淺談小學(xué)數(shù)學(xué)幾何公式的推導(dǎo)策略

徐慶義

（秦皇島市海港區(qū)和美實(shí)驗(yàn)學(xué)校，河北 秦皇島066000）

小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，許多公式的教學(xué)都有一定的推導(dǎo)過(guò)程。尤其是幾何圖形的面積、體積計(jì)算公式的推導(dǎo)過(guò)程一般都是化未知為已知，化陌生為熟悉，既使學(xué)生輕松地獲取新知，又培養(yǎng)了學(xué)生創(chuàng)新意識(shí)和實(shí)踐能力。

1 引導(dǎo)學(xué)生自主探究

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》指出：數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)必須建立在學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展水平和已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)之上。幫助學(xué)生真正理解和掌握基本的數(shù)學(xué)知識(shí)與技能、數(shù)學(xué)思想方法，獲得廣泛的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)?！稗D(zhuǎn)化”是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和研究的一種重要思想方法，對(duì)于幾何公式的推導(dǎo)，重在通過(guò)滲透轉(zhuǎn)化思想，啟發(fā)學(xué)生設(shè)法把所研究的圖形根據(jù)其特點(diǎn)轉(zhuǎn)化成已經(jīng)學(xué)過(guò)的圖形，讓學(xué)生利用已有的知識(shí)，自主推導(dǎo)出所探究的公式，切忌由教師直接演示講給學(xué)生。如：教學(xué)“梯形的面積”公式推導(dǎo)時(shí)，首先在課前讓學(xué)生準(zhǔn)備好一對(duì)完全一樣的梯形硬紙板，我讓學(xué)生大膽猜想：“梯形可以轉(zhuǎn)化成我們學(xué)過(guò)的什么圖形，推導(dǎo)出它的面積公式呢？”學(xué)生猜想到了可以轉(zhuǎn)化為平行四邊形、長(zhǎng)方形、三角形等。然后放手讓學(xué)生自己去嘗試，我不作統(tǒng)一的操作要求，學(xué)生操作后通過(guò)觀察就會(huì)發(fā)現(xiàn)這是一個(gè)平行四邊形，而且清楚地知道：拼成后的平行四邊形的底等于梯形的上底加下底的和，這個(gè)平行四邊形的高等于梯形的高，每個(gè)梯形的面積等于拼成的平行四邊形面積的一半，所以，“梯形的面積=（上底+下底）×高÷2”。在平面圖形面積公式的推導(dǎo)中，從平行四邊形、三角形、到梯形的面積公式的推導(dǎo)都是以化歸的思想方法為核心，通過(guò)多次孕育、化隱為顯，讓學(xué)生在獲得結(jié)論的同時(shí)，感悟到數(shù)學(xué)思想方法的意義與作用。在教學(xué)平行四邊形面積的時(shí)候，基本上都有這樣幾個(gè)環(huán)節(jié)：一是讓學(xué)生利用手中的平行四邊形和剪刀，通過(guò)折一折、剪一剪、拼一拼，想辦法求出平行四邊形的面積。二是學(xué)生利用割補(bǔ)的方法，把平行四邊形轉(zhuǎn)化成長(zhǎng)方形，求出長(zhǎng)方形的面積也就求出了平行四邊形的面積。找出平行四邊形與長(zhǎng)方形之間的關(guān)系，得出平行四邊形的面積=底×高。引導(dǎo)學(xué)生思考是怎樣求出這個(gè)平行四邊形的面積的？把平行四邊形運(yùn)用割補(bǔ)的方法把它變成長(zhǎng)方形，抓住長(zhǎng)方形與平行四邊形之間的關(guān)系，通過(guò)求長(zhǎng)方形的面積求出平行四邊形的面積。這時(shí)化歸的思想方法處于隱性階段，初步的孕育，并沒(méi)有進(jìn)行提煉。讓學(xué)生在一步一步的反思過(guò)程中通過(guò)觀察、比較、感悟到化歸這一數(shù)學(xué)思想方法。在公式推導(dǎo)過(guò)程中，要充分給學(xué)生“說(shuō)”的機(jī)會(huì)，把自己的“操作-轉(zhuǎn)化-推導(dǎo)”的過(guò)程敘述出來(lái)，發(fā)展學(xué)生的思維和表達(dá)能力。

