營(yíng)銷信息在部分交叉免疫模型中的競(jìng)爭(zhēng)傳播

蘇曉萍，宋玉蓉

(1.南京工業(yè)職業(yè)技術(shù)學(xué)院計(jì)算機(jī)與軟件學(xué)院,南京 210046;2.南京郵電大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院,南京 210003)

營(yíng)銷信息在部分交叉免疫模型中的競(jìng)爭(zhēng)傳播

蘇曉萍1，宋玉蓉2

(1.南京工業(yè)職業(yè)技術(shù)學(xué)院計(jì)算機(jī)與軟件學(xué)院,南京 210046;2.南京郵電大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院,南京 210003)

為更加真實(shí)地反映病毒營(yíng)銷中信息的競(jìng)爭(zhēng)傳播，基于經(jīng)典SIS病毒傳播模型建立了一個(gè)具有部分交叉免疫的信息競(jìng)爭(zhēng)傳播模型，描述兩種傳播概率不同的既有合作又有競(jìng)爭(zhēng)關(guān)系信息的傳播過(guò)程。仿真結(jié)果表明：當(dāng)兩信息完全排斥時(shí)，支持“贏者通吃”的經(jīng)典生態(tài)學(xué)結(jié)論；當(dāng)兩種信息間存在一定合作時(shí),合作概率越大較弱病毒存活的規(guī)模越大，但弱病毒需要依靠與強(qiáng)病毒的合作而存在；網(wǎng)絡(luò)度分布越異質(zhì)越有利于合作。

復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)；競(jìng)爭(zhēng)傳播；病毒式營(yíng)銷；部分交叉免疫

0 引言

病毒式營(yíng)銷是隨著社會(huì)網(wǎng)絡(luò)出現(xiàn)的新型網(wǎng)絡(luò)營(yíng)銷模式，各種在線社會(huì)網(wǎng)絡(luò)已成為最有效的病毒營(yíng)銷渠道。病毒營(yíng)銷的核心是利用在線用戶間的“口口相傳”進(jìn)行商品推廣，如Hotmail正是通過(guò)病毒營(yíng)銷的手段在半年內(nèi)就吸引了1 200萬(wàn)的注冊(cè)用戶，可見(jiàn)其威力巨大。因此，近年來(lái)對(duì)病毒營(yíng)銷機(jī)制、原理、成因等的研究成果不斷涌現(xiàn)[1-3]。

病毒營(yíng)銷可以看作商品信息在社會(huì)化網(wǎng)絡(luò)上的傳播，關(guān)于信息、病毒傳播的相關(guān)理論以及生態(tài)學(xué)原理被用于病毒營(yíng)銷的傳播分析[4-5]。以往對(duì)病毒營(yíng)銷的研究均借助著名生態(tài)學(xué)中的競(jìng)爭(zhēng)排斥原理(病毒傳播中也被稱為完全交叉免疫)，即：兩個(gè)物種在完全競(jìng)爭(zhēng)的恒定條件下，更適合環(huán)境的物種最終將推動(dòng)不適合環(huán)境物種的滅絕。這些模型中定義競(jìng)爭(zhēng)雙方為完全排斥，因此得到的結(jié)論基本上都支持“贏者通吃”[6-7]。但是在現(xiàn)實(shí)世界中更普遍存在的現(xiàn)象是：競(jìng)爭(zhēng)雙方并非完全交叉免疫(完全排斥競(jìng)爭(zhēng))，而是部分交叉免疫[8-11]：當(dāng)人們購(gòu)買了某種商品后，對(duì)于同類商品的購(gòu)買欲、關(guān)注度可能會(huì)下降，但并不代表她不會(huì)再購(gòu)買其他品牌的同類商品。例如，人們使用IE瀏覽器同時(shí)也可能會(huì)在電腦上安裝Google Chrome，在使用人人網(wǎng)的同時(shí)也會(huì)使用QQ空間與朋友交流；因此，部分交叉免疫模型(部分競(jìng)爭(zhēng)與合作)更加符合現(xiàn)實(shí)人類行為和病毒營(yíng)銷實(shí)際狀況。

綜上分析，本文從商品信息傳播中的競(jìng)爭(zhēng)現(xiàn)象入手，運(yùn)用病毒傳播理論建立了一個(gè)帶有部分交叉免疫的傳播模型，該模型揭示了兩種存在競(jìng)爭(zhēng)關(guān)系的信息在不同網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)下的傳播特征，模型引入?yún)?shù)“抑制強(qiáng)度”和“恢復(fù)率”，“抑制強(qiáng)度”刻畫了兩種商品信息的競(jìng)爭(zhēng)程度，“恢復(fù)率”則用于刻畫個(gè)體從一種信息感染中恢復(fù)的概率，能夠反映用戶對(duì)某一商品的忠誠(chéng)度。

