基于復(fù)利的基金投資數(shù)學(xué)模型構(gòu)建

沈慧 李雙東

摘要：按照最優(yōu)化原則，對基金投資規(guī)劃的問題進(jìn)行了分析和處理，建立了通用的數(shù)學(xué)模型，對存款按復(fù)利計算和按購買國庫券的兩種情形進(jìn)行數(shù)學(xué)建模，探討了模型所反映的數(shù)據(jù)規(guī)律，根據(jù)基金的使用情況，分析利率的最優(yōu)化。

關(guān)鍵詞：年利率；數(shù)學(xué)模型；最優(yōu)化庫券；復(fù)利；國庫券

1問題的引入

對于一筆資金如何確定其投資方案是數(shù)學(xué)模型研究的熱點，眾多學(xué)者建立多種數(shù)學(xué)模型探討投資方案。在此我們針對這一模型研究以下問題：某企業(yè)拿出[W]元基金，計劃若干年內(nèi)將其投資，每年固定時間用部分本息捐贈給慈善基金會，所捐款額大致相同，若干年年末仍保留原有基金數(shù)額。本文考慮的投資方式若為存入銀行，而銀行存款按復(fù)利計算（注：銀行有自動滾存業(yè)務(wù)到期后自動滾存時是將本金和利息相加視同本金存入的，形成一種事實上的按年計算的復(fù)利形式）。投資方式除了存入銀行，還可用來購買國庫券?，F(xiàn)在要求根據(jù)現(xiàn)有銀行存款及國庫券利率，分兩種情況設(shè)計基金的投資方案，使得每年的捐款盡量多，兩種方式主要有：①只存款不購買國庫券；②可存款也可購買國庫券。查得人民幣存款利率和國庫券利率如表1所示。

表1 2015年人民幣銀行存款年利率及國庫券年利率

[項目＼&活期＼&半年期＼&一年期＼&二年期＼&三年期＼&五年期＼&銀行存款年利率/%＼&0.35＼&2.55＼&2.75＼&3.25＼&3.75＼&4.00＼&國庫券年利率/%＼&＼&＼&＼&＼&4.92＼&5.32＼&]

2主要結(jié)論及證明

針對這一問題的分析可知，解決這一問題就是求解一定條件約束下的利益最大化問題，將這一問題化為多階段配置的線性規(guī)劃問題。由于企業(yè)每年都要捐贈一定數(shù)額的捐款，故需要以1年為單位進(jìn)行分階段處理。要求經(jīng)過若干年之后原有基金數(shù)額不變，這樣每年的捐款額即為基金的利息所得。由最優(yōu)化原則可知，使定期的捐款額盡量高也就是“使基金的投資收益損失額盡量低”。記：[W]為現(xiàn)有基金總額，[M]為每期的捐款額，[r1]為活期存款年利率，[r0]為半年定期存款年利率，[rj]為[j]年定期的存款年利率，[Rj]為[j]年期國庫券的年利率（[j>0]）。

2.1存款模型

為了建立模型，我們引入一些記號，第[t]個[5]年中，首年年初存款[j]年定期的金額記為[xtj]，第[t]個[5]年首年的可用金額記為[Wt]，其中[t，j]均為非負(fù)的整數(shù)，容易得到[W1=M]。

設(shè)[n=5t+N，1≤N≤5，t≥0]（[t，N]均為整數(shù)）。由利息損失最小原則，對前[t]個[5]年，在第[j]個[5]年（[0；五年期本息和部分作為第五年的捐款，剩余的本息自動轉(zhuǎn)為下一個五年的初始資金。于是在前[t]個5年中，便可以得到如下[5t]個方程

[xj1+xj2+xj3+xj5=W1xj1（1+r1）=Mxj2（1+r2）2=M[xj3（1+r3）3-M]（1+r1）=M[xj5（1+r5）5-M]=M]

其中，[1≤j≤t]。

對最后[N]年，分別做如下處理：

若[N=1]，一年期本息作為第[t+1]個[5]年首年捐款及歸還本金，即

[xt+1，2=xt+1，3=xt+1，5=0xt+1，1=Wt+1xt+1，1（1+r1）-M=W]

若[N=2]，則第[t+1]個[5]年的第一年捐款可由一年期本息支付，二年期本息除了用來支付第[t+1]個[5]年第二年捐款外，應(yīng)該還保有本金[W]，即

[xt+1，3=xt+1，5=0xt+1，1+xt+1，2=Wt+1xt+1，1（1+r1）=Mxt+1，2（1+r2）2-M=W]

若[N=3]，一，二期本息作為第[t+1]個[5]年第三年捐款及歸還本金[W]，即

[xt+1，5=0xt+1，1+xt+1，2+xt+1，3=Wt+1xt+1，1（1+r1）=Mxt+1，2（1+r2）2=Mxt+1，3（1+r3）3-M=W]

若[N=4]，一、二年本息作為第[t+1]個[5]年首年、次年的捐款，三年本息作為第[t+1]個[5]年第三年捐款，余額存一年的定期，作為第[t+1]個[5]年第四年捐款及歸還本金[W]， 即

[xt+1，5=0xt+1，1+xt+1，2+xt+1，3=Wt+1xt+1，1（1+r1）=Mxt+1，2（1+r2）2=M[xt+1，3（1+r3）3-M]（1+r1）-M=W]

若[N=5]，令[Wt+2=W]，由第[t+1]個[5]年可得到[5]個方程。

綜上所述，總共得到[5（t+1）]個方程。

2.2存款和購國庫券兼容模型

同樣地，在第[t]個年[6]年中，第一年年初[j]年定期的存款額記為[xtj]；第一年購[j]年期國庫券的金額記為[Xtj]；第一年可用的投資金額記為[Wk]。設(shè)[n=6t]，由所獲利潤最高原則可得

[xj1+xj2+xj3+xj5=Wjxj1（1+r1）=Mxj2（1+r2）2=M[Xj3（1+R3）3-M]（1+R1）=M[Xj5（1+R5）5-M]=Wj+1]

參考文獻(xiàn)：

[1]姜啟源，謝金星，葉俊.數(shù)學(xué)模型[M].北京：高等教育出版社.2011.

[2]劉來福，曾文藝.問題解決的數(shù)學(xué)模型方法[M].北京：北京師范大學(xué)出版社.1999.

[3]楊蕾，鄧道才，李德山，宋華.金融學(xué)[M].北京：安徽大學(xué)出版社.2011.