基于MATLAB 的Nomarski棱鏡優(yōu)化設(shè)計

李彌高　黃敏健　胡麗娟

摘要： 根據(jù)落射式微分干涉相襯顯微鏡中Nomarski棱鏡的光學(xué)原理，通過幾何光學(xué)運算，推導(dǎo)出棱鏡主要結(jié)構(gòu)參數(shù)的理論關(guān)系式，利用MATLAB程序?qū)㈥P(guān)系式轉(zhuǎn)化為二維曲線，再根據(jù)關(guān)系曲線的變化趨勢來確定適合于Nomarski棱鏡主要結(jié)構(gòu)的參數(shù)取值范圍，從而實現(xiàn)優(yōu)化設(shè)計的目的。

關(guān)鍵詞： 落射式微分干涉； Nomarski棱鏡； MATLAB

中圖分類號： TH 742.4文獻(xiàn)標(biāo)志碼： Adoi： 10.3969/j.issn.10055630.2015.03.011

Abstract： According to the optical principle of Nomarski prism of the reflected differential interference contrast microscope， the theoretical relationship of the main parameters of the prism structure is derived. By using MATLAB program， the theoretical relationship is transformed into a 2D curve. Then， according to the changing trends of the 2D curve， the parameter range is confirmed which is suitable for the main structure of Nomarski prism. Finally， the optimized design is achieved.

Keywords： reflected differential interference； Nomarski prism； MATLAB

引言隨著現(xiàn)代信息產(chǎn)業(yè)的發(fā)展，落射式微分干涉相襯顯微鏡的應(yīng)用越來越廣泛，其關(guān)鍵技術(shù)之一是Nomarski偏振分光棱鏡設(shè)計[1]。為了滿足顯微鏡光學(xué)與機(jī)械系統(tǒng)要求，需對Nomarski棱鏡主參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計，從而使棱鏡相干平面與物鏡后焦平面重合，以獲取對比度較高的偽浮雕圖像。本文基于Nomarski棱鏡光學(xué)原理，推導(dǎo)出棱鏡相干平面高度與棱鏡主要結(jié)構(gòu)參數(shù)的關(guān)系，運用MATLAB程序?qū)⒗碚撽P(guān)系轉(zhuǎn)換成關(guān)系曲線，尋求最優(yōu)化棱鏡設(shè)計與制造工藝方案，進(jìn)一步推動落射式微分干涉相襯顯微鏡產(chǎn)業(yè)化發(fā)展。

落射式微分干涉相襯顯微術(shù)的基本原理微分干涉相襯顯微術(shù)是一種雙光束（偏振光）干涉顯微術(shù)[2]，落射式微分干涉相襯顯微鏡的光學(xué)系統(tǒng)如圖1所示，從光源發(fā)出的光線經(jīng)過聚光系統(tǒng)后進(jìn)入起偏器，使光束變?yōu)榫€偏振光，線偏振光經(jīng)半透半反鏡反射，入射到Nomarski棱鏡。由于棱鏡是由兩塊單晶且晶軸方向互相垂直的楔形棱鏡膠合而成的平板[3]，單軸晶體具有雙折射特性，可將入射的線偏振光分裂成兩束具有某夾角的偏振光，其中一束偏振光的傳播速度不隨著入射方向的改變而改變，即它的折射率為常數(shù)，稱為尋常光o光，另一束偏振光的傳播速度則隨著入射方向的改變而改變，即它的折射率為變數(shù)[4]，稱為非常光e光，o光與e光的振動方向相互垂直，且振幅相等。當(dāng)兩束光波進(jìn)入膠合面時，原來的e光由于其電矢量振動方向垂直于入射楔鏡的光軸，故變?yōu)閛光；同樣原來的o光變成e光，最后從棱鏡折射出兩束光的交點軌跡重合于棱鏡外的某一平面，該平面稱之為相干平面。這兩束光經(jīng)過物鏡后，產(chǎn)生具有一定剪切量的平行光，落射到被測物體表面。光線經(jīng)反射，再次進(jìn)入棱鏡以后兩束光重新匯合在一起，根據(jù)光的干涉原理，兩束光波只有在頻率相同、位相差穩(wěn)定、振動方向一致時才會產(chǎn)生干涉現(xiàn)象，因此從樣品反射回來經(jīng)過Nomarski棱鏡后的線偏振光，由于偏振方向相互垂直，故不發(fā)生干涉。只要用檢偏鏡將光振動面都投影到同一平面上，兩束光就會發(fā)生干涉[5]。在微分干涉相襯顯微鏡中要觀察到具有立體感的浮雕像，必須具備下列條件[6]：（1）經(jīng)Nomarski棱鏡和物鏡后的兩束光波形成的橫向剪切量應(yīng)小于顯微物鏡的分辨率，從樣品表面反射進(jìn)入物鏡與Nomarski棱鏡后的兩束光波，能將樣品中橫向分離值的光學(xué)梯度以光強(qiáng)襯度表現(xiàn)出來，而成為可見。