1 相關(guān)研究

自病毒營(yíng)銷的概念伴隨著眾多在線社交網(wǎng)絡(luò)出現(xiàn)以來(lái)，由于它具有簡(jiǎn)單有效、營(yíng)銷成本低廉的特點(diǎn)，在被眾多廠商采用的同時(shí)也引發(fā)了學(xué)者的研究熱情[12-14]。Kempe和Kleinberg[12]最早注意到了在線網(wǎng)絡(luò)病毒營(yíng)銷問(wèn)題，他們將參與營(yíng)銷傳播的人群建模為無(wú)向圖，并基于線性閾值模型(LT)和獨(dú)立級(jí)聯(lián)模型(IC)研究了營(yíng)銷傳播最大化問(wèn)題，提出了一個(gè)爬山貪心算法：每一個(gè)時(shí)間步都選擇當(dāng)前最具影響力的節(jié)點(diǎn)進(jìn)行傳播，算法在1-1/e的因子內(nèi)近似最優(yōu)，論文首次證明了求解復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)上影響力最大化問(wèn)題是NP完全問(wèn)題。Shakarian等[13]對(duì)在線社會(huì)網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行有向圖建模并采用K-core分解的原理尋找病毒營(yíng)銷中關(guān)鍵的種子節(jié)點(diǎn)使得營(yíng)銷成本最低影響最大，他們發(fā)現(xiàn)社區(qū)結(jié)構(gòu)對(duì)營(yíng)銷信息傳播具有明顯抑制作用。Dinh等[14]則注意到營(yíng)銷信息在網(wǎng)絡(luò)中的傳播通常發(fā)生在有限步內(nèi)，因此他們建立了一個(gè)有限傳播模型并研究了該模型下?tīng)I(yíng)銷信息的傳播特征。

在研究病毒營(yíng)銷時(shí)，通常將參與營(yíng)銷傳播的人群中個(gè)體間的關(guān)系抽象為一個(gè)復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)，病毒營(yíng)銷則被看作商品信息在社會(huì)化網(wǎng)絡(luò)上的傳播。關(guān)于信息、病毒傳播的相關(guān)理論以及生態(tài)學(xué)原理被用于病毒營(yíng)銷的傳播分析。經(jīng)典的傳播模型將網(wǎng)絡(luò)中的個(gè)體分為易感狀態(tài)(Susceptible)、感染態(tài)(Infected)、免疫態(tài)(Recovered)。在初始時(shí)刻假設(shè)網(wǎng)絡(luò)中有若干被感染節(jié)點(diǎn)，其余節(jié)點(diǎn)為易感狀態(tài)，感染節(jié)點(diǎn)以一定策略感染其鄰居，經(jīng)過(guò)若干時(shí)間步的演化后考慮病毒傳播狀況?；谠撍枷氲慕?jīng)典傳播模型有：SI、IS和SIR。早期的研究[15]基于一個(gè)基本假設(shè)：節(jié)點(diǎn)間完全混合，即每個(gè)節(jié)點(diǎn)與網(wǎng)絡(luò)中其他個(gè)體接觸的機(jī)會(huì)均等。但是隨后人們發(fā)現(xiàn)大部分網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)并不符合這一假設(shè)，而是具有小世界、無(wú)標(biāo)度的特征[16-17]，同時(shí)也意識(shí)到網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)對(duì)傳播的影響巨大[18-19]：各種社會(huì)網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點(diǎn)的度具有冪率分布的特征，在該網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)下，網(wǎng)絡(luò)規(guī)模趨于無(wú)窮時(shí)病毒的傳播閾值近似為零，這一結(jié)論揭示了為什么某些傳染病在網(wǎng)絡(luò)中長(zhǎng)期存在。以上研究為人們深刻理解病毒(信息)在不同網(wǎng)絡(luò)下的傳播規(guī)律和微觀感染機(jī)制奠定了理論基礎(chǔ)，同時(shí)也為疾病免疫與預(yù)警、謠言抑制、病毒營(yíng)銷策略制定等提供科學(xué)依據(jù)?；趶?fù)雜網(wǎng)絡(luò)的傳播建模簡(jiǎn)單、易于刻畫病毒的傳播和爆發(fā)過(guò)程。更多領(lǐng)域的應(yīng)用使病毒傳播的研究受到越來(lái)越多的關(guān)注并取得了很多新進(jìn)展[17-18]。

