一類帶馬爾科夫參數(shù)的不確定性系統(tǒng)魯棒控制器設(shè)計

王瑾，董澤

（華北電力大學(xué) 控制科學(xué)與計算機學(xué)院，河北 保定 071002）

現(xiàn)實系統(tǒng)中往往存在許多不確定因素，將這些不確定因素建模為隨機過程可以使系統(tǒng)更真實、更準確地反映實際工程技術(shù)中的系統(tǒng)運動規(guī)律，但是參數(shù)的不確定性又會影響系統(tǒng)控制性能的穩(wěn)定性以及其他性能［1］，因此，要在系統(tǒng)中引入魯棒控制確保不確定系統(tǒng)的穩(wěn)定性.而馬爾科夫跳變系統(tǒng)是一類系統(tǒng)模態(tài)受馬爾科夫鏈約束的混雜線性系統(tǒng)，其連續(xù)特性和離散特性并存［2］.實際工業(yè)過程中，由于外界工作環(huán)境變化、參數(shù)發(fā)生變化、元件失效及連接中斷等突發(fā)因素會造成系統(tǒng)結(jié)構(gòu)的變化，馬爾可夫跳躍系統(tǒng)能夠描述此類具有結(jié)構(gòu)突變的實際工業(yè)過程而獲得了廣泛的關(guān)注研究.此外，在工程實踐中，采用現(xiàn)代控制理論方法所設(shè)計的控制系統(tǒng)一般難以達到期望的性能，穩(wěn)定性也難以保證，而魯棒控制理論基于外部擾動不確定性與系統(tǒng)模型參數(shù)不確定性的考慮下，對系統(tǒng)魯棒穩(wěn)定性問題進行研究，彌補了現(xiàn)代控制理論需精確數(shù)學(xué)模型的缺點，使系統(tǒng)的分析方法更加有效和實用［3］.本文研究的帶有馬爾科夫參數(shù)的不確定系統(tǒng)，可以較好地體現(xiàn)實際系統(tǒng)的特性，對于隨即參數(shù)的控制有較好的探究意義.本文通過得到系統(tǒng)的穩(wěn)定性條件來設(shè)計魯棒控制器，完成對結(jié)構(gòu)具有復(fù)雜性和突變性的系統(tǒng)的更好控制.

1 不確定性系統(tǒng)

1.1 帶有馬爾科夫跳變參數(shù)的不確定性系統(tǒng)模型

對于實際控制對象，尤其是隨機性較強的對象，較難得到準確模型或模型形式復(fù)雜，以Markovian跳變系統(tǒng)來描述控制對象會有較好的效果.狀態(tài)空間的不確定性模型［4］.

其中，A，B 是適當(dāng)維數(shù)的實常數(shù)矩陣，描述了系統(tǒng)的名義模型，即忽略了模型的不確定性后得到的系統(tǒng)模型；Δa和Δb是不確定參數(shù)矩陣，反映了系統(tǒng)模型中的參數(shù)不確定性，且其中的一些不確定參數(shù)可能是重復(fù)的；Ea，Eb，F(xiàn)a，F(xiàn)b是適當(dāng)維數(shù)的常數(shù)矩陣，它們反映了不確定參數(shù)是如何影響系統(tǒng)模型的，即反映了模型不確定性的結(jié)構(gòu).模型的不確定參數(shù)盡管是未知的，但總可以設(shè)定它們在某個有界的范圍內(nèi)變化，這個變化范圍的大小直接影響到系統(tǒng)性能.

系統(tǒng)模型（2）中的不確定因素可寫成

其中ΔTΔ≤I，rt為馬爾科夫跳變參數(shù).

1.2 模型的自由系統(tǒng)

對于系統(tǒng)（1），當(dāng)u（t）＝0時，系統(tǒng)為自由系統(tǒng)，在自由系統(tǒng)中，不確定部分為0時，系統(tǒng)為名義系統(tǒng)［5］，魯棒穩(wěn)定性研究即是研究自由系統(tǒng)的穩(wěn)定性，考慮自由系統(tǒng)

其中，x∈Rn是系統(tǒng)的狀態(tài)向量為實常數(shù)向量的函數(shù).所要研究的問題是：給出系統(tǒng)（4）的魯棒穩(wěn)定條件，在該條件下，對于所有不確定參數(shù)，系統(tǒng)都是漸進穩(wěn)定的.

2 系統(tǒng)的魯棒控制器設(shè)計

2.1 魯棒穩(wěn)定性條件

已知系統(tǒng)模型，要想進行控制器的設(shè)計，首先要得到其穩(wěn)定性的條件.根據(jù)模型表達式，選擇Lyapunov穩(wěn)定判據(jù)進行求取，因此有以下定理：

定理1 系統(tǒng)（4）對于任意參數(shù)ε＞0，存在線性矩陣不等式

則可知系統(tǒng)魯棒穩(wěn)定［6］.

證明：已知系統(tǒng)（4）為自由系統(tǒng)模型，設(shè)Lyapunov能量方程為V（x）＝xT（t）Pix（t），對能量方程進行弱微分，可得

將不確定因素和確定因素分開，得到

在下文中，以Ai，Ei，F(xiàn)i代替A（rt），E（rt），F(xiàn)（rt）.由式（3）可知上式中的不確定因素可以寫成

定理2［7］對于給定對稱矩陣Q，適當(dāng)維度矩陣D，E 和F（t），若存在Q＋DF（t）E＋（DF（t）E）T＜0，對所有滿足FT（t）F（t）≤I的矩陣F（t）成立，則當(dāng)且僅當(dāng)存在一個標量ε＞0，有Q＋εDDT＋ε－1ETE＜0.

