小球在液體中下落的探討

李天涯

摘 要：自由落體運(yùn)動是中學(xué)物理必不可少的重要內(nèi)容，大多數(shù)學(xué)生對伽利略的比薩斜塔實(shí)驗(yàn)耳熟能詳，大家都知道在地球表面附近空氣中自由落體運(yùn)動的計(jì)算公式，即重力加速度為一個(gè)常數(shù)的計(jì)算公式。如果小球不是在空氣中，而是在液體中做落體運(yùn)動，我們還能用在空氣中的自由落體運(yùn)動計(jì)算公式嗎？本文著重解析小球在液體中豎直下落的計(jì)算，以資為中學(xué)物理教師作教學(xué)參考。

關(guān)鍵詞：自由落體運(yùn)動；小球；液體；探討

中圖分類號：G633.7 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1003-6148（2015）7-0040-2

所謂自由落體運(yùn)動，是指除了受到重力作用外，不受其他外力（或其他外力的合力為零）作用并且初速度為零的勻加速直線運(yùn)動。在地球表面附近，我們近似認(rèn)為在空氣中重力加速度g為一個(gè)常數(shù)，空氣阻力及浮力等外力可以忽略的情況下，球體自由落體運(yùn)動的計(jì)算公式為

v=gth= gt2

這是《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書物理（必修1）（人民教育出版社）》中第二章第5節(jié)關(guān)于自由落體運(yùn)動的內(nèi)容，也是學(xué)生高考必考的內(nèi)容，所以學(xué)生在遇到類似的問題時(shí)，便不假思索的運(yùn)用此計(jì)算公式。

作為中學(xué)物理知識的延伸，在大學(xué)一年級開設(shè)的基礎(chǔ)物理中，這部分內(nèi)容做了進(jìn)一步的拓展，即在液體中，加速度不為常量的情況下，我們該如何解決物體下落問題。筆者在大學(xué)一年級的基礎(chǔ)物理教學(xué)過程中發(fā)現(xiàn)學(xué)生極易出現(xiàn)混淆定理成立的前提，因此先提出一個(gè)學(xué)生在應(yīng)用此定理容易出錯(cuò)的示例，以示例為基礎(chǔ)，著重講解該部分內(nèi)容的內(nèi)涵、外延，常量以及變量計(jì)算，以期學(xué)生在以后的應(yīng)用中不出現(xiàn)類似的錯(cuò)誤，同時(shí)避免形成定式思維。本文亦可以作為中學(xué)物理教師教學(xué)參考資料。

題目 有一個(gè)小球在某液體中豎直下落，其初速度v0=10 m/s，它在液體中的加速度為a=-v m/s2，分別寫出小球下落速度及下落高度的表達(dá)式。

在解決這個(gè)問題前，筆者讓全班同學(xué)先自己解答一下這個(gè)題目，從同學(xué)們的解答結(jié)果來看，全班幾乎沒有做對的。絕大多數(shù)同學(xué)在看到這個(gè)問題后，馬上就用落體運(yùn)動的公式來寫出表達(dá)式，甚至有些同學(xué)完全沒有用到題目給出的加速度，而是直接應(yīng)用重力加速度g。由于題目給出了初速度v0，所以大多數(shù)同學(xué)都用了初速度為v0=10 m/s的豎直下落公式，因此在課堂上見到的學(xué)生給出較為常見的表達(dá)式是：

v=10+gth=10t+ gt2

有部分同學(xué)看到題目中下落加速度a=-v m/s2，因此把g改寫成a，所以得出豎直下落計(jì)算式為：

v=10+gth=10t- vt2

本題的條件與自由落體運(yùn)動，或者在空氣中的豎直下落運(yùn)動相比不同的是在液體中，液體的密度比空氣的密度大得多，其阻力、浮力等其他外力是不能忽略的。題目中已經(jīng)給出了一個(gè)變加速度a，設(shè)任意時(shí)刻t下降的高度為y，因此正確的解法是：

∵a= =-v，

∴ 分離變量得出： =-dt。

兩端同時(shí)積分 =- dt，

解得：v=v0e-t。

又∵v= =v0e-t，又分離變量得出：dy=v0e-tdt，

兩端同時(shí)再次積分 dy= v0e-tdt，

解得：y=10（1-e-t）。

上面示例如果是在液體中初速度為零下落，那么上面示例的解答會更方便一些。

當(dāng)v0=0， =- dt 解得：v=e-t。

dy=e-tdt分離變量然后兩端積分得：y=1-e-t。

由上面學(xué)生的解答可以看出，學(xué)生對“基本的概念理解不透徹，不能在新舊知識的聯(lián)系與區(qū)別中重建認(rèn)知結(jié)構(gòu)”[1]。因此，教師在教學(xué)過程中要把概念的內(nèi)涵、外延以及與其關(guān)聯(lián)的概念講透徹；同時(shí)在教學(xué)過程中應(yīng)注意不同題設(shè)的對比研究，引導(dǎo)學(xué)生積極探索，完善高中所學(xué)知識，自覺從常量計(jì)算到變量計(jì)算的引伸，并鞏固新知識。美國著名心理學(xué)家布魯納曾經(jīng)說過：掌握一般概念和原理是通向普遍遷移的大道?！肮餐瑢ふ彝ㄏ蛑R的旅程和理解世界運(yùn)作方式”[2]，我們在掌握基本概念原理后，向更普遍的問題思考，這樣容易促使易混知識在學(xué)生頭腦中徹底分化，從而加深對基本概念、原理的理解。

參考文獻(xiàn)：

[1]鄭挺誼.前概念——科學(xué)教學(xué)中的一道坎[J].物理教學(xué)探討，2014，（3）：22.

[2]王新華.在學(xué)習(xí)共同體中開展家庭彈性物理實(shí)驗(yàn)[J].物理教學(xué)探討，2014，（3）：47.

（欄目編輯 羅琬華）