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    離散模糊自適應(yīng)滑??刂圃诖泡S承中的應(yīng)用

    2015-07-26 09:57:12孫冬梅徐海鵬范文熊鑫曾理
    軸承 2015年8期
    關(guān)鍵詞:滑模增益徑向

    孫冬梅,徐海鵬,范文,熊鑫,曾理

    (南京工業(yè)大學(xué) 自動(dòng)化與電氣工程學(xué)院,南京 211816)

    主動(dòng)磁軸承與傳統(tǒng)機(jī)械軸承相比具有無磨損和無需潤(rùn)滑等特性,因此,常用于磁懸浮飛輪儲(chǔ)能裝置等系統(tǒng)。

    主動(dòng)磁軸承的轉(zhuǎn)子在高速旋轉(zhuǎn)時(shí)存在一定的不平衡量。滑模變結(jié)構(gòu)控制對(duì)外界擾動(dòng)具有良好的自適應(yīng)性,因此,在主動(dòng)磁軸承中得到了廣泛應(yīng)用。文獻(xiàn)[1]研究了滑模變結(jié)構(gòu)控制對(duì)單自由度磁懸浮軸承系統(tǒng)的非線性解決方案,但并沒有考慮系統(tǒng)中存在的不平衡擾動(dòng)和非線性干擾問題對(duì)系統(tǒng)的影響。文獻(xiàn)[2]提出了滑模觀測(cè)器的概念,設(shè)計(jì)了滑模變結(jié)構(gòu)控制器和觀測(cè)器,用于磁懸浮軸承的跟蹤控制,仿真結(jié)果表明該系統(tǒng)具有良好的實(shí)用性和魯棒穩(wěn)定性。文獻(xiàn)[3]設(shè)計(jì)了滑模觀測(cè)器用于觀測(cè)磁軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的擾動(dòng)量,使用了基于PID控制的交叉解耦方法對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行解耦,仿真結(jié)果表明系統(tǒng)的不平衡振動(dòng)和干擾量得到了有效的抑制,但設(shè)計(jì)較為復(fù)雜。文獻(xiàn)[4]提出了一種基于柔性轉(zhuǎn)子動(dòng)力學(xué)的非線性主動(dòng)磁軸承系統(tǒng)模型,設(shè)計(jì)了用于補(bǔ)償磁軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的滑??刂破?,仿真結(jié)果表明該控制器能夠補(bǔ)償磁軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的非線性。

    針對(duì)磁軸承-轉(zhuǎn)子在高速旋轉(zhuǎn)存在的不平衡擾動(dòng)和非線性干擾問題,通過建立磁軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程,提出了一種離散模糊自適應(yīng)滑??刂品桨?。

    1 磁軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型

    以徑向4自由度主動(dòng)磁軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)為對(duì)象[5],假設(shè):1)轉(zhuǎn)子為軸對(duì)稱剛性轉(zhuǎn)子;2)轉(zhuǎn)子的軸線與2個(gè)徑向軸承的中心連線在一條直線上;3)電磁鐵中的磁場(chǎng)是均勻分布的,磁性材料不呈現(xiàn)飽和特性;4)徑向4個(gè)自由度的參數(shù)和結(jié)構(gòu)完全一樣;5)忽略鐵芯材料的損耗。建立Oxyz廣義坐標(biāo)系,并且以轉(zhuǎn)子質(zhì)心為坐標(biāo)系原點(diǎn),以兩徑向軸承中心連線為z軸。磁軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型如圖1所示。圖中,F(xiàn)lx,F(xiàn)rx分別為x軸左右兩端所受的電磁力;Fly,F(xiàn)ry分別為y軸左右兩端所受的電磁力;θx,θy分別為x軸和y軸方向上的角位移量;ω為轉(zhuǎn)子旋轉(zhuǎn)的角速度;a,b分別為磁軸承兩端位移傳感器到質(zhì)心的距離。