即

定理3［7］對于如下的線性矩陣不等式，

其中Q＝QT，R＝RT，S 為適當(dāng)維度的矩陣，其等價于R＞0，Q＋STR－1S＞0.

由定理3可知，式（7）可寫成

由式（8）可知，可以證明該不等式為系統(tǒng)的魯棒穩(wěn)定性條件。

2.2 魯棒控制器的設(shè)計

已知系統(tǒng)的魯棒穩(wěn)定性條件，要進行控制器設(shè)計，在自由系統(tǒng)基礎(chǔ)上要考慮系統(tǒng)的輸入部分，因此有以下定理：

定理4 對于給定的Ai＞0，如果存在矩陣Xi，Yi滿足，那么控制器是存在的［8］，且控制器形如

證明：已知連續(xù)跳變Markovian系統(tǒng)模型為

由穩(wěn)定性條件和系統(tǒng)模型可知，控制器模型為u（t）＝Kix（t）.

由Lyapunov穩(wěn)定性條件，設(shè)能量方程為V＝xTPix，對能量方程進行弱微分，可得

將上式中的確定因素和不確定因素分開得到

其中，為了書寫方便，使用Ai，Bi，ΔAi，ΔBi代替A（rt），B（rt），ΔA（rt），ΔB（rt）.結(jié)合式（2），上式中的不確定因素可寫為，根據(jù)定理2，可知D＝PiEi，E＝［F1iF2iKi］.

要求證Q＋DF（t）E＋（DF（t）E）T＜0，即求證存在參數(shù)εi＞0使得，即

令Yi＝KiXi，得

由上式可知，式（11）即為系統(tǒng)魯棒穩(wěn)定性條件，可根據(jù)式（11）進行控制器形式的求取.其中，在實際仿真中，一般忽略系統(tǒng)輸入的不確定影響即使ΔB＝0，即輸入變量中的不確定因素為0，所以上式F2i＝0，得到如下矩陣不等式：

式（12）即為忽略輸入量不確定性的魯棒穩(wěn)定性條件，在進行仿真實驗時即選取式（12）進行仿真.

3 數(shù)值算例

由式（12）可知控制器的LMIs形式，已知系統(tǒng)1與系統(tǒng)2以及不確定因素如下：

通過LMIs仿真得到

可得到控制器結(jié)果為K1＝［1.238 7 1.448 0］；K2＝［0.759 8 2.145 5］；t＝－0.423 56.

由結(jié)果可知，使用該方法可得到簡單不確定系統(tǒng)的魯棒控制器參數(shù)，且t值在單位圓的負平面，說明其能量呈現(xiàn)衰減的趨勢，系統(tǒng)最終控制在穩(wěn)定的狀態(tài)，因此，可知該控制器可對不確定系統(tǒng)進行控制.

4 結(jié)束語

針對帶有Markovian參數(shù)的不確定性系統(tǒng)，通過Lyapunov穩(wěn)定性原理以及線性矩陣不等式中的Schur補原理以及范數(shù)有界矩陣消除法對系統(tǒng)的穩(wěn)定性條件進行推導(dǎo)及證明，進行了穩(wěn)定性分析和魯棒穩(wěn)定控制器的設(shè)計，得到了系統(tǒng)的魯棒穩(wěn)定性條件和控制器形式，并通過對LMIs方法的綜合運用，進行了一系列仿真，得到了數(shù)值算例的穩(wěn)定性條件和控制器參數(shù)，實現(xiàn)了對系統(tǒng)的不確定參數(shù)造成的隨機性進行控制，保證了不確定性系統(tǒng)的穩(wěn)定性.

［1］ 關(guān)永強.參數(shù)不確定性系統(tǒng)的魯棒穩(wěn)定性研究［D］.湘潭：湘潭大學(xué)，2010.

［2］ 王曰英，周平方，陳麗，等.馬爾可夫跳躍系統(tǒng)的魯棒故障檢測［J］.電力自動化設(shè)備，2010，30（5）：83－84.WANG Yueying，ZHOU Pingfang，CHEN Li，et al.Robust fault detection of Markovian system［J］.Electric Power Automation Equipment，2010，30（5）：83－84.

［3］ MAHMOUD M S，SHI Ping.Robust stability，stabilization and H－∞control of time－delay systems with Markovian jump parameters［J］.Robust Nonlinear Control，2003，13（3）：755－784

［4］ 俞力.魯棒控制－線性矩陣不等式處理方法［M］.北京：清華大學(xué)出版社，2002.

［5］ 丁強，鐘麥英.一類線性Markov跳躍區(qū)間時滯系統(tǒng)的魯棒H－∞故障檢測濾波器設(shè)計［J］.控制與決策，2011，26（5）：712－715. DING Qiang，ZHONG Maiying.Design of robust H－∞fault detection filter for a class of linear Markovian jump systems with interval time－delay［J］.Control and decision，2011，26（5）：712－715.

［6］ 姚秀明.混雜Markovian 跳躍系統(tǒng)的分析與綜合［D］.哈爾濱：哈爾濱工業(yè)大學(xué)，2010.

［7］ XIE Lihua.Output feedback H－∞control of systems with parameter uncertainty［J］.Int J Control，1996，63（4）：741－751.

［8］ 葉思雋，王新民，張清江，等.不確定系統(tǒng)混合H2／H∞魯棒控制的直接迭代LMI方法［J］.控制理論與應(yīng)用，2011，28（2）：248－251.YE Sijun，WANG Xinmin，ZHANG Qingjiang，et al.Direct iterative LMI－based approach of mixed H－two／H－infinity robust control for uncertain systems［J］.Control Theory and Application，2011，28（2）：248－251.