基于變指數(shù)趨近律的無刷直流電動機滑?？刂?/h1>
2015-07-31 08:05:54范春豐遲冬祥
上海電機學院學報 2015年5期
范春豐， 遲冬祥
（上海電機學院a.電氣學院，b.電子信息學院，上海201306）
由于無刷直流電動機（Brushless DC Motor，BLDCM）具有恒定的機械轉矩、良好的機械和調速特性，故其被廣泛應用于航空航天、機器人等領域。但BLDCM系統(tǒng)的時變、非線性、強耦合特征[1-2]決定了其數(shù)學模型很難建立，無法獲得準確的動力學參數(shù)，控制系統(tǒng)也更為復雜。
滑模變結構控制可以通過控制器結構的變化突破經典線性控制系統(tǒng)的限制，能快速跟蹤系統(tǒng)參數(shù)的變化，在內外干擾下系統(tǒng)魯棒性較好，且響應速度快、結構簡單，是近年來的一個研究方向[3-4]。文獻[5] 中將轉矩觀測器引入滑?？刂浦校瑴p小了控制誤差，抑制了外界干擾。文獻[6] 中結合模糊控制與滑?？刂疲纳屏讼到y(tǒng)的抖振。文獻[7] 中提出了一種新型的積分自適應全局滑模控制器，削弱了系統(tǒng)的抖振。文獻[8] 中在無位置傳感器的BLDCM控制系統(tǒng)中應用了滑?？刂?，并驗證了其性能。文獻[9] 中將基于指數(shù)趨近律的滑?？刂破饕朕D速調節(jié)器，降低了轉矩脈動。由于指數(shù)趨近律存在高頻抖振，影響了系統(tǒng)調速性能，本文提出將基于變指數(shù)趨近律的滑?？刂茟糜贐LDCM控制系統(tǒng)，采用滑?？刂破鱽砜刂艬LDCM。系統(tǒng)運動軌跡在遠離滑模面時，變指數(shù)趨近律以指數(shù)和變速兩種速度趨向于滑模面，提高了趨近速度；接近滑模面時，指數(shù)趨近律速度趨向于零，改善了指數(shù)趨近律帶來的高頻抖振。
1 BLDCM數(shù)學模型
假定BLDCM工作于兩兩導通的星形三相六狀態(tài)；忽略磁路飽和，不計渦流和磁滯損耗；永磁體無阻尼，忽略定子繞組電樞反應以及齒槽效應；氣隙磁場分布是梯形波，平頂寬120°電角度；三相繞組對稱，忽略繞組間互感?？傻肂LDCM電壓平衡方程如下：
式中，u為定子相電壓；R為相電阻；i為定子繞組相電流；ε為反電動勢；L為定子電感。
電磁轉矩方程為
式中，Te為電磁轉矩；kT為轉矩系數(shù)；ω為角速度；TL為負載轉矩；J為轉動慣量；δ為阻尼系數(shù)。
由式（2）可得BLDCM的電磁轉矩與電流值成正比，通過控制逆變器電流的幅值可控制電動機的轉矩。
反電動勢方程為
式中，kε為反電動勢系數(shù)。
將式（3）代入式（1），則
由式（2）～（4）可得BLCDM 動力學系統(tǒng)方程為
圖1 無刷直流電動機動態(tài)模型Fig.1 Dynamic model of BLDCM
2 滑模控制器設計
滑?？刂破髦饕O計步驟如下[10]：根據(jù)滑動模態(tài)漸進穩(wěn)定性的要求，設計切換函數(shù)；根據(jù)滑動模態(tài)到達的條件，設計控制律；切換函數(shù)設計后，系統(tǒng)的動態(tài)響應在進入滑動模態(tài)后只與切換函數(shù)的參數(shù)有關，與擾動無關，從而實現(xiàn)擾動的抑制[11]?？刂坡傻倪x取應使系統(tǒng)的運動范圍穩(wěn)定在切換面。
選取切換函數(shù)
式中，C＝[c，1] 為系數(shù)矩陣，c為系數(shù)且c＞0；x1、x2為狀態(tài)向量。
對于系統(tǒng)（A，B），滑動模態(tài)在滑模切換面s＝Cx＝0上的動態(tài)響應只取決于C。
2.1 變指數(shù)趨近律
通常，系統(tǒng)引入滑?？刂破鲿r會在滑動模態(tài)下產生抖振，為了提高滑?？刂破鞯目刂菩Ч?，可在控制器中引入趨近律?；？刂破髦械湫偷内吔捎械人仝吔?、指數(shù)趨近律等[12]。
指數(shù)趨近律為
式中，s為切換函數(shù)；為s的一階導數(shù)；系數(shù)η為趨近切換面的速率，η＞0；k為指數(shù)項系數(shù)，k＞0。
由于指數(shù)趨近律的滑模切換面為帶狀領域，導致系統(tǒng)雖然在切換面上向原點運動，但無法穩(wěn)定于原點，而是趨近于原點附近的一個高頻抖振，此抖振可能激發(fā)系統(tǒng)中的高頻成分[13]。