（2）從樣品表面反射進(jìn)入物鏡與Nomarski棱鏡后的兩束光波在縱向上產(chǎn)生一個合適的光程差，以便樣品縱向厚度也以光強(qiáng)襯度表現(xiàn)出來，呈現(xiàn)陰暗效果。（3）Nomarski棱鏡的相干平面必須與物鏡后焦平面重合。2Nomarski棱鏡主要設(shè)計參數(shù)及其計算根據(jù)落射式微分干涉相襯顯微鏡中Nomarski棱鏡相干平面與物鏡后焦平面重合，且與入射線偏振光垂直的準(zhǔn)則，建立如圖2所示的線偏振光在Nomarski棱鏡中傳播的幾何光學(xué)圖解。圖中，膠合棱鏡楔角為γ，厚度為d，入射楔鏡光軸傾角為ν，偏振光入射角為αi，通過棱鏡后形成兩束光波的分束角為ε，o光的主折射率為no，e光的主折射率為ne?，F(xiàn)對線偏振光進(jìn)入楔鏡膠合鏡組后形成的o光與e光進(jìn)行光路追跡計算：（1）偏振光由空氣進(jìn)入到入射楔鏡，假設(shè)入射點的坐標(biāo)為（x，0），根據(jù)Snell 定律，可得到o光的波法線折射角αo為no·sinαo=n·sinαi（1）式中空氣介質(zhì)的折射率n為1。

（5）線偏振光由空氣介質(zhì)進(jìn)入到入射楔鏡，其振動方向與入射楔鏡光軸方向處于同一平面時，即e光的主平面與入射面重合，根據(jù)文獻(xiàn)[3]可建立圖3所示的e光波法線與光線的關(guān)系示意圖。圖中波法線與光軸的夾角為θ，波法線折射角為αk，光線與波法線的夾角為α，即離散角，光線的折射角為αe，可通過先求出波法線方向的折射率與折射角，再求出光線的折射角，最后確定光線在棱鏡中的傳播方向。

干涉顯微鏡的Nomarski棱鏡通常設(shè)置在平行光路中，通過改變偏振光線的入射點坐標(biāo)，可得到出射光束交點（xp，yp）軌跡，而通過棱鏡后形成的分束光程差Δ不隨入射點的坐標(biāo)變化而改變，由式（29）可知出射光束的位相差穩(wěn)定，即聚焦于該平面上的偏振光束通過檢偏鏡后，滿足發(fā)生干涉的條件，通過坐標(biāo)取值可以求得相干平面傾角η。3Nomarski棱鏡主要設(shè)計參數(shù)優(yōu)化分析落射式微分干涉相襯顯微鏡的Nomarski棱鏡組件一般設(shè)置在物鏡與觀察頭座之間，常采用無限遠(yuǎn)成像光學(xué)系統(tǒng)，因此棱鏡相干平面距離h設(shè)計在30～35 mm之間比較適宜于結(jié)構(gòu)設(shè)計與裝調(diào)。同時考慮入射照明光束與相干平面垂直，需將棱鏡組傾斜安裝在成像光學(xué)系統(tǒng)中，因此照明光束的入射角不宜過大或過小，入射角αi一般設(shè)計在10°以內(nèi)。