    圖1 磁軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型

    磁軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程為

    式中:m為磁軸承轉(zhuǎn)子的質(zhì)量;Jp為極轉(zhuǎn)動(dòng)慣量;Jr為赤道轉(zhuǎn)動(dòng)慣量;e為離心率;η為慣性軸與旋轉(zhuǎn)軸的夾角;px,py分別為x,y軸方向上的合力矩;Fx,F(xiàn)y,F(xiàn)z分別為磁軸承x,y,z軸方向上的合力;θ1,θ2為初始相位。

    Fx,F(xiàn)y,F(xiàn)z,px,py滿足如下關(guān)系式

    Fx= Flx+Frx=kxx+kixu1,

    Fy=Fly+Fry=kyx+kiyu2,

    Fz=kzz+kizuz,

    px=kx(a+b)2θx-kix(a+b)u3,

    py=ky(a+b)2θx+kiy(a+b)u4,

    式中:kx,ky,kz分別為磁軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)x,y,z軸方向的位移剛度;kix,kiy,kiz分別為x,y,z軸方向的電流剛度;u1,u2,u3,u4,uz為電流控制量。

    由(1)式可知系統(tǒng)的軸向解耦與徑向解耦,徑向的平動(dòng)解耦和徑向的轉(zhuǎn)動(dòng)解耦,在引入交叉反饋的前提下,可以研究單自由度[6-7]。設(shè)初始相位角為零,以其中一個(gè)平動(dòng)自由度為例,對(duì)該平動(dòng)單自由度的動(dòng)力學(xué)方程進(jìn)行線性化處理可得

    (2)

    式中:ks,ki分別為系統(tǒng)的位移剛度和電流剛度;d(t)為不平衡擾動(dòng)量和非線性部分。為了方便設(shè)計(jì)控制算法,需將(2)式轉(zhuǎn)換成狀態(tài)方程并離散化,則

    (3)

    由于(3)式滿足匹配條件[8],將其轉(zhuǎn)化為

    X(k+1)=AX(k)+B[U(k)+f(k)],

    (4)

    式中:A,B為系數(shù)矩陣;U(k)為電壓矩陣函數(shù);t0,i0,x0為初始值;τ為時(shí)間參數(shù)。

    2 磁軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)控制器

    2.1 控制系統(tǒng)總體框圖

    控制系統(tǒng)的總體框圖如圖2所示。滑??刂破鞯脑O(shè)計(jì)是基于離散控制率,將位移傳感器的輸出信號(hào)y=x作為非線性跟蹤微分器的輸入信號(hào);用z1和z2分別代替x和dx;將滑模函數(shù)S及滑模函數(shù)的變化率dS作為模糊控制率的輸入量,滑??刂坡实脑鲆鏋槟:刂坡瘦敵龅慕^對(duì)值FO。

    圖2 控制系統(tǒng)總體框圖

    2.2 模糊控制器設(shè)計(jì)

    模糊控制器是經(jīng)過模糊推理得到輸出控制量的模糊取值。模糊控制器適用于非線性時(shí)變、滯后系統(tǒng)的控制,但其自身抖振會(huì)激勵(lì)起系統(tǒng)中的高頻抖振,甚至導(dǎo)致系統(tǒng)的不穩(wěn)定,因此,將模糊控制器與傳統(tǒng)的滑??刂破飨嘟Y(jié)合,抑制滑模變結(jié)構(gòu)控制中固有的抖振問題。

    采用二維模糊控制器,模糊變量選擇符合正態(tài)分布的隸屬度函數(shù)。定義模糊集:NB=負(fù)大,ZO=零,PB=正大。定義模糊規(guī)則:If S is A and dS is B then FO is C。模糊規(guī)則表見表1。

    表1 模糊控制規(guī)則表

    2.3 滑模控制器設(shè)計(jì)

    主要包括滑模函數(shù)設(shè)計(jì)和滑??刂坡稍O(shè)計(jì)。由基于線性簡(jiǎn)約型的(3)式可設(shè)計(jì)切換函數(shù)為

