小數(shù)的作用，進(jìn)一步深入說明有理數(shù)能表成純循環(huán)小數(shù)的充分必要條件是n 與10 互質(zhì)以及當(dāng)分母n 的質(zhì)因數(shù)只有2 和5，其他質(zhì)因數(shù)與10 互質(zhì)時(shí)，有理數(shù)可以表成混循環(huán)小數(shù)。在這個(gè)過程中，讓學(xué)生查詢數(shù)論資料來分析上述問題，在分析過程中，更能清楚地認(rèn)識到同余、簡化剩余系的概念及性質(zhì)，并把這些性質(zhì)來理解上述兩個(gè)著名的定理。用數(shù)論的觀點(diǎn)，使學(xué)生意識到課本上幾行字間都能透出深?yuàn)W的數(shù)學(xué)文化知識，使學(xué)生對在中小學(xué)時(shí)代在頭腦中建構(gòu)的認(rèn)知結(jié)構(gòu)進(jìn)行了調(diào)整，對這部分知識的認(rèn)識提高了層次，同時(shí)學(xué)習(xí)目的性增強(qiáng)了。利用數(shù)論知識指導(dǎo)初等數(shù)學(xué)研究的教學(xué)，學(xué)生自身的數(shù)學(xué)文化素養(yǎng)也得到了培養(yǎng)，進(jìn)而更能激發(fā)學(xué)習(xí)的主動(dòng)性。

1.2 初等數(shù)學(xué)研究也可激發(fā)學(xué)生對數(shù)學(xué)文化的情感

目前，數(shù)學(xué)文化已經(jīng)逐步進(jìn)入了大學(xué)數(shù)學(xué)各個(gè)學(xué)科的教學(xué)中，在初等數(shù)學(xué)研究的教學(xué)也不例外，也需要數(shù)學(xué)史融入其中，使教學(xué)內(nèi)容豐富起來，不至于學(xué)生僅限于如何解題而感到疲乏，而且更助于學(xué)生理解其他高等數(shù)學(xué)知識，學(xué)生自身的數(shù)學(xué)文化素養(yǎng)也得到了進(jìn)一步的提高。

比如數(shù)系的擴(kuò)充，［4］首先自然數(shù)的產(chǎn)生，起源于人類在生產(chǎn)和生活中的需要。利用多媒體把繩結(jié)法和中國古代的甲骨文記數(shù)法展現(xiàn)出來，使學(xué)生從視覺上就知道了古代人們是如何來記數(shù)的以及認(rèn)識我國古代的甲骨文中的“數(shù)”字，左邊表示打結(jié)的繩，右邊是一只手，表示古人用結(jié)繩記數(shù)，由此理科的學(xué)生也知道“數(shù)”是個(gè)象形文字。然后由有理數(shù)談到實(shí)數(shù)，添了無理數(shù)。新數(shù)的產(chǎn)生不是一帆風(fēng)順的，正是由于它的發(fā)現(xiàn)，打破了畢達(dá)哥拉斯的“萬物皆數(shù)”信條，［5］引起了數(shù)學(xué)界思想的混亂，導(dǎo)致了數(shù)學(xué)史上的第一次數(shù)學(xué)危機(jī)。接著當(dāng)無理數(shù)的位置確定后，人們又發(fā)現(xiàn)即使使用全部的有理數(shù)和無理數(shù)，也不能解決代數(shù)方程的求解問題，例如最簡單的二次方程x2+1 = 0 在實(shí)數(shù)范圍是沒有解的。從12 世紀(jì)到16 世紀(jì)數(shù)學(xué)史上主要關(guān)心的問題是解決三次方程和四次方程，都要利用到負(fù)數(shù)平方根，在那個(gè)年代負(fù)數(shù)本身就是令人懷疑的，負(fù)數(shù)的平方根就更加荒謬了，所以有人稱負(fù)數(shù)平方根是“不可捉摸而無用的東西”。直至17 世紀(jì)，“虛數(shù)”這個(gè)名詞由著名數(shù)學(xué)家笛卡爾創(chuàng)制，因?yàn)楫?dāng)時(shí)的觀念認(rèn)為這是真實(shí)不存在的數(shù)字。虛數(shù)，人們開始稱之為“實(shí)數(shù)的鬼魂”，1637 年笛卡兒稱為“想像中的數(shù)”，后來發(fā)現(xiàn)虛數(shù)可對應(yīng)平面上的縱軸，與對應(yīng)平面上橫軸的實(shí)數(shù)同樣真實(shí)。1777 年瑞士數(shù)學(xué)家歐拉(Euler)開始使用符號i 表示虛數(shù)的單位，創(chuàng)立了復(fù)變函數(shù)論，并把它們應(yīng)用到水利學(xué)、地圖繪制學(xué)上。19 歲的高斯通過復(fù)數(shù)原理，成功解決了正十七邊形的尺規(guī)作圖問題，同時(shí)將直角坐標(biāo)平面上的點(diǎn)和復(fù)數(shù)建立了一一對應(yīng)的關(guān)系，是復(fù)數(shù)領(lǐng)域的集大成者。至此虛數(shù)才廣為人知。真是:虛數(shù)不虛。如此看來，數(shù)的產(chǎn)生都要經(jīng)歷幾個(gè)世紀(jì)，才被大眾接受，學(xué)生由此感覺到每個(gè)事物都是來之不易，感受到數(shù)學(xué)家們對數(shù)學(xué)高峰的堅(jiān)強(qiáng)意志的攀登。利用數(shù)學(xué)史進(jìn)行教學(xué)，不但使學(xué)生對數(shù)學(xué)中每個(gè)概念有了前前后后的了解，而且讓學(xué)生得到了數(shù)學(xué)文化的熏陶，引導(dǎo)學(xué)生把數(shù)學(xué)家們對數(shù)學(xué)追求的精神帶到學(xué)習(xí)當(dāng)中去。

