基于分形插值的ARIMA大壩預(yù)警模型

屠立峰 包騰飛 李月嬌 趙 斌

（1.河海大學(xué) 水利水電學(xué)院，南京 210098；2.河海大學(xué) 水資源高效利用與工程安全國(guó)家工程研究中心，南京 210098；3.南京南瑞集團(tuán)公司 國(guó)際公司，南京 210093）

大壩的變形、應(yīng)力和作用荷載等觀測(cè)資料均為典型的時(shí)間序列，故可通過(guò)過(guò)去的觀測(cè)值來(lái)預(yù)估未來(lái)的觀測(cè)值.對(duì)于非平穩(wěn)的時(shí)間序列，差分自回歸移動(dòng)平均模型（ARIMA模型）具有良好的適應(yīng)性，常作為經(jīng)典的時(shí)間序列模型［1］.時(shí)間序列覆蓋的歷史越長(zhǎng)，可靠性也就越高，但也越有可能包含缺失值，所以對(duì)該組數(shù)據(jù)進(jìn)行分析時(shí)，預(yù)測(cè)和擬合數(shù)據(jù)與實(shí)際監(jiān)測(cè)值會(huì)有較大的誤差.對(duì)于缺失率較低的情況可用現(xiàn)有的數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，然而大量信息的丟棄會(huì)使數(shù)據(jù)分布產(chǎn)生偏斜而扭曲數(shù)據(jù)挖掘和數(shù)據(jù)分析，從而誤導(dǎo)決策，為此需通過(guò)數(shù)據(jù)填補(bǔ)來(lái)解決.通過(guò)函數(shù)插值可以彌補(bǔ)時(shí)間序列存在缺失值而導(dǎo)致預(yù)測(cè)誤差較大的弊端，然而傳統(tǒng)的插值函數(shù)由于兩端的插值區(qū)間易出現(xiàn)“龍格現(xiàn)象”而限制了在擬合和數(shù)據(jù)處理中的應(yīng)用，基于此學(xué)者們提出了分形插值的方法.分形插值是基于分形幾何學(xué)提出的迭代函數(shù)系統(tǒng)，分形幾何學(xué)指出任何一個(gè)局部都與整體自相似或統(tǒng)計(jì)自相似，因此可將已知數(shù)據(jù)插值成具有自相似結(jié)構(gòu)的曲線(xiàn)和曲面.研究表明，分形插值與傳統(tǒng)的插值方法相比具有更高的精度和適應(yīng)性［2］.考慮到大壩監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)間復(fù)雜的動(dòng)態(tài)性和非線(xiàn)性的特點(diǎn)，本文為彌補(bǔ)ARIMA模型對(duì)含有時(shí)間缺失值的序列預(yù)測(cè)失準(zhǔn)的弊端，對(duì)缺失的時(shí)間序列進(jìn)行分形插值，以提高模型的預(yù)測(cè)精度.

1 分形插值

1.1 分形插值原理

一個(gè)數(shù)據(jù)集合是形如｛（xi，yi）∈R2｜i＝0，1，2，…，N｝的點(diǎn)集，其中

插值函數(shù)對(duì)應(yīng)的這組數(shù)據(jù)是一個(gè)連續(xù)函數(shù)f：［x0，xN］→R，如

點(diǎn)（xi，yi）∈R2稱(chēng)為插值點(diǎn)，f（x）被稱(chēng)為插值函數(shù).

傳統(tǒng)的插值函數(shù)一般由初等函數(shù)的一組基函數(shù)線(xiàn)性表觀的，相鄰的插值點(diǎn)只可用直線(xiàn)或光滑的弧線(xiàn)銜接，卻得不到兩點(diǎn)之間的部分情況.分形插值函數(shù)是由一類(lèi)特殊的仿射變換生成的，它可以得到兩個(gè)相鄰的信息點(diǎn)之間的局部變化，它為描述了一個(gè)不規(guī)則、隨機(jī)曲線(xiàn)擬合的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)提供了強(qiáng)大的工具［3］.

