一類具有時滯和反饋控制作用的離散競爭系統(tǒng)的漸近行為

向 宇

(湖北民族學(xué)院 理學(xué)院, 湖北 恩施 445000)

0 引言

近年來,競爭模型的研究一直受到生物學(xué)家和數(shù)學(xué)家的高度關(guān)注.在種群動力學(xué)中,兩種群Lotka-Volterra競爭模型又是十分著名的模型.過去的數(shù)十年里,許多研究者對各類時滯Lotka-Volterra競爭模型的持久生存性、絕滅性以及正解的穩(wěn)定性進(jìn)行了研究[1-4].劉顯清等在文獻(xiàn)[2]中提出了一類具有時滯離散競爭系統(tǒng)

(1)

其中:y1(n)和y2(n)分別表示兩競爭種群在第n代的密度;r1(n)和r2(n)分別為兩種群在第n代的自然增長率;a1(n)和a2(n)為第n代種群y1和y2對它們自身的種內(nèi)作用;c1(n)和c2(n)表示第n代種群的種間作用.上述所有參數(shù)都為連續(xù)有界的正參數(shù),M為正整數(shù).

考慮生態(tài)系統(tǒng)在現(xiàn)實(shí)世界中往往受到外界力量的持續(xù)干擾.把這種擾動函數(shù)控制變量看作反饋控制,文獻(xiàn)[5-7]及其文獻(xiàn)對這方面主題進(jìn)行了廣泛研究.

基于上述討論,建立如下具有時滯和反饋控制的離散競爭系統(tǒng):

(2)

n=0,1,2,…；且滿足初始條件yi(φ)≥0,ui(φ)≥0,yi(0)>0,ui(0)>0,i=1,2,

φ∈{-L,-L+1,…,0},L=max{M,τ1,τ2}.

(3)

其中u1和u2為控制變量.Δu1(n)=u1(n+1)-u1(n),Δu2(n)=u2(n+1)-u2(n)表示一階向前差分算子,且0

1 預(yù)備知識

定義

其中{B(n)}是定義在非負(fù)整數(shù)集Z+上的有界序列.同時,定義當(dāng)a>b和a,b∈Z+時,

定義1 如果存在正常數(shù)hi,κi,Hi和Ki,對系統(tǒng)(2)的任意正解(y1(n),y2(n),u1(n),u2(n))滿足

(4)

那么系統(tǒng)(2)稱為持久生存.

(5)

引理1[8]假設(shè)y(n)在n∈[c,+∞)的條件下滿足y(n)>0和

y(n+1)≤y(n)exp(r(n)(1-αy(n))),

(6)

其中,α是一個正常數(shù)且c∈Z+,那么

(7)

y(n+1)≥y(n)exp(r(n)(1-αy(n))),

(8)

其中α為常數(shù),使得αH>1,d∈Z+,那么

(9)

2 持久生存性

命題1 系統(tǒng)(2)的任意正解(y1(n),y2(n),u1(n),u2(n))滿足

(10)

其中,

(11)

(12)

(13)

i,j=1,2,i≠j;ε>0為充分小的常數(shù).

y1(n+1)≤y1(n)exp(r1(n)).

(14)

對于n≥M,p=0,1,2,…,M,有

(15)

那么

(16)

它等價于

(17)

因此,根據(jù)式(17)，可得

y1(n)exp(r1(n)(1-

(18)

又由引理1,可知

(19)

類似可推出

(20)

(21)

其中

(22)

命題2 假設(shè)

(23)

min{Δ1H1,Δ2H2}>1，

(24)

那么系統(tǒng)(2)的任意正解(y1(n),y2(n),u1(n),u2(n))滿足

(25)

其中

(26)

Hi,Ki和Δi定義在(11)-(13)上.

y1(n+1)≥y1(n)exp(r1(n)-(H1+ε)·

(27)

容易得到

(28)

也就是說

r1(i)))=y1(n)G1,

(29)

其中

(K1+ε)d1(i)-r1(i))).

(30)

結(jié)合式(13)、(29)及系統(tǒng)(2)的第一個方程得出

y1(n+1)≥y1(n)exp((r1(n)-c2(n)-(K1+ε)·

y1(n)exp((r1(n)-c2(n)-(K1+ε)·

(31)

因此,應(yīng)用引理2及令ε→0,由式(13)、(23)、(24)和(31)可知

(32)

類似地,由系統(tǒng)(2)的第二個方程,我們?nèi)菀鬃C明

(33)

(34)

其中

(35)

u2(n)的結(jié)論可以類似得出.證畢.

基于上述命題,我們有如下定理1.

定理1 假設(shè)條件(23)和(24)成立,那么系統(tǒng)(2)是持久生存的.

3 正解的全局穩(wěn)定性

定理2 如果不等式(23)和(24)成立.進(jìn)一步,存在常數(shù)η>0,使得

(36)

那么系統(tǒng)(2)的正解是全局穩(wěn)定的,且Hi定義在式(11)上.

步驟1 令

(37)

則由系統(tǒng)(2)的第一個方程可得

|(lny1(n)+r1(n)-

(38)

由中值定理,有

(39)

(40)

由式(38)和(40)知

ΔV11(n)=V11(n+1)-V11(n)≤

(41)

步驟2 令

(42)

通過簡單計(jì)算可得

ΔV12(n)=V12(n+1)-V12(n)=

(43)

步驟3 令

(44)

由系統(tǒng)(2)的第三個方程,有

ΔV13(n)=V13(n+1)-V13(n)=

|(1-f1(n))u1(n)+g1(n)y1(n-τ1)-

(45)

步驟4 令

(46)

容易計(jì)算得到

ΔV14(n)=V14(n+1)-V14(n)=

(47)

現(xiàn)在定義

V1(n)=V11(n)+V12(n)+V13(n)+V14(n).

(48)

那么由式(41)、(43)、(45)和(47)可得

ΔV1(n)=ΔV11(n)+ΔV12(n)+ΔV13(n)+ΔV14(n)≤

(49)

通過類似的討論,定義

V2(n)=V21(n)+V22(n)+V23(n)+V24(n),

(50)

其中

(51)

同樣可得,

ΔV2(n)=ΔV21(n)+ΔV22(n)+ΔV23(n)+ΔV24(n)≤

(52)

V(n)=V1(n)+V2(n).

(53)

易得當(dāng)n∈Z+時,V(n)≥0.根據(jù)式(36)和(51),對任意小的ε,存在一個正整數(shù)n3,使得當(dāng)n≥n3時,yi(n)≤Hi+ε,且V(n3+L)<+∞.又由式(36),存在η>0,當(dāng)ε>0充分小時,有

(54)

因此,對于n≥n3+L,根據(jù)式(49)和(52)-(54)可得

ΔV(n)=ΔV1(n)+ΔV2(n)≤

(55)

對式(55)兩邊從n3+L到n累加,可得

(56)

這意味著對于任意的n≥n3+L,有

(57)

因此,

(58)

容易看出,當(dāng)n→+∞時,

即

(59)

4 結(jié)語

文獻(xiàn)[2]研究了一類具有時滯作用的離散競爭系統(tǒng)，并且得到了系統(tǒng)持久生存性和正解的全局穩(wěn)定性的充分條件.本文在文獻(xiàn)[2]的基礎(chǔ)上進(jìn)一步考慮反饋控制作用的影響，得到相應(yīng)的理論結(jié)果.在后續(xù)工作中，我們將進(jìn)一步考慮周期或概周期環(huán)境作用下該系統(tǒng)的漸近行為.