1.3 揭示初等數(shù)學(xué)研究內(nèi)容與高等數(shù)學(xué)知識相互呼應(yīng)，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)

大家都知道，利用高等數(shù)學(xué)知識和方法研究初等數(shù)學(xué)的概念、原理、方法和問題，能使學(xué)生“居高臨下”的學(xué)習(xí)，是主動(dòng)接受信息和創(chuàng)造性思維的產(chǎn)生過程。反過來，初等數(shù)學(xué)的研究方法同樣會(huì)對高等數(shù)學(xué)知識和方法產(chǎn)生鞏固和啟發(fā)的作用。

比如實(shí)數(shù)的概念，初等數(shù)學(xué)研究中首先給出正實(shí)數(shù)的定義:正的十進(jìn)小數(shù)叫做正實(shí)數(shù)，然后定義實(shí)數(shù)是正實(shí)數(shù)、負(fù)實(shí)數(shù)和0 的總稱。緊接著介紹有理閉區(qū)間套，運(yùn)用數(shù)學(xué)分析的區(qū)間套定理說明存在唯一的一個(gè)實(shí)數(shù)。按照這個(gè)順序講解的話，學(xué)生可能會(huì)想這個(gè)有理閉區(qū)間套定理怎么憑空產(chǎn)生的呢。不妨先從康托的基本序列說來介紹實(shí)數(shù)的定義，它是指有理數(shù)的基本序列的等價(jià)類稱為實(shí)數(shù)。其基本思想:把無限小數(shù)看作是一個(gè)有限小數(shù)序列的極限，例如:1.4，1.41，1.414，1.4142，……。再介紹戴德金分割說:有理數(shù)的戴德金分割稱為實(shí)數(shù)，有端點(diǎn)分割稱為有理數(shù)，無端點(diǎn)分割稱為無理數(shù)。它的基本思想是:有理數(shù)在直線上分布是稠密的，但是不連續(xù)的，存在“漏洞”?！岸础笔且粋€(gè)無法從自身的結(jié)構(gòu)來定義的概念，但是“洞”在直線上對其他點(diǎn)起到“分割”的作用。如此這樣，學(xué)生自然而然覺得構(gòu)造有理區(qū)間套是有歷史依據(jù)的，只要取這個(gè)實(shí)數(shù)的不足近似值和過剩近似值，構(gòu)成一系列的有理數(shù)列。同時(shí)，學(xué)生也就明白了數(shù)學(xué)分析課本中如何會(huì)有閉區(qū)間套定理也是現(xiàn)實(shí)背景材料的，也致使學(xué)生在這方面的數(shù)學(xué)思維結(jié)構(gòu)更加鞏固和提高。另外，初等數(shù)學(xué)研究還介紹實(shí)數(shù)的加減乘除以及開方都是構(gòu)造了一系列不同的有理區(qū)間套來進(jìn)行證明的，學(xué)生讀到這里，心里也就一切開闊明亮了，不需要像以前讀數(shù)學(xué)分析中的閉區(qū)間套定理只是死背死理解，那么在此就有很好的實(shí)例加以深刻理解。

