從一個(gè)錯(cuò)題中引出的思考

雷林芳

筆者在進(jìn)行八年級(jí)上冊(cè)第五章一元一次不等式的錯(cuò)題分析課的教學(xué)過(guò)程中，從一道錯(cuò)題的分析中，隨著教學(xué)的深入引發(fā)了一系列的思考，發(fā)現(xiàn)借助數(shù)軸在解決不等式的問(wèn)題上，特別是在不等式點(diǎn)的取舍方面作用很大，更加體驗(yàn)到了數(shù)形結(jié)合思想在我們的不等式的作用

案例1：已知不等式3x-m≤0有1，2的兩個(gè)正整數(shù)解，則m的取值范圍是_______

錯(cuò)誤答案：大部分不知如何下手，或6

對(duì)于此題錯(cuò)題比較突出，作業(yè)中顯示學(xué)生基本無(wú)法解答，或者解答的答案在點(diǎn)的取舍問(wèn)題上，從而成了一道難題，因此對(duì)此進(jìn)行了一節(jié)錯(cuò)題分析課。那在第一次的教學(xué)過(guò)程中，筆者采用了以問(wèn)題式的形式引導(dǎo)提出：①請(qǐng)用含m的代數(shù)式表示不等式的解；②這個(gè)不等式有兩個(gè)正整數(shù)的解，那它的解應(yīng)該介在什么范圍里面；③那在2和3這個(gè)整數(shù)上符合題意嗎？通過(guò)這三個(gè)問(wèn)題引導(dǎo)學(xué)生思考解決了此題，學(xué)生通過(guò)三個(gè)問(wèn)題的思考似乎都理解，然而在下面的變式中檢測(cè)發(fā)現(xiàn)，學(xué)生只是通過(guò)三個(gè)問(wèn)題理解了解題的過(guò)程，但在細(xì)節(jié)方面（點(diǎn)的取舍方面）取還是舍仍模糊不清，導(dǎo)致與正確答案差之毫厘失之千里，正確的人員不超過(guò)5%，整個(gè)錯(cuò)題教學(xué)過(guò)程失敗。為了更好的解決這個(gè)問(wèn)題，筆者再一次對(duì)錯(cuò)題及其變式進(jìn)行研究，發(fā)現(xiàn)關(guān)鍵的問(wèn)題在點(diǎn)的取舍上，而如果只是借助單純的問(wèn)題和數(shù)字研究，很抽象，大部分學(xué)生還達(dá)不到這樣的思維能力，于是我選擇了第二次教學(xué)，借助數(shù)軸，從數(shù)軸上分析點(diǎn)的取舍問(wèn)題更直觀，更容易得出答案，從而突破了這個(gè)難點(diǎn)。

正確解法：解：解不等式，得：。

因?yàn)椴坏仁?x-m≤0有1，2的兩個(gè)正整數(shù)解

由數(shù)軸上分析，得

變式1：已知已知不等式3x-m<0有1，2的兩個(gè)正整數(shù)解，則m的取值范圍是_______

正確解法：

解不等式，得：。因?yàn)椴坏仁?x-m<0有1，2的兩個(gè)正整數(shù)解

有數(shù)軸上分析，得

變式2：已知已知不等式3x-m≥0有兩個(gè)負(fù)整數(shù)解，則m的取值范圍是_______

正確解法：

解：解不等式，得：。因?yàn)椴坏仁?x-m≥0有兩個(gè)負(fù)整數(shù)解

由數(shù)軸分析，得

上述三個(gè)問(wèn)題是從錯(cuò)題一引出的2個(gè)變式，分別在點(diǎn)的取舍上作了改編，但從數(shù)軸的分析上看就很明顯這個(gè)點(diǎn)到底是取還是舍，直觀清晰的分析出來(lái)，避除了原本思路混亂的局面，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的優(yōu)勢(shì)。

改編1：若不等式組有解，則m的取值范圍是_______________

錯(cuò)誤答案：或或

剖析：不等式組解的情況大部分學(xué)生基本都是利用了口訣“大大取大，小小取小，大小小大介中間”，然而在考慮的過(guò)程中誰(shuí)大誰(shuí)小就開(kāi)始搞混淆或者考慮清楚了但在等號(hào)的位置取舍上開(kāi)始思緒混淆，模糊不清，導(dǎo)致了錯(cuò)誤答案，那怎么樣避免這個(gè)問(wèn)題的產(chǎn)生，從而更好的解決呢？首先還是將不等式組化簡(jiǎn)，然后借助數(shù)軸。

正確解法：解不等式組，得： 從數(shù)軸上分析，得

變式1：若不等式組有解，則m的取值范圍是_______________

正確解法：解：解不等式組，得： 從數(shù)軸上分析，得

變式2：若不等式組有解，則m的取值范圍是_______________

正確解法：解不等式組，得： 由數(shù)軸分析，得

上述三個(gè)此從不等式的解引申到了不等式組有解的情況，大部分學(xué)生會(huì)利用口訣解決問(wèn)題而忽略了點(diǎn)的取舍問(wèn)題，通過(guò)兩個(gè)變式的變化過(guò)程中筆者均用了數(shù)軸的方法來(lái)展現(xiàn)了不等式組解公共部分的情況，使待定的系數(shù)及點(diǎn)的取舍問(wèn)題都展露了出來(lái)，又一次體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想的優(yōu)勢(shì)。

【教學(xué)反思】

（1）本節(jié)課的設(shè)計(jì)從學(xué)生一道錯(cuò)題引出的思考設(shè)計(jì)目的是將學(xué)生的知識(shí)漏洞彌補(bǔ)，在設(shè)計(jì)過(guò)程中通過(guò)變式訓(xùn)練和改編題相結(jié)合，從不等式問(wèn)題到不等式有解問(wèn)題再到不等式有解問(wèn)題，設(shè)計(jì)從簡(jiǎn)到難，通過(guò)學(xué)生再學(xué)習(xí)，再反思，再體驗(yàn)的過(guò)程，使學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解更加深刻，達(dá)到了設(shè)計(jì)意圖

（2）本節(jié)課從兩種教學(xué)方式上的分析比較得出的內(nèi)容，在教學(xué)效果上看，本節(jié)課的教學(xué)效果基本達(dá)到，80%以上的同學(xué)能獨(dú)立解決此類(lèi)問(wèn)題，難點(diǎn)得以攻破，特別是在點(diǎn)的取舍問(wèn)題上，借助數(shù)軸分析更加清晰直觀。說(shuō)明了數(shù)軸在不等式中的重要作用。同時(shí)在學(xué)生的解題過(guò)程中也感受了借助圖形的優(yōu)勢(shì)，為數(shù)形結(jié)合思想的培養(yǎng)增強(qiáng)了意識(shí)。

（3）本節(jié)課利用數(shù)軸解決不等式問(wèn)題即數(shù)形結(jié)合思想以形助數(shù)的方法，使問(wèn)題得到了很好的解決，達(dá)到了培養(yǎng)提高學(xué)生分析問(wèn)題，解決問(wèn)題的能力。