2 巧用現(xiàn)代技術(shù)輔助教學(xué)

隨著素質(zhì)教育和課程改革的深入推進(jìn)，多媒體技術(shù)不斷地被引入課堂教學(xué)之中。比如在圖形的周長(zhǎng)和面積、體積教學(xué)時(shí)，利用電腦演示圖形的割補(bǔ)、拼接，學(xué)生形象、直觀地看到拼接后是什么圖形，就能較快地找到解題方法。因周長(zhǎng)、面積和體積公式推導(dǎo)過(guò)程較為抽象，故學(xué)生對(duì)計(jì)算公式的產(chǎn)生很難理解，若借助多媒體教學(xué)，設(shè)計(jì)一個(gè)具有動(dòng)態(tài)畫(huà)面并配上音效的課件，形象地演示出轉(zhuǎn)化的過(guò)程，從而引導(dǎo)學(xué)生推導(dǎo)出公式。這樣誘導(dǎo)學(xué)生積極地進(jìn)行由未知到已知，再由已知到未知的探索，促進(jìn)思維步步深入的發(fā)展，加速知識(shí)的內(nèi)化過(guò)程，使學(xué)生不僅知其然，而且知其所以然。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，《課標(biāo)》安排了“數(shù)與代數(shù)”、“空間與圖形”、“統(tǒng)計(jì)與概率”、“實(shí)踐與綜合應(yīng)用”四個(gè)領(lǐng)域，其中“空間與圖形”在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中占有非常重要的位置，而幾何圖形公式的推導(dǎo)的關(guān)鍵是理解算理，是學(xué)生能否正確應(yīng)用公式進(jìn)行解決問(wèn)題的保證，因此讓學(xué)生理解并體會(huì)公式的由來(lái)特別重要。但是，由于小學(xué)生缺乏空間觀念，空間想象力較弱，單純靠教具和教師的說(shuō)教學(xué)生難以展開(kāi)正確、合理的想象，從而影響空間觀念的形成。如果這時(shí)能結(jié)合學(xué)生的動(dòng)手操作，借助于學(xué)生從生活中獲取的大量感性材料，運(yùn)用現(xiàn)代媒體手段，充分挖掘教材，引導(dǎo)學(xué)生充分地利用已學(xué)過(guò)的基礎(chǔ)知識(shí)，著眼于圖形內(nèi)在聯(lián)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化，使學(xué)生自己推導(dǎo)各種公式，尋根問(wèn)底，探究規(guī)律，為學(xué)生的創(chuàng)造性思維的發(fā)展提供了有利的條件。例如，教學(xué)“圓的面積計(jì)算公式”時(shí)，可將書(shū)中的圓形，由靜態(tài)變?yōu)閯?dòng)態(tài)，用微機(jī)先出示一個(gè)圓，以其中一條直徑為標(biāo)準(zhǔn)，將它分成紅藍(lán)色各一半，然后把它平均分成8份，展開(kāi)拼成一個(gè)近似的長(zhǎng)方形，再把它平均分成分16份、32份、64份……繼續(xù)拼成一個(gè)新圖形。借助微機(jī)動(dòng)態(tài)的演示，隨著等分份數(shù)的增加，就把學(xué)生理解中的難點(diǎn)——近似長(zhǎng)方形的長(zhǎng)由曲線(xiàn)變成直線(xiàn)的過(guò)程動(dòng)態(tài)呈現(xiàn)，從而為學(xué)生積累了豐富的感知材料，為大膽合理的想象提供了充實(shí)的基礎(chǔ)。這時(shí)教師引導(dǎo)學(xué)生觀察比較發(fā)現(xiàn)：平均分的份數(shù)越多，每一份就會(huì)越細(xì)，拼成的圖形就越接近于長(zhǎng)方形，并且長(zhǎng)方形的長(zhǎng)就是圓周長(zhǎng)的一半，長(zhǎng)方形的寬就是圓的半徑，由長(zhǎng)方形的面積公式，推出圓的面積公式。如在教學(xué)《平移與旋轉(zhuǎn)》這一課，平移距離是本課教學(xué)的一個(gè)難點(diǎn)，學(xué)生常常會(huì)認(rèn)為兩個(gè)圖形中間空了幾格，就是平移了幾格。教學(xué)時(shí)我充分給學(xué)生提供自主探索與交流的空間，然后利用多媒體特有的動(dòng)畫(huà)效果，從點(diǎn)到線(xiàn)再到形，讓學(xué)生在邊看邊數(shù)的過(guò)程中進(jìn)行平移驗(yàn)證，輕松地解決了教學(xué)的難點(diǎn)。最后指導(dǎo)學(xué)生在方格紙上畫(huà)出平移后的圖形，學(xué)生輕而易舉就完成了。這種用微機(jī)作為輔助手段的教學(xué)過(guò)程，不僅讓學(xué)生知道圓的面積公式的由來(lái)，而且培養(yǎng)了學(xué)生觀察能力、推理能力及邏輯思維能力。