3.1棱鏡楔角γ與相干平面距離h間的關(guān)系取棱鏡材料為石英晶體，假設(shè)光軸傾角ν=-9.5°，偏振光入射角αi=-4.5°，晶體厚度d=2.5 mm，入射點坐標(biāo)x=325 mm。以楔角γ和相干平面距離h作為變量，得到關(guān)系曲線如圖4所示。從曲線圖可以看出，相干平面距離h隨楔角γ的增加單調(diào)遞減。當(dāng)γ∈[0.1°，0.2°]區(qū)間遞減時，相干平面距離h隨楔角的變化顯著，而當(dāng)γ≥0.8°時，相干平面距離隨楔角變化越來越少。根據(jù)相干平面與物鏡后焦平面重合特性，以及結(jié)構(gòu)尺寸來確定合理的相干平面距離，從而選取合適的楔角γ。

3.2晶體光軸傾角ν與相干平面距離h間的關(guān)系取楔角γ為0.2°，將光軸傾角ν與相干平面距離h設(shè)置為變量，其余參數(shù)與討論γh關(guān)系相同，利用MATLAB程序得到光軸傾角ν與相干平面距離h的關(guān)系曲線如圖5所示。從曲線圖可知，ν與h呈近似余弦變化。當(dāng)ν∈[-90°，0°]時，h為正值；當(dāng)ν=-55°左右時h有最大值；而ν∈[0°，90°]時，h為負(fù)值，即相干平面進(jìn)入到棱鏡里面，且在ν=55°左右時h有最小值，這時就相當(dāng)于一個Wollaston棱鏡。在高倍物鏡中，后焦面往往是在物鏡里面，因此從系統(tǒng)整體結(jié)構(gòu)要求來說，Wollaston棱鏡是不可能符合落射式微分干涉相襯顯微鏡的設(shè)計要求。

3.3偏振光入射角αi與相干平面距離h間的關(guān)系在不改變其他參數(shù)的情況下，假設(shè)光軸傾角ν=-9.5°，在MATLAB程序中將入射角αi及相干平面距離h設(shè)為變量，可得到關(guān)系曲線如圖6所示。從圖中可以看出，h的正負(fù)與αi的大小無關(guān)，只影響h值的大小，相干平面距離正負(fù)性是由光軸傾角ν決定，入射角αi的取值范圍在±10°以內(nèi)能取得良好的相干平面距離。

3.4晶體光軸傾角ν與分束角ε的關(guān)系取楔角γ=0.2°，入射角αi=-4.5°，晶體厚度d=2.5 mm，入射點坐標(biāo)x=325 mm，將光軸傾角ν設(shè)置為變量，取值范圍為0°～180°，通過MATLAB程序可得到ν與出射光線夾角βo、βe的曲線關(guān)系如圖7所示，由圖可知出射角βo不隨光軸傾角的變化而改變，出射角βe則隨光軸傾角呈函數(shù)變化。當(dāng)ν=-90°時，出射角βe=-4.5°，即入射角αi=βe=-4.5°。當(dāng)ν=0°、-180°時出射角βe有最大值，因為分束角ε=βe-βo，此時分束角具有最大值，也證明了當(dāng)楔角為一確定值時，Wollaston棱鏡具有最大分束角。根據(jù)分束角與出射光束角βo、βe的關(guān)系，通過MATLAB程序可得到光軸傾角ν與分束角ε的關(guān)系曲線如圖8所示。分束角ε直接決定出射光束橫向剪切量的大小，且橫向剪切量應(yīng)小于或等于物鏡的最小分辨率。顯微物鏡的分辨率可由下式求得[9]：σ=0.61λNA（30）式中NA為顯微物鏡的數(shù)值孔徑。