2 轉(zhuǎn)變初等數(shù)學(xué)研究的教學(xué)方式，擴(kuò)大學(xué)生的活動(dòng)探究領(lǐng)域

初等數(shù)學(xué)中的各個(gè)部分，各個(gè)專題的題目都很多，學(xué)生學(xué)習(xí)它們不可能像中學(xué)生一樣，仍處于中學(xué)時(shí)代所學(xué)習(xí)的知識、方法來解決問題或者一味地機(jī)械做題，使初等數(shù)學(xué)脫離了高等數(shù)學(xué)，無法達(dá)到教育的首要目標(biāo)在于造就能夠創(chuàng)新的人才。這就希望教師精心策劃教學(xué)內(nèi)容，結(jié)合學(xué)生特點(diǎn)，把教材處理得當(dāng)，引導(dǎo)學(xué)生從被動(dòng)地接受知識轉(zhuǎn)變到主動(dòng)地、創(chuàng)新地組成自己的知識結(jié)構(gòu)，給學(xué)生一個(gè)活動(dòng)探究空間。

2.1 在初等數(shù)學(xué)研究中引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)思維進(jìn)行探索，還原數(shù)學(xué)方法本貌

數(shù)學(xué)方法是從個(gè)別的解題目的過程中，提煉出普遍的、一般方法，反過來再用數(shù)學(xué)方法來指導(dǎo)解決具體問題，這些對于教師來都是非常重要的能力，那么在初等數(shù)學(xué)研究教學(xué)中更加要給學(xué)生充分的探究空間，［6］還原數(shù)學(xué)方法本來形成的過程。

比如多項(xiàng)式的因式分解，是一種與多項(xiàng)式乘法相反的恒等變形過程。和多項(xiàng)式乘法有固定的運(yùn)算程序截然不同，因式分解往往使人感到難度較大，沒有刻板程式可以依循，有一些突發(fā)奇想的因式分解的高度技巧性，也是學(xué)生難以想到的。在此，我們就是要把這種高度技巧性的數(shù)學(xué)方法給還原出來。例如，在有理數(shù)集內(nèi)分解x5+ x－1 的因式，課本上的解法就是由視察法，本題無一次因式。因?yàn)閤5和x 的次數(shù)相差太大，可考慮添加一些中間項(xiàng)，使它們產(chǎn)生聯(lián)系，即x5+ x－1 = x5+ x2－x2+ x－1 = x2(x3+1)－ (x2－ x +1)= x2(x +1)(x2－x +1)－ (x2－x +1)= (x2－x+1)(x3+x2－1)。面對這些陌生的因式分解題，為什么要添加中間項(xiàng)這一方法，往往使人感到束手無策。下面我們就還原這個(gè)過程。先用綜合除法分析原式在有理數(shù)集上沒有一次因式。假定原式含有x 的二次因式和x 的三次因式。設(shè)x5+ x－1 = (x2+ mx + n)(x3+ kx2+ lx + q)= x5+ (k+ m)x4+ (l + mk + n)x3+ (q + ml + kn)x2+ (mq + nl)x +nq，比較等式兩端對應(yīng)項(xiàng)的系數(shù)，經(jīng)合理計(jì)算得出m =－1，n = 1，k = 1，l = 0，q =－1 。此過程完全可由學(xué)生自己推算出來，如同起初研究者一樣，研究解題思路，還原解題方法，歸納總結(jié)一系列的類似題型，得出經(jīng)驗(yàn)。當(dāng)然，經(jīng)過這樣的思維和聯(lián)想，繼而培養(yǎng)自己的聯(lián)想能力和發(fā)散思維能力，這都是有效的途徑。再次碰到類似題型就知道要添加哪些中間項(xiàng)，如何分組分解，如在有理數(shù)域上分解x4+x3－5x－3 的因式，也是添加中間項(xiàng)x2，得到原式= x4－x + x3+x2－2x－x2－2x－3 = x(x3－1)+x(x2+x－2)－(x2+2x +3)= x(x－1)(x2+2x +3)－(x2+2x +3)= (x2+2x +3)(x2－x－1)。

