論高中階段如何用初等數(shù)學(xué)方法求特殊數(shù)列的前n項(xiàng)和

杜怡萱

摘要：數(shù)列在初等教學(xué)當(dāng)中占據(jù)著重要地位，如實(shí)際生活中的分期付款、人口增長的統(tǒng)計(jì)以及物品的擺放等問題幾乎都會(huì)涉及到數(shù)列，特別是特殊數(shù)列的前n項(xiàng)求和問題，在經(jīng)過初步演算之后，都可以運(yùn)用基本數(shù)列的方法求算。本文列出了特殊數(shù)列前n項(xiàng)和的幾種解法。

關(guān)鍵詞：初等數(shù)學(xué) ? 數(shù)列求和 ? 特殊數(shù)列

高考中數(shù)列求和的題目占據(jù)了一定的比例，尤其是特殊數(shù)列的前n項(xiàng)求和問題經(jīng)常令學(xué)生感到困惑。目前中高考當(dāng)中的數(shù)列求和問題已受到了教師和教研組的充分重視。文章參考了一些關(guān)于數(shù)列問題的研究成果，針對(duì)特殊數(shù)列前n項(xiàng)和的求法，試圖用初等數(shù)學(xué)方法進(jìn)行計(jì)算，希望為教師和學(xué)生在日后的學(xué)習(xí)和工作中提供有益的參考。

一、初等數(shù)學(xué)中的數(shù)列概述

在初等數(shù)學(xué)中，數(shù)列求和問題是多種數(shù)學(xué)問題的契合點(diǎn)，與方程式、函數(shù)、不等式等有著密切的聯(lián)系。數(shù)列部分的內(nèi)容涉及到很多方面，如整體代入、歸納類比、分類計(jì)算等方法和思想。在現(xiàn)實(shí)生活中，如分期付款、人口增長的統(tǒng)計(jì)以及物品的擺放等問題幾乎都會(huì)涉及到數(shù)列。數(shù)列在數(shù)學(xué)運(yùn)算中屬一種特殊的函數(shù)，經(jīng)過初等數(shù)學(xué)的運(yùn)算，可以為日后高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ)。

在初等數(shù)學(xué)中，數(shù)列求和問題是其中的重要運(yùn)算內(nèi)容，教師可基于傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教法，對(duì)求和的方式進(jìn)行分類和歸納總結(jié)。等比數(shù)列中的前n項(xiàng)求和公式蘊(yùn)含著很多分類方法，本文主要圍繞等比數(shù)列和等差數(shù)列的基本公式，針對(duì)特殊數(shù)列前n項(xiàng)和的解題思路，導(dǎo)出相應(yīng)的公式。但是在運(yùn)算過程中還需要注意很多問題，比如在使用分解法時(shí)要進(jìn)行項(xiàng)數(shù)抵消，哪些項(xiàng)應(yīng)被消除，哪些項(xiàng)應(yīng)被保留;項(xiàng)數(shù)被消除之后，所剩下的項(xiàng)數(shù)中，正數(shù)項(xiàng)和負(fù)數(shù)項(xiàng)的數(shù)量一定是相同的。所以在計(jì)算過程中一定要注意，不可以將項(xiàng)數(shù)漏寫。

二、用初等數(shù)學(xué)方法求特殊數(shù)列前n項(xiàng)和的幾種解題思路

（一）待定系數(shù)法

首先是一道例題，求數(shù)列的和。

下面是解題思路：

要想求得這個(gè)數(shù)列的和，用教材當(dāng)中的等差數(shù)列和等比數(shù)列公式顯然無法得出。公式中，分母的次數(shù)明顯大于分子的次數(shù)，所以可將將其轉(zhuǎn)為部分公式：

設(shè)，即。進(jìn)行對(duì)應(yīng)項(xiàng)系數(shù)的比較可知：{，求得：A=1，B=-1。把n=1，2，3……，n代入通項(xiàng)當(dāng)中，可得出：。

通過分析各項(xiàng)的特點(diǎn)可知，前項(xiàng)分式的后式以及后項(xiàng)分式中的前式是相反數(shù)，這樣公式的規(guī)律就可以看出來了，所以： 。

通過這種解法，求得特殊數(shù)列前n項(xiàng)和的思路大致為：首先求得數(shù)列通項(xiàng)的分式，然后使n=1，2，3……，將n代入到通項(xiàng)當(dāng)中，得出各項(xiàng)的分式，最后數(shù)列前n項(xiàng)的和就可以得出來了。

（二）拆項(xiàng)法

拆項(xiàng)法是指將數(shù)列中的每一項(xiàng)分成兩項(xiàng)的差，分開之后的相鄰兩項(xiàng)就會(huì)消去，這樣分開計(jì)算，結(jié)果就只留下了首尾兩項(xiàng)，從而簡化算式得出最終結(jié)果。下面舉例說明：求此數(shù)列的和，

。

以下為解題思路：

當(dāng)數(shù)列通項(xiàng)能夠分成兩項(xiàng)差的模式時(shí)，就可以使用拆分法，求得前n項(xiàng)的和。如果數(shù)列通項(xiàng)有如下特征，也可以通過拆分法進(jìn)行運(yùn)算求得前n項(xiàng)的和。

如通項(xiàng)，其中，的等差數(shù)列中的公差是d，那么就可以拆分成兩項(xiàng)之差。由此可知，利用拆項(xiàng)等式的方法可以將數(shù)列當(dāng)中的每一項(xiàng)都拆分成兩項(xiàng)之差的形式，然后正負(fù)項(xiàng)彼此消除，就會(huì)很容易求得前n項(xiàng)的和。

（三）降次法

在對(duì)自然數(shù)的n次冪和公式進(jìn)行推導(dǎo)的過程當(dāng)中會(huì)用到降次法，也即是通過對(duì)自然數(shù)（n+1）次冪公式的利用對(duì)自然數(shù)的n次冪進(jìn)行推導(dǎo)。

下面舉例說明：

求證。下面是證明思路：取n=1，2，3，4……，n，將此等式的兩邊進(jìn)行相加可以得出：

以上就是降次法的解題思路。這種方法能夠?qū)栴}轉(zhuǎn)化為等差和等比數(shù)列或者已知數(shù)列，從而求得數(shù)列之和。

綜上所述，在高中階段用初等數(shù)學(xué)方法求特殊數(shù)列的前n項(xiàng)和是每個(gè)高中生應(yīng)該具備的能力，同時(shí)也是靈活解題的重要手段之一。在既有的研究成果中，對(duì)于特殊數(shù)列前n項(xiàng)和的求解方法并沒有形成完善的研究體系，解決方法也過于籠統(tǒng)，高中生往往無法有效掌握求解手段，這在很大程度上降低了高中生的學(xué)習(xí)興趣及學(xué)習(xí)效果。為此，本文針對(duì)特殊數(shù)列前n項(xiàng)和的求法，列出了幾種解題思路，將問題轉(zhuǎn)化為了最終的等差數(shù)列和等比數(shù)列求和問題的運(yùn)算，促使特殊數(shù)列前n項(xiàng)和的運(yùn)算得到了切實(shí)解決。

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