統(tǒng)計(jì)知識(shí)常考題型分析

王國(guó)平

學(xué)習(xí)統(tǒng)計(jì)內(nèi)容時(shí)，應(yīng)準(zhǔn)確理解三種抽樣方法的定義，分清它們之間的聯(lián)系與區(qū)別，靈活選擇恰當(dāng)?shù)某闃臃椒ǔ槿颖?。高考主要考查樣本的頻率分布中的有關(guān)計(jì)算、樣本特征數(shù)、回歸分析等。

1.三種抽樣方法

高考重點(diǎn)考查分層抽樣，其次是系統(tǒng)抽樣、簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣。分層抽樣是按比例抽樣；系統(tǒng)抽樣首先是對(duì)總體進(jìn)行分段，注意分段時(shí)可能要排除一些個(gè)體，各段的間距是一樣的；簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣要注意隨機(jī)數(shù)表的應(yīng)用。

例1 某學(xué)校有男、女學(xué)生各500名。為了解男女學(xué)生在學(xué)習(xí)興趣與業(yè)余愛(ài)好方面是否存在顯著差異，擬從全體學(xué)生中抽取100名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，則宜采用的抽樣方法是（ ）。

A.抽簽法 B.隨機(jī)數(shù)法

C.系統(tǒng)抽樣法 D.分層抽樣法

解：求解本題要弄懂三種抽樣方法之間的區(qū)別和聯(lián)系。

簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣適用于樣本較小的抽樣，選項(xiàng)A、B不適合。系統(tǒng)抽樣適用于樣本容量大且總體差異不明顯，選項(xiàng)C不適合。本題中的樣本差異明顯，適合分層抽樣，選D。

跟蹤訓(xùn)練1：將參加夏令營(yíng)的500名學(xué)生分別編號(hào)為001，002，…，500，這500名學(xué)生分住在三個(gè)營(yíng)區(qū)，從001到200在第一營(yíng)區(qū)，從201到350在第二營(yíng)區(qū)，從351到500在第三營(yíng)區(qū)。若采用分層抽樣的方法抽取一個(gè)容量為50的樣本，則三個(gè)營(yíng)區(qū)被抽取的人數(shù)分別為（

）。

A.20，15 ，15 B.20，16 ，14

C.12 ，14 ，16 D.21，15 ，14

提示：根據(jù)分層抽樣，按l0：1的比例抽取，則分別應(yīng)抽取的人數(shù)為20，15，15。應(yīng)選A。

2.頻率分布直方圖的應(yīng)用

頻率分布直方圖直觀形象地表示了樣本的頻率分布，從這個(gè)直方圖上可以求出樣本數(shù)據(jù)在各個(gè)組的頻率分布。根據(jù)頻率分布直方圖估計(jì)樣本（或者總體）的平均值時(shí)，一般是采取組中值乘以各組的頻率的方法。

例2（2014年高考廣東卷）已知某地區(qū)中小學(xué)生人數(shù)和近視情況分別如圖1和圖2所示。為了解該地區(qū)中小學(xué)生的近視形成原因，用分層抽樣的方法抽取2%的學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，則樣本容量和抽取的高中生近視人數(shù)分別為（ ）。

A.200，20 B.100，20 C.200，10 D.100，10

解：本題考查統(tǒng)計(jì)圖表的實(shí)際應(yīng)用。由圖1可知該地區(qū)中小學(xué)生一共有10 000人。由抽取2%的學(xué)生，可知樣本容量是10000×2%=200。由于高中生近視率為50%，可得高中生近視的人數(shù)為2000×2%×50%=20。選A。

跟蹤訓(xùn)練2：（2014年高考新課標(biāo)卷）從某企業(yè)生產(chǎn)的某種產(chǎn)品中抽取100件，測(cè)量這些產(chǎn)品的一項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值，由測(cè)量結(jié)果得頻數(shù)分布表（如表1）。

（1）作出這些數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖。

（2）估計(jì)這種產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值的平均數(shù)及方差（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）。

（3）根據(jù)以上抽樣調(diào)查數(shù)據(jù)，能否認(rèn)為該企業(yè)生產(chǎn)的這種產(chǎn)品符合“質(zhì)量指標(biāo)值不低于95的產(chǎn)品至少要占全部產(chǎn)品80%”的規(guī)定？