為改善指數(shù)趨近律的控制效果，本文對其進行改進，將狀態(tài)量e引入指數(shù)項，從而獲得新的變指數(shù)趨近律：
e在變指數(shù)趨近律下以變速和指數(shù)的速率趨向滑模面，在靠近滑模面時指數(shù)項趨近于零，其中，變速項sgn（s）起了主要作用。在滑?？刂坡傻淖饔孟?，當系統(tǒng)在穩(wěn)定中趨向零時，e進入滑模切換面并趨近原點，此過程不斷減小控制律中的變速項sgn（s），使之最終到達原點。當?shù)綖檫_零原，達點到時消，產除生抖振抖的振目的的sg。n（s）項的系數(shù)
由李雅普諾夫穩(wěn)定性定理可得，滑動模態(tài)的穩(wěn)定性條件為
由式（9）、（10）可得：
又由于k＞0，ε＞0，故有ss·＜0。
取李雅普諾夫函數(shù)
則
因此，可明顯得到當＜0，有，此時變指數(shù)趨近律滑?？刂剖欠€(wěn)定的。
2.2 控制律設計
令e＝ω0-ω，其中，ω0為給定參考角速度，選取狀態(tài)變量x1＝e，x2＝為e的一階導數(shù)，則
將式（13）代入式（5），得BLDCM 的狀態(tài)空間方程：
整理后，得
式中，
由式（6）、（8）、（14）、（15）可得控制律為
在滑模控制系統(tǒng)中，由于空間滯后和時間延遲等一系列原因，使得滑動模態(tài)存在高頻抖振。這種抖振減弱了系統(tǒng)的精確性，并且增加了系統(tǒng)消耗，嚴重時會造成系統(tǒng)的不穩(wěn)定[14-15]。為更好地降低抖振對系統(tǒng)的影響，本文采用準滑模動態(tài)控制原理，以飽和函數(shù)sat（s）替代sgn（s）函數(shù)來削弱抖振。
式中，Δ為邊界層，其數(shù)值根據(jù)改善的抖振效果選取，本文中Δ＝0.05。
3 仿真研究分析
為驗證本文設計的變指數(shù)趨近律滑?？刂破鞯挠行?，使用Matlab對PID控制、常規(guī)指數(shù)趨近律和變指數(shù)趨近律滑?？刂破飨碌腂LDCM進行仿真實驗。實驗分突加負載擾動、參數(shù)兩部分。實驗中，取η＝300，k＝5。BLDCM參數(shù)如表1所示。
表1 BLDCM參數(shù)Tab.1 BLDCM parameters
（1）突加負載擾動。當t＝30ms時加入0.25N·m負載擾動。圖2給出了突加負載擾動時BLDCM的轉速響應曲線和電磁轉矩曲線。
圖2 突加負載擾動時的轉速響度和電磁轉矩曲線Fig.2 Speed respone curve and electromagnetic torque curve under load disturbance
由圖2（a）可見，與滑?？刂破飨啾?，PID控制下的系統(tǒng)響應速度較慢，超調較大；在突加負載時，響應曲線下降幅度較大，且需較長的時間才能使轉速穩(wěn)定至原平衡狀態(tài)；滑?？刂葡?，則系統(tǒng)的轉速響應速度較快，快速跟蹤到達額定速度；同時變指數(shù)趨近律較常規(guī)指數(shù)趨近律能更快地達到轉速穩(wěn)定，且在抑制超調方面效果較好；在系統(tǒng)突加負載時能很快地做出響應，調節(jié)系統(tǒng)到穩(wěn)定狀態(tài)，抗負載擾動能力強。由圖2（b）可知，在系統(tǒng)突加負載時，PID控制下系統(tǒng)的電磁轉矩脈動較大；而在滑?？刂葡拢D矩階躍式地達到穩(wěn)定狀態(tài)，且未出現(xiàn)明顯的轉矩脈動，能有效地抑制轉矩脈動，其中在變指數(shù)趨近律下，滑?？刂戚^常規(guī)指數(shù)趨近律的調整速度更快，魯棒性較好。
（2）參數(shù)擾動。取負載為TL＝0.15N·m，當t＝30ms時電阻值增加20%，圖3給出了參數(shù)擾動下的轉速響應曲線和電磁轉矩曲線。
圖3 參數(shù)擾動時的轉速響應和電磁轉矩曲線Fig.3 Speed respone curve and electromagnetic torque curve under parameter perturbation