但是，以上研究只關(guān)注單一病毒(信息)在不同網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)下的傳播，而現(xiàn)實(shí)系統(tǒng)中通常存在多種信息傳播并存的現(xiàn)象，最近人們已經(jīng)開(kāi)始關(guān)注這一問(wèn)題，建立競(jìng)爭(zhēng)傳播模型并將其用于觀點(diǎn)形成、病毒營(yíng)銷[5,24]、計(jì)算機(jī)病毒防治、模因競(jìng)爭(zhēng)傳播[6,9,22-23]等問(wèn)題的研究。Y Y Ahn[22]基于SIS模型給出一個(gè)具有兩種不對(duì)稱耦合的病毒傳播模型：只有當(dāng)網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點(diǎn)感染A病毒后才會(huì)產(chǎn)生B病毒并抑制A的傳播，A對(duì)B的傳播具有誘導(dǎo)作用，而B(niǎo)對(duì)A產(chǎn)生抑制。例如在互聯(lián)網(wǎng)中，當(dāng)“Code Red”惡性蠕蟲(chóng)病毒爆發(fā)后，才會(huì)出現(xiàn)能殺死“Code Red”的“Code Green”蠕蟲(chóng)病毒，“Code Green”對(duì)“Code Red”的傳播產(chǎn)生抑制，同時(shí)“Code Red”也是“Code Green”出現(xiàn)的條件，文章采用平均場(chǎng)理論建立傳播模型并研究了在無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)下的非平衡相變閾值發(fā)現(xiàn)：相變與網(wǎng)絡(luò)度分布指數(shù)相關(guān)。邵峰晶等[24]研究了多種信息共存時(shí)，產(chǎn)生兩兩抑制情況下的傳播動(dòng)力學(xué)特征，著重分析了3種信息傳播的收斂性、穩(wěn)定性、傳播率、初始節(jié)點(diǎn)比例等因素對(duì)傳播過(guò)程的影響。Karrer和Newman[9]運(yùn)用滲流理論分析了兩個(gè)完全交叉免疫的病毒的傳播過(guò)程，相圖給出的結(jié)果表明：在很大的區(qū)域內(nèi)只有一種病毒存活而另一種則消失，即仍支持“贏者通吃”現(xiàn)象，有很小區(qū)域內(nèi)兩種病毒可以在網(wǎng)絡(luò)中并存，由于傳播模型基于完全交叉免疫因此一個(gè)節(jié)點(diǎn)在確定時(shí)刻只能感染一種病毒，論文給出了病毒共存時(shí)傳播閾值φx(與兩種病毒傳播率相關(guān))的解析解。Prakash等[6]給出了一個(gè)兩種營(yíng)銷信息在完全連接圖上的SIS傳播模型，該模型假設(shè)兩種信息完全交叉免疫，理論和實(shí)驗(yàn)分析結(jié)果表明：較強(qiáng)壯病毒將促使較弱病毒在網(wǎng)絡(luò)中消失。Beutel[23]等介紹了一個(gè)具有部分交叉免疫特征的病毒營(yíng)銷SIS傳播模型，在該模型下允許兩種商品信息以一定比例部分交叉免疫而非完全交叉免疫，他們發(fā)現(xiàn)傳播能力較弱的病毒在一定條件下可能與傳播能力較強(qiáng)病毒并存于網(wǎng)絡(luò)中，論文運(yùn)用平均場(chǎng)方法得到了競(jìng)爭(zhēng)閾值的臨界值。理論模型與實(shí)際網(wǎng)絡(luò)傳播能夠完美地契合，說(shuō)明該模型能夠很好地刻畫病毒營(yíng)銷中兩種商品信息傳播規(guī)律。但是遺憾的是該模型采用的底層傳播網(wǎng)絡(luò)與Prakash[3]一樣為完全連接圖，即假設(shè)網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)完全混合，完全混合假設(shè)意味著一個(gè)感染節(jié)點(diǎn)把病毒傳染給任意一個(gè)易感節(jié)點(diǎn)的機(jī)會(huì)均等，而實(shí)際網(wǎng)絡(luò)中，一個(gè)節(jié)點(diǎn)通常只能與網(wǎng)絡(luò)中很少節(jié)點(diǎn)相連，一個(gè)感染節(jié)點(diǎn)只能感染其很少的鄰居，該模型并沒(méi)有考慮網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)對(duì)傳播的影響，過(guò)于理想化。