由式（30）求得顯微物鏡最小分辨率，再根據(jù)物鏡的焦距可以確定棱鏡分束角ε，由于分束角非常小，可以近似于ε≤σ×180f×π（31）式中f為物鏡焦距。

3.5偏振光入射角αi與相干平面傾角η間的關(guān)系在微分干涉相襯顯微成像系統(tǒng)中，Nomarski棱鏡干涉場是傾斜的，所以必須轉(zhuǎn)動棱鏡改變?nèi)肷浣铅羒，使干涉場與系統(tǒng)光軸相互垂直，由圖2可知，當(dāng)αi與η大小相等、方向相反時，可滿足干涉場與系統(tǒng)光軸相互垂直的條件，在MATLAB程序中，將αi與η作為變量，其余參數(shù)不變，可得到兩者間關(guān)系曲線如圖9所示，從曲線圖可以看出相干平面傾角η隨入射角αi呈波動變化，而入射角αi在±10°以內(nèi)可以取得符合條件的傾角η值。4實例應(yīng)用分析與設(shè)計現(xiàn)以10倍無限遠(yuǎn)平場消色差物鏡為例，優(yōu)化設(shè)計與之相匹配的Nomarski棱鏡。設(shè)偏振光束主波長λd=587.56 nm，物鏡主要技術(shù)參數(shù)：數(shù)值孔徑NA=0.25，焦距f=-20 mm，物鏡后焦平面距離L=-8.2 mm。Nomarski棱鏡組通過一塊金屬拉板安裝在物鏡轉(zhuǎn)換器座內(nèi)，Nomarski棱鏡組安裝結(jié)構(gòu)示意如圖10所示，圖示中h為棱鏡相干平面距離，從系統(tǒng)結(jié)構(gòu)分析，h值要求在35 mm左右比較理想。

由圖4和圖5可知，當(dāng)楔角γ∈[0.1°，0.3°]，光軸傾角ν∈[-20°，0°]時，相干平面距離h可能符合設(shè)計要求。當(dāng)γ值較小時，相干傾角η隨楔角γ變化不大而基本上由光軸傾角ν決定[10]，在MATLAB程序中將光軸傾角ν設(shè)為變量，假設(shè)楔角γ=0.1°，厚度d=2.0，得到αi、η與ν值見表1。在MATLAB程序中，將楔角γ與厚度d作為變量，以表1中的入射角αi對應(yīng)的傾角ν作為設(shè)計取值，求取符合相干平面距離h與分束角要求的幾組棱鏡主要結(jié)構(gòu)參數(shù)值，見表2。根據(jù)分束角ε≤0.004 1°，同時考慮棱鏡制造工藝，要求楔角與厚度值大一些，因此本設(shè)計實例選擇入射角αi=-4.05°，光軸傾角ν=-8.889°，棱鏡楔角γ=0.20°，棱鏡厚度d=3.333 mm，得到棱鏡相干平面處于棱鏡外部，與棱鏡出射表面相距34.90 mm，分束角ε=0.003 571°，小于顯微物鏡分辨率角0.004 1°。光程差Δ=0.009 6 mm，即通過棱鏡的偏振光束產(chǎn)生的縱向剪切量接近于顯微物鏡1倍焦深值。5結(jié)論在Nomarski棱鏡優(yōu)化設(shè)計過程中，要綜合考慮顯微鏡系統(tǒng)結(jié)構(gòu)與光學(xué)制造工藝，優(yōu)先確立相干平面距離h、棱鏡厚度d以及入射角度αi的取值范圍，這樣有利于運用MATLAB程序?qū)忡R主要結(jié)構(gòu)參數(shù)之間的關(guān)系進(jìn)行優(yōu)化分析，可得到更加直觀的關(guān)系變化曲線，使復(fù)雜的數(shù)據(jù)計算轉(zhuǎn)變?yōu)橄到y(tǒng)結(jié)構(gòu)與工藝性能分析，得到的設(shè)計結(jié)果更具有應(yīng)用價值。參考文獻(xiàn)：

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（編輯：劉鐵英）