多項選擇題數(shù)據(jù)的非參數(shù)統(tǒng)計方法探究

（中南財經(jīng)政法大學(xué)統(tǒng)計與數(shù)學(xué)學(xué)院 430073）

多項選擇題數(shù)據(jù)的非參數(shù)統(tǒng)計方法探究

程 曦

（中南財經(jīng)政法大學(xué)統(tǒng)計與數(shù)學(xué)學(xué)院 430073）

在統(tǒng)計研究中的各類問卷調(diào)查中，多項選擇題的應(yīng)用十分普遍。多項選擇題有較多備選項，可以同時選擇多個選項，其復(fù)雜度也強于一般分類數(shù)據(jù)。因此，本文運用本學(xué)期所學(xué)的非參數(shù)統(tǒng)計檢驗知識，針對各選項的顯著性，嘗試運用多種方法對該類數(shù)據(jù)進(jìn)行檢驗與分析，也對各類方法的效果進(jìn)行分析和比較。

在記錄多選題調(diào)查結(jié)果時，為了便于定量分析，采用多重二分法（Multiple Dichotomy Method）的編碼方法，即將多項選擇題的每一個選項視為一個“處理”，每一份問卷看作一個“區(qū)組”，并用“0”表示沒有被選中、“1”表示被選中。這樣，多項選擇題的數(shù)據(jù)可以表示為二元完全區(qū)組數(shù)據(jù)。

一、問題的提出

本文的例證數(shù)據(jù)采用以下多選題的調(diào)查數(shù)據(jù)：請問您日常飲用下列哪種水？（多選）A 自來水，B井水，C 家用凈水器處理后的水，D 桶裝水或瓶裝水。

選取調(diào)查結(jié)果中的25份問卷，其調(diào)查結(jié)果以多重二分法編碼如下：

二、關(guān)于隨機(jī)性的游程檢驗

（一）模型建立

游程檢驗是用于檢驗取值“1”概率為p的Bernoulli試驗中的“1”和“0”是否隨機(jī)出現(xiàn)的方法。其原理是，將連在一起的“0”或“1”作為一個游程，當(dāng)已知出現(xiàn)了多少個“1”和“0”時，游程個數(shù)R服從固定的分布。

其假設(shè)為：H0:有隨機(jī)性；H1：無隨機(jī)性（有聚類傾向）

統(tǒng)計量及其分布為：R=游程數(shù)～Y（m ，n）

其中m為“0”的個數(shù)，n為“1”的個數(shù)，Y代表游程分布。

其具體計算是通過累加概率求得P值：

（二）模型求解

編寫R程序?qū)崿F(xiàn)這一檢驗方法，得到4個選項檢驗的p值分別為：（α=0.05）

可見，均不能拒絕原假設(shè)，即認(rèn)為源數(shù)據(jù)的隨機(jī)性良好，符合問卷調(diào)查的隨機(jī)抽樣原則。也就是說，這部分問卷在填寫時并沒有出現(xiàn)較為嚴(yán)重的相互抄襲或人為編造等影響問卷質(zhì)量的現(xiàn)象，因此，該數(shù)據(jù)適合進(jìn)行進(jìn)一步分析。

三、關(guān)于單對選項差異的McNemar檢驗

（一）模型建立

McNemar檢驗是用于檢驗配對二元取值數(shù)據(jù)中取“1”的比例是否相等的檢驗方法，對于本例，則是選擇某選項的比例，該方法首先將數(shù)據(jù)寫成列聯(lián)表形式：

分別為處理1和處理2的取“1”的比例，則檢驗的假設(shè)為：

統(tǒng)計量和近似分布為：

其p值即是統(tǒng)計量2χ在分布中的雙邊概率值。

（二）模型求解

編寫R程序?qū)崿F(xiàn)這一檢驗方法，得到AD、DC、CB三對檢驗的p值分別為：（α=0.05）

可見，A＞D＞C＞B中的A＞D，D＞C，C＞B這三個關(guān)系都不是顯著的。也就是說，目前沒有足夠的理由認(rèn)為飲用“自來水”的人數(shù)多于“桶裝水或瓶裝水”，飲用“桶裝水或瓶裝水”的人數(shù)多于“家用凈水器處理后的水”，飲用“家用凈水器處理后的水”的人數(shù)多于“井水”。

那么，如果跨步檢驗，即A＞C，D＞B，甚至直接檢驗A＞B，大于關(guān)系是否顯著呢？檢驗結(jié)果為：

可見，結(jié)果發(fā)生了巨大變化，全部都非常顯著。

四、關(guān)于全部選項差異的Cochran檢驗

（一）模型建立

Cochran檢驗是對二元響應(yīng)的完全區(qū)組數(shù)據(jù)中不同處理的位置參數(shù)是否相同的檢驗。位置參數(shù)表征四個選項在受訪者眼中的排序。假設(shè)iθ為第i個選項的位置參數(shù)，則檢驗的假設(shè)為：不全相等全相等

統(tǒng)計量及其分布為：

其中，b為區(qū)組數(shù)，即問卷數(shù)；k為處理數(shù)，即選項數(shù)；Ni為第i個選項1出現(xiàn)的個數(shù)；Lj為第j個問卷中選1的個數(shù)；N為1出現(xiàn)的總個數(shù)。

（二）模型求解

編寫R程序?qū)崿F(xiàn)這一檢驗方法，得到檢驗的p值為：P=0.00005＜0.05

可見，顯著性是非常強的。也就是說，對于“自來水”“井水”“家用凈水器處理后的水”“桶裝水或瓶裝水”這幾種飲用水方式，人們對其選擇的比例差異是非常大的。這也說明，該問卷中該多項選擇題的設(shè)置是十分有意義的，收回問卷后得到的數(shù)據(jù)也是十分有比較價值的。

五、結(jié)論

通過各個模型的建立、實際問題的求解，以及對二元數(shù)據(jù)的新的處理方法的效果討論，可以從實際問題和研究方法兩方面得出結(jié)論。

對于本文所示的多項選擇題來說，其調(diào)查所得數(shù)據(jù)的隨機(jī)性是良好的；在4個選項之間的兩兩大小關(guān)系的比較中，只有3個跨步大小關(guān)系是顯著的，因此A＞D＞C＞B不是顯著成立的，只能確信A＞C，D＞B，A＞B這三種關(guān)系。作為多選題整體來看，該題的整體選項差異是顯著的，因此用本例來進(jìn)行調(diào)查是有意義的。

對于研究方法來說，游程檢驗?zāi)軌蚝芎玫嘏袛嗾{(diào)查問卷所得數(shù)據(jù)是否具有隨機(jī)性，即是否是完全隨機(jī)抽樣；McNemar檢驗?zāi)軌蚝芎玫乇容^兩個選項的差異性，即選一種選項的人數(shù)是否顯著大于另一種；Cochran檢驗?zāi)軌蚝芎玫嘏袛喽噙x題整體的各個選項是否具有差異性，即從整體判斷多選題調(diào)查的效果；而加入隨機(jī)變量后的Friedman檢驗方法也在本例中達(dá)到了比較好的效果，能夠以較高的準(zhǔn)確率判斷多選題整體差異性是否顯著。

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[2]吳喜之，趙博娟.非參數(shù)統(tǒng)計[M].中國統(tǒng)計出版社，2013.

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[5]趙國龍，杜詩軍.非虛假設(shè)綜合卡方檢驗[J].應(yīng)用概率統(tǒng)計，2003（04）.

（責(zé)編 趙景霞）