捷聯(lián)慣性導(dǎo)航算法研究

邢晨++王潤濤

摘要：本文介紹了慣性導(dǎo)航系統(tǒng)基本原理，分析了慣性導(dǎo)航與其他導(dǎo)航方式的不同之處。分別闡述了平臺式慣性導(dǎo)航系統(tǒng)與捷聯(lián)式慣性導(dǎo)航系統(tǒng)的實現(xiàn)原理，并分析了各自特點。之后推導(dǎo)了捷聯(lián)式慣性導(dǎo)航系統(tǒng)中姿態(tài)、速度與位置的計算公式，描述了捷聯(lián)式慣性導(dǎo)航系統(tǒng)基本的數(shù)學(xué)實現(xiàn)方法。

關(guān)鍵字：導(dǎo)航；捷聯(lián)慣導(dǎo)；四元數(shù)；姿態(tài)矩陣；

中圖分類號：U463 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1674-098X（2015）06（b）-0000-00

1. 引言

導(dǎo)航就是通過一定的手段或措施指引運載體從某位置出發(fā)，延預(yù)定航線在規(guī)定時間內(nèi)到達(dá)目的地，其中最關(guān)鍵的就是實時的獲取載體的姿態(tài)、速度和位置等運動參數(shù)。測定載體運動參數(shù)運動參數(shù)的方法有多種，例如光電碼盤測角度；測速電機(jī)測角速度；測速計測量相對速度；雷達(dá)、衛(wèi)星和天文定位等技術(shù)用來測量載體位置。但上述技術(shù)都不能單獨的測量出載體的速度，角速度等信息。另外，慣性導(dǎo)航技術(shù)的最大特點是完全自主，在使用過程中慣導(dǎo)器件不需要接收任何外部信息源提供的信息，也不需要對外發(fā)射任何信息，因而慣性導(dǎo)航的工作不受任何外界干擾。慣性導(dǎo)航的這個特點使慣導(dǎo)技術(shù)在高度安全性（戰(zhàn)爭）和強(qiáng)烈干擾（惡劣氣候、深海環(huán)境）的場合具有任何其他導(dǎo)航技術(shù)都無法替代的重要作用。

2. 捷聯(lián)慣導(dǎo)基本原理

慣性導(dǎo)航是建立在牛頓力學(xué)定律基礎(chǔ)上的，在運載體內(nèi)用加速度計測量運載體運動的加速度，對加速度進(jìn)行積分，獲得運載體的速度和位置信息。圖1為慣性導(dǎo)航系統(tǒng)基本概念圖。

圖1

在慣導(dǎo)系統(tǒng)中放置一個穩(wěn)定的平臺，將加速度計等慣性測量器件安裝在其中，用該平臺模擬當(dāng)?shù)厮矫娼⒖臻g直角坐標(biāo)系，通常三個坐標(biāo)軸分別指向東向、北向、天向，坐標(biāo)系稱為東北天坐標(biāo)系。在載體運動過程中，利用陀螺儀測量相對旋轉(zhuǎn)角度，控制平臺始終跟蹤當(dāng)?shù)厮矫?，三個軸始終指向東北天方向，在這三個軸上安裝三個加速度計即可測出運載體沿東西方向的加速度、沿南北方向的加速度、沿天頂方向的加速度。由慣導(dǎo)基本方程算出運載體在東北天三個方向上的速度和相對位置。

慣性導(dǎo)航系統(tǒng)的另一種實現(xiàn)方式是捷聯(lián)式慣導(dǎo)系統(tǒng)，捷聯(lián)式慣導(dǎo)系統(tǒng)取消了固定平臺，系統(tǒng)中的慣性器件直接安裝在運載體（如飛行器、陸地機(jī)動車輛、水面艦船或水下潛艇）上，由數(shù)學(xué)算法取代了固定平臺，為實現(xiàn)與平臺上慣導(dǎo)系統(tǒng)相同的功能，導(dǎo)航計算機(jī)通過陀螺儀測量出的角速度與加速度計測量出的加速度計算出運載體的角度、速度及相對位置。因此捷聯(lián)式慣性導(dǎo)航系統(tǒng)不需要安裝復(fù)雜的高速回轉(zhuǎn)裝置，進(jìn)而節(jié)約了安裝步驟及成本。

