（2＋1）維Calogero－Bogoyavlenskii－Schiff方程新的精確解

魚 翔，陳文利

（西安培華學(xué)院 基礎(chǔ)部，陜西 西安710125）

0 引 言

非線性偏微分方程的求解問題特別是對(duì)一些高維的非線性微分方程的求解方法已成為研究的熱點(diǎn).近年來，對(duì)非線性偏微分方程尋找對(duì)稱約化和構(gòu)造精確解方面的研究取得了很大的進(jìn)展.為了得到非線性偏微分方程的精確解，研究者提出了很多方法，諸如經(jīng)典的李群方法［1］，非經(jīng)典的李群方法［2］，CK直接法［3］和改進(jìn)的CK直接法［4－6］.并且利用改進(jìn)的CK直接法已經(jīng)獲得了很多非線性偏微分方程的一般對(duì)稱群和精確解.

文獻(xiàn)［7－8］研究（2＋1）維 Calogero－Bogoyavlenskii－Schiff（CBS）方程，利用 Hirota雙線性法求出了CBS方程的部分多孤子解；文獻(xiàn)［9］利用經(jīng)典的李對(duì)稱方法給出了CBS方程的李點(diǎn)對(duì)稱；文獻(xiàn)［10］給出了（2＋1）維廣義CBS方程的無窮多對(duì)稱及其約化；文獻(xiàn)［11］利用李群分析法和行波約化法給出了（2＋1）維CBS方程的相似解；文獻(xiàn)［12］利用拓展的雙曲函數(shù)展開法求出了該方程的行波解.改進(jìn)的CK直接從最一般的相似約化出發(fā)，不使用群理論，就可以得到用標(biāo)準(zhǔn)李群方法得不到的解.本文利用改進(jìn)的CK直接法求解（2＋1）維CBS方程的一般對(duì)稱群和新的精確解，并建立了新解和舊解的聯(lián)系，得到了該方程一些新的精確解.

1 （2＋1）維CBS方程的對(duì)稱群

（2＋1）維CBS方程的一般形式

假設(shè)方程（1）具有如下形式的對(duì)稱群

其中，r＝r（x，z，t），s＝s（x，z，t），f＝f（x，z，t），g＝g（x，z，t），h＝h（x，z，t）都是關(guān)于x，z，t的待定函數(shù).這些待定函數(shù)可以通過U（f，g，h）變換｛u，x，z，t｝→ ｛U，f，g，h｝下要求U（f，g，h）滿足方程

來確定.

根據(jù)改進(jìn)的CK直接法，尋求方程（1）的一般對(duì)稱群和新的精確解.將方程（2）代入方程（1）得到

如果fx＝0，方程（1）沒有非平凡解，所以有

將方程（5）代入方程（3）可以得到

其中，函數(shù)F（x，z，t，Uf，…）與無關(guān).由方程（6）可以得到

按照上述方法進(jìn)行計(jì)算便可得到?jīng)Q定方程組

解方程組（7）可以求解出待定函數(shù)

其中，c1，c2，c3，c4均為常數(shù)，m1（t），m2（t）為t的任意函數(shù).根據(jù)方程（2）有

其中，f，g，h由方程（8）確定.由方程（8）和（9）并根據(jù)（2＋1）維CBS方程的對(duì)稱群理論，有如下的對(duì)稱群定理.

定理1 當(dāng)U（x，z，t）是方程（1）的解時(shí)，由式（9）所表達(dá)的u也是方程（1）的一個(gè)解.

根據(jù)定理1，方程（9）給出的對(duì)稱群為Lie點(diǎn)對(duì)稱群.通過代換討論其Lie代數(shù).

其中，ε為無窮小參數(shù)；p1（t），p2（t）為t的任意函數(shù)，則方程（9）為

其中

2 （2＋1）維CBS方程的精確解

為了得到方程（1）的約化方程，利用σ＝0和方程（1）的相容性.首先求解σ＝0時(shí)方程（1）的特征方程組

現(xiàn)在討論以下幾種情況：

情況（Ⅰ）：令

通過求解特征方程組可以得到其不變解為

將方程（12）代入方程（1）可得到約化方程為

令z＝kξ＋lη.其中k，l為非零常數(shù).則方程（13）可以寫為

由齊次平衡原則可知n＝1.因此假設(shè)方程（14）有如下形式的解

其中，φ為Riccati方程φ′＝A＋φ2的解，將方程（15）代入方程（14）并且令φi的系數(shù)都為0，可以得到關(guān)于bi的一個(gè)代數(shù)系統(tǒng).求解可知

其中，b0為任意常數(shù).

當(dāng)A＜0時(shí)，方程（14）的精確解為

當(dāng)A＞0時(shí)，方程（14）的精確解為

由方程（14），（15）和fi（i＝1，2）可以得到方程（1）的新精確解

情況（Ⅱ）：令C1＝C2＝C3＝0，C4≠0，P1（t）＝a，P2（t）＝b同樣的方法可以得到不變解為

將方程（20）代入方程（1）可得

令z＝kξ＋lη.其中k，l為非零常數(shù).則方程（21）可以寫成

利用G′／G方法求解方程（23）.假設(shè)方程（23）有如下形式的解

G（z）滿足二階線性常微分方程

其中，λ，μ為常數(shù).將方程（24）代入方程（23），結(jié)合方程（25）可以得到方程（1）的3種形式的行波解：

情況（Ⅲ）：令C1≠0，C2＝C3＝0＝C4＝0，P1（t）≠0，P2（t）≠0.通過求解特征方程就可以得到其不變解為

將方程（29）代入方程（1）可得

假設(shè)方程（30）有如下形式的解

通過求解可知方程（1）有如下形式的解

情況（Ⅳ）：令C1＝C2＝C4＝0，C3≠0，P1（t）＝P2（t）＝0.解特征方程就可得到其不變解為

將方程（33）代入方程（1）得到

假設(shè)方程（34）有如下形式的解

通過求解可知方程（1）有如下形式的解

3 結(jié) 論

（1）通過改進(jìn)的CK直接法推導(dǎo)出了定理1，并且通過定理1建立了（2＋1）維CBS方程新解和舊解之間的聯(lián)系，并由此得到了該方程的對(duì)稱.

（2）基于（2＋1）維CBS方程的一個(gè)已知解，通過選取任意函數(shù)的形式，并且利用得到的解之間的關(guān)系可得該方程具有結(jié)構(gòu)豐富的解.這些解在數(shù)學(xué)及物理中有著重要的應(yīng)用，這種方法也適用于其他高維的非線性微分方程的求解.

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