2.2 在初等數(shù)學(xué)研究中引導(dǎo)學(xué)生對案例進(jìn)行反思，轉(zhuǎn)變學(xué)生自己的角色

在初等數(shù)學(xué)研究的教學(xué)過程中，有時(shí)候不需要講太深?yuàn)W的知識以及中學(xué)不涉及的問題與方法，而多講中學(xué)數(shù)學(xué)未探索的又對中學(xué)數(shù)學(xué)有用的東西，講一些學(xué)生在中學(xué)時(shí)代容易忽略的問題。

如方程是初等代數(shù)最基本的內(nèi)容之一，在數(shù)學(xué)各分支及其它許多學(xué)科中都有廣泛的應(yīng)用。方程和方程組的中心問題是求解，現(xiàn)代數(shù)學(xué)教育中的方程理論，是以集合和函數(shù)概念為基礎(chǔ)、以解析式的恒等變形為主要工具展開。大家都知道解方程的過程，是通過對等式兩邊的解析式進(jìn)行一系列變形來實(shí)現(xiàn)的，在變形過程中要判別方程的解是否“失真”，在中學(xué)里老師只是告訴學(xué)生哪些方程該要注意失根或增根，對于“為什么”的問題沒有給出具體的理論依據(jù)。在初等數(shù)學(xué)研究中，教師提出以上問題，引導(dǎo)學(xué)生在課本里尋找真正的答案。此時(shí)，學(xué)生就要把自己當(dāng)成一個(gè)老師，指出方程的解是否“失真”，與方程的同解性有關(guān)，即方程經(jīng)過恒等變形后，新方程與原方程的定義域要相同，則兩個(gè)方程才同解。有了這個(gè)定理，對于常見方程的解法的同解性分析，就變得簡單多了，例如分式方程、無理方程等，再也不需要像中學(xué)一樣進(jìn)行機(jī)械地記憶并出錯(cuò)，容易忘記。

初等數(shù)學(xué)研究還涉及到一些中學(xué)數(shù)學(xué)的邊緣問題。比如方程組的解法，如果一個(gè)二元二次方程組中有一個(gè)是二元一次方程，或者兩個(gè)都是二元二次方程，但可通過加減消元法消去二次項(xiàng)或其中有一個(gè)可以分解成一次因式的，這些在中學(xué)數(shù)學(xué)里都有詳述。但是一些特殊類型的二元二次與二元三次方程組，就要根據(jù)方程組的具體特征，采用適當(dāng)方法消元、降次及分解因式等。對于方程組內(nèi)至少有一個(gè)初等超越方程，它沒有系統(tǒng)的初等解法可循，但對于某些特殊的超越方程組，則可根據(jù)其特點(diǎn)采用適當(dāng)?shù)某醯确椒ㄇ蠼?，并依?jù)有關(guān)函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合所給方程的具體特征考慮其解法。這些問題，教師都可以適當(dāng)?shù)嘏e例，引導(dǎo)學(xué)生動(dòng)手動(dòng)腦，讓學(xué)生自己嘗試分析一個(gè)題目或講述一個(gè)專題，教師加以指導(dǎo)、補(bǔ)充。

［1］張志敏. 充分發(fā)揮《初等數(shù)學(xué)研究》課的教育教學(xué)價(jià)值［J］. 數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，1996，5(1):86－90.

［2］邵光華. 高師數(shù)學(xué)教育專業(yè)“初等數(shù)學(xué)研究”教學(xué)改革初探［J］. 數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，1996，5(3):42－45.

［3］鄧東皋，孫小禮，張祖貴. 數(shù)學(xué)與文化［M］. 北京:北京大學(xué)出版社，1990.

［4］李長明，周煥山. 初等數(shù)學(xué)研究［M］. 北京:高等教育出版社，1995.

［5］李文林. 數(shù)學(xué)史概論［M］. 北京:高等教育出版社，2000.

［6］劉忠東.《數(shù)學(xué)課程與教學(xué)論》課堂的主體性分析和教學(xué)模式構(gòu)建［J］. 宜春學(xué)院學(xué)報(bào)，2012，34(12):142－145.