捷聯(lián)慣導(dǎo)系統(tǒng)中比力加速度矢量首先在一個“捷聯(lián)式傳感器坐標(biāo)系”下通過捷聯(lián)加速度計測量出來，然后使用導(dǎo)航計算機(jī)軟件將其轉(zhuǎn)換到慣性坐標(biāo)系，以便積分為載體的速度和位置。為了實現(xiàn)這個矢量轉(zhuǎn)換，導(dǎo)航計算機(jī)需要知道捷聯(lián)傳感器和慣性坐標(biāo)系之間的角度方位，這一信息的獲取通過軟件積分陀螺儀測量出來的角速度和導(dǎo)航系統(tǒng)軟件給出的慣性坐標(biāo)系角速度來實現(xiàn)。如圖二為捷聯(lián)式慣性導(dǎo)航系統(tǒng)的基本結(jié)構(gòu)框圖。

圖二

3. 捷聯(lián)慣導(dǎo)算法

捷聯(lián)慣導(dǎo)系統(tǒng)的導(dǎo)航解算主要包括三部分：利用陀螺儀輸出的角度計算姿態(tài)矩陣，同時通過姿態(tài)矩陣中的元素提取姿態(tài)信息（即姿態(tài)解算）；利用姿態(tài)矩陣將加速度計輸出的加速度變換到導(dǎo)航坐標(biāo)系下，通過計算得出速度信息（即速度解算）；利用得到的速度通過導(dǎo)航計算的出位置信息（即位置解算）

3.1姿態(tài)更新

捷聯(lián)慣導(dǎo)算法流程如圖三所示：

圖三

根據(jù)四元數(shù)的乘積鏈規(guī)則得四元數(shù)更新算法如下：

其中 表示 時刻機(jī)體坐標(biāo)系到 時刻當(dāng)?shù)刈鴺?biāo)系的四元數(shù)。 表示 時刻機(jī)體系到 時刻當(dāng)?shù)刈鴺?biāo)系下的四元數(shù)。 表示 時刻機(jī)體系到 時刻機(jī)體系的四元數(shù)。 表示 時刻到當(dāng)?shù)刈鴺?biāo)系到 時刻當(dāng)?shù)叵档淖藨B(tài)變化四元數(shù)。

根據(jù)式子 可完成姿態(tài)四元數(shù)到姿態(tài)矩陣的轉(zhuǎn)換。

3.2速度更新

通常捷聯(lián)慣導(dǎo)系統(tǒng)中計算的速度是載體相對于地心坐標(biāo)系的速度。由與速度微分方程在導(dǎo)航坐標(biāo)系表示為 。其中 表示載體對于地球的速度在導(dǎo)航坐標(biāo)系中的投影， 表示比力加速度， 表示載體所在位置的重力加速度在導(dǎo)航坐標(biāo)系的投影， 表示平移角速度， 表示地球自轉(zhuǎn)角速率。

在速度的一個更新周期內(nèi)，對上式進(jìn)行積分可得當(dāng)前時刻載體在導(dǎo)航坐標(biāo)系下的速度 。

3.3位置更新

由于慣性器件的測量結(jié)果輸出是增量式的，所以速度和姿態(tài)只在其更新時間點上是有效的，所以位置解也只能是根據(jù)離散的速度、角速度、加速度求取。

導(dǎo)航坐標(biāo)系選為地理坐標(biāo)系后，相應(yīng)的位置速率為

其中 、 、 分別為載體在東、北、天方向的速度分量； 、 分別為載體所在子午圈和卯酉圈曲率半徑； 、 為載體所在緯度和高度。

設(shè)位置跟新周期內(nèi)位置速率 足夠小，即此時間段內(nèi)載體速率近似不變，所以上一時刻至此時刻坐標(biāo)系旋轉(zhuǎn)矢量為 。若得 則

又因為 時刻位置矩陣可由 得，式中 為上一時刻位置矩陣?？汕蟮么藭r刻載體位置矩陣。由位置矩陣與載體所在經(jīng)緯度關(guān)系即可得在地球上的相對位置。

4. 小結(jié)

本文分析介紹了捷聯(lián)式慣性導(dǎo)航系統(tǒng)的基本原理，并推導(dǎo)了捷聯(lián)慣導(dǎo)中姿態(tài)更新、速度更新、位置更新的計算步驟。但是導(dǎo)航系統(tǒng)的導(dǎo)航參數(shù)在實時更新過程中存在著不可避免的誤差，對于姿態(tài)計算的圓錐誤差，對于速度計算的劃船誤差，對于位置計算的渦卷誤差，如何避免這些誤差，從中提出真實數(shù)據(jù)才是導(dǎo)航算法研究的重點。本文只是明確捷聯(lián)慣導(dǎo)的基本計算流程，為誤差分析做好鋪墊。

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