3.用樣本的數(shù)字特征估計(jì)總體的數(shù)字特征

平均數(shù)與方差都是重要的數(shù)字特征，是對(duì)總體的一種簡(jiǎn)明的描述，它們所反映的情況有著重要的實(shí)際意義。平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)描述其集中趨勢(shì)，方差和標(biāo)準(zhǔn)差描述其波動(dòng)大小。

例3 為了考察某校各班參加課外書(shū)法小組的人數(shù)，從全校隨機(jī)抽取5個(gè)班級(jí)，把每個(gè)班級(jí)參加該小組的人數(shù)作為樣本數(shù)據(jù)。已知樣本平均數(shù)為7，樣本方差為4，且樣本數(shù)據(jù)互不相同，則樣本數(shù)據(jù)中的最大值為

。

解：借助題目條件，可知樣本數(shù)據(jù)中最大值不會(huì)超過(guò)12，可采用逐一討論的方法。由于樣本數(shù)據(jù)互不相同，這是不可能成立的。若樣本數(shù)據(jù)為4，6，7，8，10，代人驗(yàn)證可知符合題目要求，此時(shí)樣本數(shù)據(jù)中最大值為10。答案為10。

跟蹤訓(xùn)練3：（1）在某次測(cè)量中得到的A樣本數(shù)據(jù)如下：82，84，84，86，86，86，88，88，88，88。若B樣本數(shù)據(jù)恰好是A樣本數(shù)據(jù)每個(gè)都加2后所得數(shù)據(jù).則A，B兩樣本的下列數(shù)字特征對(duì)應(yīng)相同的是（ ）。

A.眾數(shù) B.平均數(shù) C.中位數(shù) D.標(biāo)準(zhǔn)差

（2）甲、乙兩名射擊運(yùn)動(dòng)員參加某大型運(yùn)動(dòng)會(huì)的預(yù)選賽，他們分別射擊了5次，成績(jī)?nèi)绫?所示（單位：環(huán)）。

如果甲、乙兩人中只有1人人選，則入選的最佳人選應(yīng)是一。

提示：（1）對(duì)樣本中每個(gè)數(shù)據(jù)都加上一個(gè)非零常數(shù)時(shí)不改變樣本的方差和標(biāo)準(zhǔn)差，但眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)都發(fā)生改變。應(yīng)選D。

4.線性回歸方程

在解決具體問(wèn)題時(shí)，要先進(jìn)行相關(guān)性檢驗(yàn)，通過(guò)檢驗(yàn)確認(rèn)兩個(gè)變量是否具有線性相關(guān)關(guān)系，若它們之間具有線性相關(guān)關(guān)系，則可求出回歸直線方程。

例4 （2014年高考新課標(biāo)卷）某地區(qū)2007年至2013年農(nóng)村居民家庭人均純收入y（單位：千元）的數(shù)據(jù)如表3所示。

（1）求y關(guān)于t的線性回歸方程。

（2）利用（1）中的回歸方程，分析2007年至2013年該地區(qū)農(nóng)村居民家庭人均純收入的變化情況，并預(yù)測(cè)該地區(qū)2015年農(nóng)村居民家庭人均純收入。

附：回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為：

下面對(duì)一組數(shù)據(jù)的分析，不正確的說(shuō)法是（ ）。

A.數(shù)據(jù)極差越小，樣本數(shù)據(jù)分布越集中、穩(wěn)定

B.數(shù)據(jù)平均數(shù)越小，樣本數(shù)據(jù)分布越集中、穩(wěn)定

C.數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)差越小，樣本數(shù)據(jù)分布越集中、穩(wěn)定

D.數(shù)據(jù)方差越小，樣本數(shù)據(jù)分布越集中、穩(wěn)定

提示：根據(jù)極差、平均數(shù)、方差、標(biāo)準(zhǔn)差的定義即可判斷。

極差反映了最大值與最小值的差的情況，極差越小，數(shù)據(jù)越集中、穩(wěn)定。

方差、標(biāo)準(zhǔn)差是用來(lái)衡量一組數(shù)據(jù)波動(dòng)大小的量，方差、標(biāo)準(zhǔn)差越大，表明這組數(shù)據(jù)偏離平均數(shù)越大，即波動(dòng)越大，數(shù)據(jù)越不穩(wěn)定。方差、標(biāo)準(zhǔn)差較小的數(shù)據(jù)波動(dòng)較小，穩(wěn)定程度較高。

平均數(shù)偏小，說(shuō)明數(shù)據(jù)整體上偏小，不能反映樣本數(shù)據(jù)的穩(wěn)定與否。

應(yīng)選B。