    S(k)=Se[R(k)-X(k)],

    (5)

    式中:Se為待定的二維行向量;r(k)為給定參考信號(hào);滑模面S(k)=0[2]。

    離散形式趨近律為

    S(k+1)=S(k)-εTsgn[S(k)]-qTS(k),

    (6)

    式中:ε為滑??刂破鞯脑鲆妫ˇ?FO(k);T為采樣時(shí)間,T固定的情況下,ε反映滑模控制器抖振的程度;q為比例系數(shù)。

    根據(jù)(4)~(6)式可得基于離散形式的控制律為

    U(k)=(SeB)-1{SeR(k+1)-SeAX(k)-S(k)+

    εTsgn[S(k)]+qTS(k)}-f(k)。

    (7)

    由于f(k)為未知量,取其估計(jì)值代替,則該基于離散形式的控制律才能在實(shí)際中使用,此處忽略不計(jì)。

    2.4 二階離散非線性跟蹤微分器設(shè)計(jì)

    由(7)式可知,滑??刂破餍枰珷顟B(tài)信息,因此,二階離散非線性跟蹤微分器的輸入為位移傳感器得到的系統(tǒng)位移信號(hào)y,輸出為位移信號(hào)y的跟蹤輸出z1和跟蹤微分z2。再用z1和z2代替x和dx。

    根據(jù)(4)式可得二階離散非線性跟蹤微分器的方程為

    ,(8)

    式中:u(k)為第k時(shí)刻的輸入;r為跟蹤快慢參數(shù);h為濾波效果參數(shù)。

    fst函數(shù)的表達(dá)式為

    δ=rh,δ0=δh;

    式中:sat為標(biāo)準(zhǔn)向量飽和函數(shù);a0,δ,δ0均為中間量,無實(shí)際含義。

    3 仿真與討論

    對(duì)某磁軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)進(jìn)行仿真,其參數(shù)見表2。

    表2 磁軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)參數(shù)

    仿真條件設(shè)置:條件1為采用模糊自適應(yīng)增益不含干擾f(k);條件2為采用模糊自適應(yīng)含干擾f(k);條件3為采用固定增益含干擾f(k)。

    磁軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)在3種條件下的質(zhì)心位移輸出如圖3所示,其中y1~y3分別對(duì)應(yīng)條件1~3。由圖可知,3條曲線收斂到0的時(shí)間基本均為0.08 s,說明該控制系統(tǒng)響應(yīng)較快,且超調(diào)量較小,可有效抑制系統(tǒng)中存在的不平衡擾動(dòng)和非線性干擾問題,實(shí)現(xiàn)了系統(tǒng)的自動(dòng)平衡。

    圖3 系統(tǒng)質(zhì)心的位移輸出

    系統(tǒng)在條件1和條件2下的控制電流(I1和I2)如圖4所示。由圖可知,二者所需的控制電流均較小,在0.05 s內(nèi)收斂到0,均有少許的電流起伏,但抖振量不明顯,都在精度允許范圍內(nèi)。

    圖4 系統(tǒng)的控制電流

    經(jīng)仿真表明,系統(tǒng)在條件1下的自適應(yīng)增益在2.93×10-17,且變化不大。系統(tǒng)在條件2和條件3下的控制電流(I2和I3)抖振如圖5所示。由圖可知,固定增益的抖振量非常大。

    圖5 系統(tǒng)控制電流抖振

    4 結(jié)論

    提出的離散模糊自適應(yīng)滑模控制方法有效削弱了磁軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)存在的不平衡擾動(dòng)和非線性干擾,仿真證明,該控制系統(tǒng)具有良好的魯棒性和自適應(yīng)性。此外,二階離散非線性跟蹤微分器解決了無法直接得到速度信號(hào)的問題,為接下來的研究奠定了良好的基礎(chǔ)。

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