1.2 分形插值方法

給定數(shù)據(jù)集｛（xi，yi）｜i＝0，1，2，…，N｝，構(gòu)造迭代函數(shù)系統(tǒng)（IFS）｛R2；Wn，n＝1，2，…，N｝，其中Wn是具有如下型式的仿射變換：

并且

為了確保各小區(qū)間的不交迭，令式（3）中的bn＝0.式（4）具體可寫(xiě)為

式（5）中有4個(gè)方程5個(gè)參數(shù)，所以其中一個(gè)是自由參數(shù).在一般情況下，選擇dn為自由參量，稱(chēng)為變換Wn的垂直比例因子.為保證IFS收斂，令｜dn｜＜1，解方程組（5），并令L＝xN－x0，則

2 基于分形插值的ARIMA模型

2.1 ARIMA模型定義

ARIMA模型是指經(jīng)過(guò)差分將非平穩(wěn)的時(shí)間序列轉(zhuǎn)化為平穩(wěn)的時(shí)間序列，而后根據(jù)轉(zhuǎn)化后得到的平穩(wěn)時(shí)間序列創(chuàng)建ARIMA模型.該模型認(rèn)為：系列數(shù)據(jù)隨著時(shí)間的推移，預(yù)測(cè)形成隨機(jī)序列，利用近似數(shù)學(xué)模型來(lái)描述這個(gè)隨機(jī)序列，識(shí)別后的模型就能利用時(shí)間序列的過(guò)去值對(duì)未來(lái)進(jìn)行預(yù)測(cè)［4］.

ARIMA（p，d，q）模型數(shù)學(xué)表達(dá)式如公式（7）所示：

式中，φm（m＝1，2，…，p）是自回歸模型的系數(shù)，θj（j＝1，2，…，q）均滑動(dòng)模型的系數(shù)，p為自回歸階數(shù)，q為滑動(dòng)平均部分的階數(shù)，at白噪聲序列.

2.2 基于分形插值的ARIMA模型建模流程

大壩安全監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)一般為非平穩(wěn)時(shí)間序列，模型建立步驟如下：

1）判斷給定的時(shí)間序列是否含有缺失值，若為有缺損值的時(shí)間序列需對(duì)該組數(shù)據(jù)進(jìn)行分形插值，得到數(shù)據(jù)填補(bǔ)后的序列樣本.反之則跳轉(zhuǎn)至2）.

2）進(jìn)行平穩(wěn)性檢驗(yàn)得到參數(shù)d，即差分階數(shù).平穩(wěn)性檢驗(yàn)常用的方法有兩種：一種是圖檢驗(yàn)法，另一種是構(gòu)造檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)的方法［5］.圖檢驗(yàn)法是依據(jù)自相關(guān)圖的平穩(wěn)性檢驗(yàn)方法，因其簡(jiǎn)便和運(yùn)用廣泛的特點(diǎn)，采用該方法將大壩安全監(jiān)測(cè)量轉(zhuǎn)化為平穩(wěn)的時(shí)間序列.

3）確定模型類(lèi)型后，使用赤池信息量準(zhǔn)則（AIC）或貝葉斯信息準(zhǔn)則（BIC）判斷模型的p、q值.由于BIC準(zhǔn)則比AIC準(zhǔn)則具有更好的收斂性［6］，故本文采用BIC準(zhǔn)則計(jì)算模型的p、q值.其數(shù)學(xué)表達(dá)式為

式中，k為參數(shù)的數(shù)量，n為觀察數(shù).

式（8）表明BIC準(zhǔn)則主要有兩部分組成，一是參數(shù)的數(shù)量，隨著階數(shù)的增大而增大；二是模型的擬合情況［7］.增加自由參數(shù)的數(shù)目可提高了擬合的優(yōu)良性，BIC鼓勵(lì)數(shù)據(jù)擬合的優(yōu)良性，但是盡量避免出現(xiàn)過(guò)度擬合的情況［8］.所以選擇BIC值最小組對(duì)應(yīng)的p、q值.

第4步：在上述模型識(shí)別的基礎(chǔ)上，采用極大似然估計(jì)或最小二乘估計(jì)法進(jìn)行參數(shù)估計(jì).

第5步：進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)，診斷at是否為白噪聲序列.

第6步：根據(jù)建立好的ARIMA模型對(duì)大壩變形參數(shù)進(jìn)行擬合和預(yù)測(cè).

3 工程應(yīng)用實(shí)例

小灣水電站為混凝土雙曲拱壩，壩頂高程1 245 m，最大壩高293.5m，總裝機(jī)容量420萬(wàn)kW.以小灣壩頂20120701～20120919觀測(cè)得到的數(shù)據(jù)為例，其中 20120706～20120710，20120726～20120730，20120816～20120825觀測(cè)數(shù)據(jù)缺失.首先利用Matlab數(shù)學(xué)軟件對(duì)缺失的數(shù)據(jù)進(jìn)行分形插值，再利用SPSS軟件對(duì)得到的連續(xù)時(shí)間序列建立ARIMA模型進(jìn)行擬合預(yù)測(cè)，最后與原始的ARIMA模型進(jìn)行對(duì)比.本文采用小灣拱壩壩頂位移的原始觀測(cè)值前70組進(jìn)行擬合，后10組數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)測(cè).

