一類帶有擴(kuò)散的捕食模型的非常數(shù)正解

沈 林,周紅玲,趙 中

(黃淮學(xué)院 數(shù)學(xué)科學(xué)系, 河南 駐馬店 463000)

0 引言

捕食模型是種群動力學(xué)研究的核心內(nèi)容.由于三種群捕食系統(tǒng)具有豐富的動力學(xué)行為,因此，對三種群捕食系統(tǒng)研究較多.1969年Ayala[1]通過實(shí)驗(yàn)證明了兩個(gè)捕食者(果蠅)和同一食餌可以共存.為了模擬Ayala的實(shí)驗(yàn)，研究者們建立了諸多三種群捕食模型.Armstrong和McGehee[2]討論了如下模型：

(1)

文獻(xiàn)[4-5]研究表明，對于居住于海底的一些魚類，捕食和競爭關(guān)系對其死亡率(依賴于密度)有重要影響.文獻(xiàn)[6-8]研究了捕食者帶有死亡率(依賴于密度)的生物模型.

考慮到空間分布不均勻性，文獻(xiàn)[9]研究了一類具有擴(kuò)散項(xiàng)的三種群捕食系統(tǒng)：

(2)

并討論了系統(tǒng)的全局吸引性和正常數(shù)解的局部穩(wěn)定性和全局穩(wěn)定性.

本文在文獻(xiàn)[9]的基礎(chǔ)上進(jìn)一步研究在齊次Neumann邊界條件下帶有擴(kuò)散系數(shù)的如下反應(yīng)擴(kuò)散方程：

(3)

其中：Ω∈Rn是有界光滑區(qū)域；n是?Ω上的單位外法向量；d1,d2,d3,a,c,d,m均為正常數(shù)；u為食餌種群；v,w為捕食種群；d1,d2,d3分別為三種群的擴(kuò)散率.模型中參數(shù)的生物意義可參見文獻(xiàn)[9].

(4)

1 正常數(shù)解的穩(wěn)定性

記U=(u,v,w),G(U)=(G1(U),G2(U),G3(U)).首先給出以下記號:

0

(5)

H<1+d.

(6)

定理1 若條件(5)和(6)成立,則系統(tǒng)(4)的正常數(shù)解是漸近穩(wěn)定的.

ψi(λ)=λ3+A1iλ2+A2iλ+A3i,

其中

A1i=(d1+d2+d3)μi-(a11+a33),

(a11(d2+d3)+a33(d1+d2))μi+

a11a33-a12a21-a13a31,

((a11a33-a13a31)d2-a12a21d3)μi+a12a21a33.

容易驗(yàn)證在條件(5)和(6)成立時(shí)，a11<0,計(jì)算可得:A1i>0,A2i>0,A3i>0,A1iA2i-A3i>0(?i≥1),所以?i≥1,ψi(λ)的根λi,1,λi,2,λi,3的實(shí)部都小于零.

下面證明存在正常數(shù)δ使得Re{λi,1},Re{λi,2},Re{λi,3}≤-δ(?i≥1).記λ=μiζ,則

(d1d2+d2d3+d3d1)ζ+d1d2d3,

2 正常數(shù)解的估計(jì)

定理2 令Λ是固定的常數(shù),若(u,v,w)是系統(tǒng)(4)的任意正解,則

(7)

證畢.

(8)

系統(tǒng)(4)的每一個(gè)正解(u,v,w)都滿足

(9)

由Harnack不等式[11]可知,存在一個(gè)正常數(shù)C*=C*(Ω,d1,d2,d3,Λ)使得

(10)

(11)

把(ui,vi,wi)代入系統(tǒng)(4)中,然后在Ω上積分可得

(12)

(13)

同時(shí)結(jié)合式(11)可得u*≡0或v*≡0或w*≡0.

(i)u*≡0

(ii)w*≡0,u*?0

(14)

由Lp估計(jì)和嵌入定理[12]可知:存在Wi的一個(gè)子列(仍記為Wi)滿足:Wi→W,(i→∞).W≥0且W?0,代入式(14)可得:

(iii)v*?0,u*,w*?0

(u*,w*)滿足:

(15)

其中：C=C(Λ,ε),ε為Young不等式中非常小的正數(shù).

利用Poincare不等式

上面的不等式可轉(zhuǎn)化為:

由條件(5)可知上式不成立.所以v*?0.證畢.

通過以上分析可知：當(dāng)食餌u和捕食者w的擴(kuò)散系數(shù)較大時(shí)，若生態(tài)系統(tǒng)能夠保持平衡，則該平衡解有下界.

3 非常數(shù)正解的存在性

利用度理論以d3為參數(shù)來討論系統(tǒng)(4)非常數(shù)正解的存在性.設(shè)Λ,d1,d2為固定正值,Λ滿足條件(5)且H>d+1.

(16)

若U是(16)的一個(gè)正解當(dāng)且僅當(dāng)F(U)=U-(I-Δ)-1{D-1G(U)+U}=0,U∈X+,其中(I-Δ)-1是齊次Neumann條件下(I-Δ)的逆算子.若F(U)≠0,U∈?B，則可以定義deg(F(·),0,B).

記

(17)

(18)

則可得下面的引理.

引理2 假設(shè)條件(5)及H>d+1且

d2≥d1,1+2d≥k

(19)

進(jìn)而可得:

(20)

下面可證當(dāng)d3充分大時(shí),系統(tǒng)(4)存在非常數(shù)正解.

證明由引理2知,存在一個(gè)正常數(shù)ρ2,使得d3≥ρ2時(shí)(20)成立,且

(21)

下面將用反證法證明，對任意的d3≥ρ,系統(tǒng)(4)至少有一個(gè)非常數(shù)正解,采用拓?fù)涠鹊耐瑐惒蛔冃缘玫矫?從而證明此結(jié)果.

m(t)=tm+(1-t)m0,t∈[0,1]，m(0)=m0.

同時(shí)對系統(tǒng)(4)把m用m(t)替換掉,則可得到一個(gè)新的方程組,把它記為系統(tǒng)(4t).其對應(yīng)的G(U)用G(t;U)替換;對于問題

(22)

F(t;U)=U-(I-Δ)-1{D-1G(t;U)+U}=0.

(23)

其中σn是奇數(shù).由引理1可得

(24)

(25)

由定理2和定理3知,存在一個(gè)正常數(shù)b使得,對任意的0≤t≤1,系統(tǒng)(22)的正解滿足b-1

deg(F(1;·),0,B(b))=deg(F(0;·),0,B(b)).

(26)

deg(F(1;·),0,B(b))=

與式(26)矛盾,則定理結(jié)論成立.證畢.

注當(dāng)k=2,d=1.5,c=6,r=1.28,m=3時(shí)條件(5),(8),(19)及H>d+1可同時(shí)成立.

4 結(jié)束語

應(yīng)用反應(yīng)擴(kuò)散方程理論、單調(diào)動力系統(tǒng)理論、分歧理論、拓?fù)涠壤碚撗芯苛藥в袛U(kuò)散的捕食模型，討論了正常數(shù)解的先驗(yàn)估計(jì)及其穩(wěn)定性、共存解的存在性以及參數(shù)對解的影響.主要證明了當(dāng)種群擴(kuò)散率d3≥ρ時(shí)，捕食模型至少存在一個(gè)非常數(shù)正解.