具有抗性發(fā)展和輪換使用殺蟲劑的綜合害蟲治理模型的動力學(xué)性質(zhì)

韓靜光,劉 兵,王洪嬌

(1.遼寧師范大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院, 遼寧 大連 116029;2.鞍山師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院, 遼寧 鞍山 114007)

0 引言

在農(nóng)業(yè)生產(chǎn)中,為了大力發(fā)展農(nóng)業(yè)生產(chǎn)，需要有效地控制農(nóng)業(yè)害蟲.殺蟲劑以其易于操作、見效快且經(jīng)濟(jì)實(shí)惠等特點(diǎn),被人們視為控制害蟲的主要手段之一.然而,殺蟲劑的頻繁使用,不僅引發(fā)環(huán)境污染、農(nóng)藥殘留等問題,更促使害蟲對殺蟲劑產(chǎn)生抗性,從而使其有效性降低.目前,很多人利用脈沖微分方程研究化學(xué)控制下害蟲種群的動力學(xué)性質(zhì)[1-7],但很少有人將害蟲對殺蟲劑的抗性考慮到模型中.文獻(xiàn)[4]將抗性發(fā)展引入單種群脈沖噴灑殺蟲劑的害蟲控制模型,并通過數(shù)學(xué)模型研究抗性的發(fā)展如何影響害蟲種群的動力學(xué)性質(zhì).本文在此文獻(xiàn)基礎(chǔ)上將抗性發(fā)展及周期性輪換殺蟲劑策略引入綜合害蟲治理模型即周期噴灑殺蟲劑和投放天敵的脈沖模型中,并分析該模型的動力學(xué)性質(zhì)及其生物意義.

1 模型建立

本文在不同的固定時刻分別噴灑殺蟲劑和釋放天敵,基于文獻(xiàn)[5]建立如下模型:

(1)

其中：x(t)和y(t)分別表示害蟲和天敵在t時刻的種群數(shù)量；r,a,λ,μ,h均為正常數(shù)；n∈Z+={1,2,…};r為害蟲種群的內(nèi)稟增長率；K為環(huán)境容納量；a為捕食率；λ為轉(zhuǎn)化率；h為處理時間；0<δ<1為t=nT時刻噴灑殺蟲劑后天敵的殘存率；q(nT)為t=nT時刻噴灑殺蟲劑后害蟲的殘存率函數(shù)；μ>0為t=(n+l-1)T時刻釋放天敵的數(shù)量.這里將抗性發(fā)展引入害蟲治理模型，假設(shè)同一種殺蟲劑噴灑一段時間后,害蟲種群會產(chǎn)生抗藥性,因此周期性輪換使用殺蟲劑，此時每種殺蟲劑的殘存率函數(shù)q(t)是時間t的變量,滿足[6-7]

(2)

其中：τp為輪換殺蟲劑的周期,這里我們假設(shè)每種殺蟲劑使用p次且具有相同的初始有效性；T為噴灑殺蟲劑周期,且設(shè)τp=pT；q0為首次噴灑殺蟲劑后害蟲的殘存率；α為害蟲殘存率的內(nèi)稟增長率.

2 模型(1)的動力學(xué)性質(zhì)

下面系統(tǒng)(3)對于系統(tǒng)(1)動力學(xué)性質(zhì)的分析起著重要的作用，

(3)

證明在任意脈沖區(qū)間((n-1)T,nT],當(dāng)t∈((n-1)T,(n+l-1)T],對系統(tǒng)(3)的第一個方程求積分得

y(t)=y((n-1)T+)e-d(t-(n-1)T),

在t=(n+l-1)T時釋放天敵，

y((n+l-1)T+)=y((n-1)T+)e-dlT+μ.

當(dāng)t∈((n+l-1)T,nT]時，

y(t)=y((n+l-1)T+)e-d(t-(n+l-1)T),

在t=nT時噴灑殺蟲劑，

y(nT+)=δy((n-1)T+)e-dT+δμe-d(1-l)T.

令y((n-1)T+)=yn-1,由上式可得差分方程,

(4)

其中：φ=δe-dT,Φ=δμe-d(1-l)T.

證畢.

(5)

這里qi=q(iT)為每種殺蟲劑第i+1次噴灑殺蟲劑的殘存率,i=0,1,2,…,p-1；

(6)

對于t∈(mτP,(m+1)τP],根據(jù)脈沖微分方程的比較定理,有

x((m+1)τp)≤qp-1x((p-1)T+

注意到qp=q0,從而有

aε)-ay*e-dt)dt+

考慮系統(tǒng)(3)和下面脈沖微分方程:

(7)

是系統(tǒng)(7)全局漸近穩(wěn)定的周期解.

令ε→0,當(dāng)t充分大時有

注1 關(guān)于噴灑殺蟲劑后害蟲殘存率函數(shù)qk的值,可由求解系統(tǒng)(2)得到.由系統(tǒng)(2)可得

其中：q0為每種殺蟲劑首次噴灑后害蟲的殘存率,則第二次噴灑殺蟲劑后害蟲殘存率為

第三次噴灑殺蟲劑后害蟲殘存率為

則第p次噴灑殺蟲劑后害蟲殘存率為

qp-1=q((p-1)T)=

(8)

3 結(jié)論