3.1 分形插值

通過(guò)Matlab數(shù)學(xué)軟件對(duì)觀測(cè)值中的缺失值進(jìn)行分形插值，啟動(dòng)Matlab軟件，在命令窗口中做如下操作：

通過(guò)計(jì)算可以得到20120706～20120710，20120726～20120730，20120816～20120825值插值后的位移值.表1為經(jīng)過(guò)分形插值后的數(shù)據(jù).

表1分形插值數(shù)據(jù)表

3.2 基于分形插值的ARIMA模型

通過(guò)差分將壩頂觀測(cè)位移平穩(wěn)化，下面利用圖檢驗(yàn)法分析序列的平穩(wěn)性以確定模型的階數(shù).一階差分后的自相關(guān)系數(shù)（ACF）和偏自相關(guān)系數(shù)（PACF）如圖1所示.

圖1 ACF（左）和PACF（右）系數(shù)圖

由圖1可看出，當(dāng)滯后步數(shù)大于等于2時(shí)，自相關(guān)系數(shù)和偏自相關(guān)系數(shù)均落在置信區(qū)間內(nèi)，因此可以認(rèn)為經(jīng)一階差分后時(shí)間序列是平穩(wěn)的.表2為從低階到高階不同的BIC值.

表2 ARIMA模型BIC準(zhǔn)則值

由表2可知，ARIMA（1，1，3）模型對(duì)應(yīng)的BIC值最小，故其相應(yīng)的精度就越高.運(yùn)用相同的方法對(duì)未經(jīng)分形插值的時(shí)間序列建立ARIMA（0，1，1）模型，分別對(duì)原始監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合，并計(jì)算相應(yīng)的誤差，擬合結(jié)果見(jiàn)表3.

表3 兩種模型的擬合值與相對(duì)誤差

續(xù)表3 兩種模型的擬合值與相對(duì)誤差

由表3可看出，除個(gè)別觀測(cè)日期外，基于分形插值的ARIMA模型的擬合值更接近于實(shí)測(cè)值，利用基于分形插值的ARIMA模型的相對(duì)誤差小于原始的ARIMA模型.分別利用ARIMA模型和基于分形插值A(chǔ)RIMA模型對(duì)實(shí)測(cè)值展開(kāi)預(yù)測(cè)，預(yù)測(cè)結(jié)果見(jiàn)表4.

表4 兩種模型的預(yù)測(cè)值與相對(duì)誤差

由表4可看出，基于分形插值的ARIMA模型的預(yù)測(cè)值更接近于實(shí)測(cè)值，利用分形插值的ARIMA模型的相對(duì)誤差都小于原始ARIMA模型的相對(duì)誤差.

將表3～4計(jì)算所得兩種模型的擬合數(shù)據(jù)和預(yù)測(cè)值與實(shí)測(cè)值進(jìn)行比較，比較結(jié)果如圖2所示.

圖2 兩種模型的擬合值與實(shí)測(cè)值的比較

通過(guò)表3～4以及圖2可以得到，對(duì)于含有缺失值的時(shí)間序列，基于分形插值的ARIMA模型的預(yù)測(cè)值的平均相對(duì)誤差由原先的3.56%降低至1.34%，表明該模型的預(yù)測(cè)精度顯著提高.

4 結(jié) 論

1）在實(shí)際監(jiān)測(cè)過(guò)程中，數(shù)據(jù)缺失是常見(jiàn)的現(xiàn)象，本文以小灣水電站壩頂位移預(yù)測(cè)為例，建立了基于分形插值的ARIMA模型，利用分形插值法對(duì)含有數(shù)據(jù)缺失的時(shí)間序列進(jìn)行插值，從而建立ARIMA時(shí)間序列模型，得到壩頂位移預(yù)的擬合預(yù)測(cè).計(jì)算結(jié)果表明，改進(jìn)后的ARIMA模型的預(yù)測(cè)精度明顯提高.

2）通過(guò)預(yù)測(cè)值和實(shí)際值比較發(fā)現(xiàn)，由于ARIMA模型對(duì)于單調(diào)數(shù)據(jù)處理的不足，易出現(xiàn)預(yù)測(cè)值單調(diào)迅速增長(zhǎng)的現(xiàn)象，導(dǎo)致預(yù)測(cè)值均大于實(shí)測(cè)值.針對(duì)ARIMA模型的不足，近年來(lái)學(xué)者們已經(jīng)陸續(xù)提出了基于ANN－ARIMA、GM－ARIMA等應(yīng)用模型.基于此，對(duì)于含有一定數(shù)據(jù)缺失的時(shí)間序列可將分形插值與優(yōu)化后的ARIMA模型相結(jié)合，進(jìn)一步的提高預(yù)測(cè)精度，不失為一種新的研究方向.

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