3 正確處理學(xué)生的質(zhì)疑

學(xué)生的質(zhì)疑是開(kāi)放性、多樣性、復(fù)雜性的，我們?cè)谔幚頃r(shí)顯得更加困難。但只要我們把學(xué)生的質(zhì)疑當(dāng)成課堂教學(xué)的寶貴資源，認(rèn)真對(duì)待，把它作為一個(gè)面向全體學(xué)生的課堂資源，使它成為豐富課堂教學(xué)的有效資源，成為學(xué)生展示學(xué)習(xí)和思維的過(guò)程與成果，就能提高課堂資源的有效性，促進(jìn)課堂教學(xué)的有效性。例如在教學(xué)“圓柱的體積”后學(xué)生遇到一道求空心管的體積的題目，有學(xué)生就問(wèn)“體積”就是指物體所占空間的大小，那么空心管究竟占不占空間？或者空心管所占空間是哪部分體積呢？怎樣計(jì)算空心管的體積呢？經(jīng)過(guò)這一問(wèn)，大家開(kāi)始思索討論后，有學(xué)生認(rèn)為：整個(gè)外形是圓柱體，中間的空心部分也是圓柱體，所以空心管的體積就是大圓柱的體積減去小圓柱的體積。也有學(xué)生認(rèn)為：空心管內(nèi)外兩個(gè)圓柱的高時(shí)一樣的，因?yàn)閳A柱的體積=底面積×高，所以可以先求出底面的面積，也就是環(huán)形的面積，再乘以高。用學(xué)生的這種質(zhì)疑加上小組討論這樣來(lái)處理教學(xué)，即培養(yǎng)了學(xué)生思維的深刻性與開(kāi)放性，又能提高教學(xué)的有效性。

總之，幾何公式的推導(dǎo)應(yīng)加強(qiáng)知識(shí)間的聯(lián)系，根據(jù)圖形面積計(jì)算之間的內(nèi)在聯(lián)系，運(yùn)用知識(shí)的遷移提高學(xué)生的學(xué)習(xí)能力。應(yīng)體現(xiàn)動(dòng)手操作、合作學(xué)習(xí)的學(xué)習(xí)方式，讓學(xué)生經(jīng)歷自主探索的過(guò)程，采用多種策略，借助多媒體輔助教學(xué)，促進(jìn)學(xué)生對(duì)幾何公式的理解和靈活運(yùn)用，進(jìn)而提高課堂教學(xué)效率。

［1］簡(jiǎn)海榮.講究解題策略.敢于創(chuàng)新突破[J].中國(guó)校外教育,2011(1).