如圖可見，當參數(shù)擾動時，在PID控制下，系統(tǒng)的轉速響應較慢，超調明顯；變指數(shù)趨近律和常規(guī)指數(shù)趨近律控制下的滑?？刂葡到y(tǒng)的抗干擾性較好。進一步分析可知，在兩種趨近律下，系統(tǒng)負載時轉矩均能在短時間內達到平穩(wěn)，但變指數(shù)趨近律較常規(guī)指數(shù)趨近律轉矩脈動抑制更強；當t＝30ms突加負載擾動時，相對于常規(guī)指數(shù)趨近律，變指數(shù)趨近律滑?？刂葡到y(tǒng)的轉矩調整時間較短。
4 結 語
本文分析并建立了BLDCM數(shù)學模型，然后在指數(shù)趨近律基礎上提出了變指數(shù)趨近律，并將基于變指數(shù)趨近律的滑?？刂破鲬糜贐LDCM
系統(tǒng)。仿真結果表明，與PID控制和常規(guī)指數(shù)趨近律相比，基于變指數(shù)趨近律的滑模控制系統(tǒng)具有響應速度快、無超調的優(yōu)點，系統(tǒng)對負載擾動和參數(shù)擾動都有較好的魯棒性，提高了控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能。
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1 BLDCM數(shù)學模型
假定BLDCM工作于兩兩導通的星形三相六狀態(tài)；忽略磁路飽和，不計渦流和磁滯損耗；永磁體無阻尼，忽略定子繞組電樞反應以及齒槽效應；氣隙磁場分布是梯形波，平頂寬120°電角度；三相繞組對稱，忽略繞組間互感?？傻肂LDCM電壓平衡方程如下：
式中，u為定子相電壓；R為相電阻；i為定子繞組相電流；ε為反電動勢；L為定子電感。
電磁轉矩方程為
式中，Te為電磁轉矩；kT為轉矩系數(shù)；ω為角速度；TL為負載轉矩；J為轉動慣量；δ為阻尼系數(shù)。
由式（2）可得BLDCM的電磁轉矩與電流值成正比，通過控制逆變器電流的幅值可控制電動機的轉矩。
反電動勢方程為
式中，kε為反電動勢系數(shù)。
將式（3）代入式（1），則
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選取切換函數(shù)
式中，C＝[c，1] 為系數(shù)矩陣，c為系數(shù)且c＞0；x1、x2為狀態(tài)向量。
對于系統(tǒng)（A，B），滑動模態(tài)在滑模切換面s＝Cx＝0上的動態(tài)響應只取決于C。
2.1 變指數(shù)趨近律
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指數(shù)趨近律為
式中，s為切換函數(shù)；為s的一階導數(shù)；系數(shù)η為趨近切換面的速率，η＞0；k為指數(shù)項系數(shù)，k＞0。
由于指數(shù)趨近律的滑模切換面為帶狀領域，導致系統(tǒng)雖然在切換面上向原點運動，但無法穩(wěn)定于原點，而是趨近于原點附近的一個高頻抖振，此抖振可能激發(fā)系統(tǒng)中的高頻成分[13]。
為改善指數(shù)趨近律的控制效果，本文對其進行改進，將狀態(tài)量e引入指數(shù)項，從而獲得新的變指數(shù)趨近律：
e在變指數(shù)趨近律下以變速和指數(shù)的速率趨向滑模面，在靠近滑模面時指數(shù)項趨近于零，其中，變速項sgn（s）起了主要作用。在滑?？刂坡傻淖饔孟?，當系統(tǒng)在穩(wěn)定中趨向零時，e進入滑模切換面并趨近原點，此過程不斷減小控制律中的變速項sgn（s），使之最終到達原點。當?shù)綖檫_零原，達點到時消，產除生抖振抖的振目的的sg。n（s）項的系數(shù)
由李雅普諾夫穩(wěn)定性定理可得，滑動模態(tài)的穩(wěn)定性條件為
由式（9）、（10）可得：
又由于k＞0，ε＞0，故有ss·＜0。
取李雅普諾夫函數(shù)
則
因此，可明顯得到當＜0，有，此時變指數(shù)趨近律滑?？刂剖欠€(wěn)定的。
2.2 控制律設計
令e＝ω0-ω，其中，ω0為給定參考角速度，選取狀態(tài)變量x1＝e，x2＝為e的一階導數(shù)，則
將式（13）代入式（5），得BLDCM 的狀態(tài)空間方程：
