回歸分析及其初步應(yīng)用中的思想方法

李志勤

回歸分析是最常用的統(tǒng)計(jì)方法，它是研究一個(gè)變量與另一個(gè)變量之間的相關(guān)關(guān)系的一種方法，所以兩個(gè)變量具有相關(guān)關(guān)系是回歸分析的前提。學(xué)習(xí)回歸分析就是要學(xué)習(xí)回歸分析的思想和方法，下面通過實(shí)際應(yīng)用問題進(jìn)行分析。

一、數(shù)形結(jié)合思想

對(duì)兩個(gè)變量作相關(guān)性檢驗(yàn)時(shí)，作出散點(diǎn)圖，并觀察所給的數(shù)據(jù)是否在一條直線附近，這體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想。

側(cè)，研究某設(shè)備的使用年限x與維修費(fèi)用y之間的關(guān)系，測得一組數(shù)據(jù)如表1（y值為觀察值）。

由數(shù)據(jù)可知y與x有明顯的線性相關(guān)關(guān)系，可以用一條直線的方程來反映這種關(guān)系。

（1）將表1中的數(shù)據(jù)畫成散點(diǎn)圖。

（2）如果直線l過散點(diǎn)圖中的最左側(cè)點(diǎn)和最右側(cè)點(diǎn)，求m直線l的方程。

（3）如果直線l'過散點(diǎn)圖中的中間點(diǎn)（即點(diǎn)（4，5）），且使維修費(fèi)用的每一個(gè)觀察值與直線l'上對(duì)應(yīng)點(diǎn)的縱坐標(biāo)的差的絕對(duì)值之和最小，求出直線l'的方程。

分析：（1）將數(shù)據(jù)在平面坐標(biāo)系中標(biāo)出，即可得到散點(diǎn)圖；（2）確定散點(diǎn)圖中的最左側(cè)點(diǎn)和最右側(cè)點(diǎn)的坐標(biāo)，即可求出直線l的方程；（3）根據(jù)絕對(duì)值函數(shù)的性質(zhì)，求出函數(shù)的最值，即可求出直線l'的方程。

利用最小二乘法的思想，能根據(jù)給出的線性回歸方程系數(shù)公式建立線性回歸方程。在解決具體問題時(shí)，要先進(jìn)行相關(guān)性檢驗(yàn)，通過檢驗(yàn)判斷兩個(gè)變量是否具有線性相關(guān)關(guān)系。若它們之間具有線性相關(guān)關(guān)系，再求回歸方程，否則，即使求出回歸方程也是毫無意義的，而且用其估計(jì)和預(yù)測的量也是不可信的。

二、回歸分析法

這是一種從事物因果關(guān)系出發(fā)進(jìn)行預(yù)測的方法。在操作中，根據(jù)統(tǒng)計(jì)資料求得因果關(guān)系的相關(guān)系數(shù)，相關(guān)系數(shù)越大，因果關(guān)系越密切。通過相關(guān)系數(shù)就可確定回歸方程，預(yù)測今后事物發(fā)展的趨勢。

分析：（1）分別求出數(shù)學(xué)和物理成績的平均數(shù)，利用公式求出b值和a值，寫出線性回歸方程；（2）利用公式求出殘差和，根據(jù)所給的殘差和的范圍，判斷所求的線性回歸方程是否為優(yōu)擬方程。

三、轉(zhuǎn)化思想

實(shí)際問題中，研究的兩個(gè)變量是否具有相關(guān)關(guān)系.可通過散點(diǎn)圖或有關(guān)函數(shù)的圖像，來選取合適的轉(zhuǎn)化函數(shù)。

側(cè)了某興趣小組研究某城市霧霾等極端天氣發(fā)生次數(shù)與患呼吸道疾病人數(shù)之間的關(guān)系，他們分別到氣象局和某醫(yī)院抄錄了1至6月的霧霾等極端天氣發(fā)生次數(shù)情況與患呼吸道疾病而就診的人數(shù)，得到如表3所示的數(shù)據(jù)。

該興趣小組確定的研究方案是：先從6組數(shù)據(jù)中選取2組，用剩下的4組數(shù)據(jù)求線性回歸方程，再用被選取的2組數(shù)據(jù)檢驗(yàn)線性回歸方程是否理想。（2）若由線性回歸方程得到的估計(jì)數(shù)據(jù)與所選出的檢驗(yàn)數(shù)據(jù)的誤差均不超過2人，則認(rèn)為得到的線性回歸方程是理想的。該小組所得線性回歸方程是否理想？請(qǐng)寫出具體判斷過程。分析：（1）根據(jù)所給的數(shù)據(jù)，求出x，y的平均數(shù)，根據(jù)求線性回歸方程系數(shù)的方法，求出系數(shù)b，再求a的值，即可得到線性回歸方程；（2）根據(jù)所求的線性回歸方程，預(yù)報(bào)當(dāng)自變量為10和6時(shí)的y的值，把預(yù)報(bào)的值同原來表中所給的10和6對(duì)應(yīng)的值作差，若差的絕對(duì)值不超過2，則得到的線性回歸方程是理想的。