整理后，得
式中，
由式（6）、（8）、（14）、（15）可得控制律為
在滑模控制系統(tǒng)中，由于空間滯后和時間延遲等一系列原因，使得滑動模態(tài)存在高頻抖振。這種抖振減弱了系統(tǒng)的精確性，并且增加了系統(tǒng)消耗，嚴重時會造成系統(tǒng)的不穩(wěn)定[14-15]。為更好地降低抖振對系統(tǒng)的影響，本文采用準滑模動態(tài)控制原理，以飽和函數(shù)sat（s）替代sgn（s）函數(shù)來削弱抖振。
式中，Δ為邊界層，其數(shù)值根據(jù)改善的抖振效果選取，本文中Δ＝0.05。
3 仿真研究分析
為驗證本文設計的變指數(shù)趨近律滑?？刂破鞯挠行?，使用Matlab對PID控制、常規(guī)指數(shù)趨近律和變指數(shù)趨近律滑?？刂破飨碌腂LDCM進行仿真實驗。實驗分突加負載擾動、參數(shù)兩部分。實驗中，取η＝300，k＝5。BLDCM參數(shù)如表1所示。
表1 BLDCM參數(shù)Tab.1 BLDCM parameters
（1）突加負載擾動。當t＝30ms時加入0.25N·m負載擾動。圖2給出了突加負載擾動時BLDCM的轉速響應曲線和電磁轉矩曲線。
圖2 突加負載擾動時的轉速響度和電磁轉矩曲線Fig.2 Speed respone curve and electromagnetic torque curve under load disturbance
由圖2（a）可見，與滑?？刂破飨啾?，PID控制下的系統(tǒng)響應速度較慢，超調較大；在突加負載時，響應曲線下降幅度較大，且需較長的時間才能使轉速穩(wěn)定至原平衡狀態(tài)；滑?？刂葡?，則系統(tǒng)的轉速響應速度較快，快速跟蹤到達額定速度；同時變指數(shù)趨近律較常規(guī)指數(shù)趨近律能更快地達到轉速穩(wěn)定，且在抑制超調方面效果較好；在系統(tǒng)突加負載時能很快地做出響應，調節(jié)系統(tǒng)到穩(wěn)定狀態(tài)，抗負載擾動能力強。由圖2（b）可知，在系統(tǒng)突加負載時，PID控制下系統(tǒng)的電磁轉矩脈動較大；而在滑?？刂葡拢D矩階躍式地達到穩(wěn)定狀態(tài)，且未出現(xiàn)明顯的轉矩脈動，能有效地抑制轉矩脈動，其中在變指數(shù)趨近律下，滑?？刂戚^常規(guī)指數(shù)趨近律的調整速度更快，魯棒性較好。
（2）參數(shù)擾動。取負載為TL＝0.15N·m，當t＝30ms時電阻值增加20%，圖3給出了參數(shù)擾動下的轉速響應曲線和電磁轉矩曲線。
圖3 參數(shù)擾動時的轉速響應和電磁轉矩曲線Fig.3 Speed respone curve and electromagnetic torque curve under parameter perturbation
如圖可見，當參數(shù)擾動時，在PID控制下，系統(tǒng)的轉速響應較慢，超調明顯；變指數(shù)趨近律和常規(guī)指數(shù)趨近律控制下的滑?？刂葡到y(tǒng)的抗干擾性較好。進一步分析可知，在兩種趨近律下，系統(tǒng)負載時轉矩均能在短時間內達到平穩(wěn)，但變指數(shù)趨近律較常規(guī)指數(shù)趨近律轉矩脈動抑制更強；當t＝30ms突加負載擾動時，相對于常規(guī)指數(shù)趨近律，變指數(shù)趨近律滑?？刂葡到y(tǒng)的轉矩調整時間較短。
4 結 語
本文分析并建立了BLDCM數(shù)學模型，然后在指數(shù)趨近律基礎上提出了變指數(shù)趨近律，并將基于變指數(shù)趨近律的滑?？刂破鲬糜贐LDCM
系統(tǒng)。仿真結果表明，與PID控制和常規(guī)指數(shù)趨近律相比，基于變指數(shù)趨近律的滑模控制系統(tǒng)具有響應速度快、無超調的優(yōu)點，系統(tǒng)對負載擾動和參數(shù)擾動都有較好的魯棒性，提高了控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能。
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