綜上，病毒營(yíng)銷問(wèn)題的研究可以借助經(jīng)典的病毒傳播理論，然而營(yíng)銷信息本身具有與生物病毒傳播所不同的傳播特征，簡(jiǎn)單使用病毒傳播理論對(duì)病毒營(yíng)銷研究并不能得出與現(xiàn)實(shí)相符的結(jié)論。

合理的病毒營(yíng)銷模型必須考慮競(jìng)爭(zhēng)對(duì)傳播的影響，單一病毒的傳播模型不適合對(duì)病毒營(yíng)銷行為的刻畫，另外，完全交叉免疫模型假設(shè)兩種存在競(jìng)爭(zhēng)關(guān)系的商品完全抑制，也不能完美體現(xiàn)現(xiàn)實(shí)世界的具體狀態(tài)，因此，結(jié)合考慮具體網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)和具有部分交叉免疫傳播模型來(lái)分析商品信息的競(jìng)爭(zhēng)傳播，能夠很好地刻畫商品信息的競(jìng)爭(zhēng)傳播，為制定合理病毒營(yíng)銷策略提供理論依據(jù)。

2 競(jìng)爭(zhēng)傳播模型

受Beutel等[23]啟發(fā)，采用SIS傳播模型來(lái)刻畫人們對(duì)營(yíng)銷信息的接受行為：當(dāng)接受(購(gòu)買)了某類商品后，用戶將向其朋友推薦該商品，自身則對(duì)同類商品購(gòu)買的概率下降，但并非不再具有購(gòu)買愿望，即模型中沒(méi)有免疫移除節(jié)點(diǎn)。由于兩種信息在網(wǎng)絡(luò)上的傳播，因此網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點(diǎn)在t時(shí)刻具有4種狀態(tài)：S(易感態(tài))、I1(感染病毒1)、I2(感染病毒2)和I1,2(感染病毒1和2)，狀態(tài)轉(zhuǎn)換如圖1所示：

圖1 傳播模型狀態(tài)轉(zhuǎn)換圖

設(shè)I1的感染率為β1，I2的感染率為β2，兩病毒的恢復(fù)率分別為δ1和δ2，圖1對(duì)應(yīng)的傳播規(guī)則為：1)在t時(shí)刻易感節(jié)點(diǎn)與感染病毒的節(jié)點(diǎn)接觸并被感染的概率為β1或β2，節(jié)點(diǎn)由S態(tài)轉(zhuǎn)換為I1(I2)態(tài)；2)感染了病毒1的節(jié)點(diǎn)(I1態(tài))將會(huì)以概率εβ2感染病毒2，節(jié)點(diǎn)轉(zhuǎn)變?yōu)镮1,2態(tài)，I1,2態(tài)節(jié)點(diǎn)表示用戶即購(gòu)買了商品1也購(gòu)買了商品2，相似地，感染了病毒2的節(jié)點(diǎn)(I2態(tài))將會(huì)以概率εβ1感染病毒1；3)狀態(tài)I1,2的節(jié)點(diǎn)以概率δ1轉(zhuǎn)變?yōu)镮1態(tài)，以概率δ2轉(zhuǎn)變?yōu)镮2態(tài)；

參數(shù)ε和δ分別被稱為抑制強(qiáng)度和恢復(fù)率，ε用于評(píng)價(jià)兩病毒的競(jìng)爭(zhēng)或合作強(qiáng)度，ε的取值范圍為ε≥0，從狀態(tài)轉(zhuǎn)換圖可以看出：當(dāng)ε=0時(shí)傳播模型就退化為完全交叉免疫，即感染了病毒1就不再會(huì)感染病毒2；當(dāng)ε=1時(shí)則兩種病毒的傳播不相互影響最終被感染的節(jié)點(diǎn)數(shù)目?jī)H與傳播概率β有關(guān)，而當(dāng)ε>1時(shí)兩種病毒就從相互抑制變?yōu)橄嗷f(xié)作的關(guān)系，因?yàn)楦腥静《?會(huì)增加對(duì)病毒2的感染，這一現(xiàn)象在現(xiàn)實(shí)中也存在，比如手機(jī)與手機(jī)配件產(chǎn)品間就表現(xiàn)為協(xié)作關(guān)系，本文討論0<ε<1的情況即兩病毒間具有部分交叉免疫。參數(shù)δ被稱為恢復(fù)率，在病毒營(yíng)銷中可表示用戶對(duì)品牌的忠誠(chéng)度，在病毒傳播的研究中通常設(shè)δ=1，但是在營(yíng)銷信息的競(jìng)爭(zhēng)傳播中參數(shù)δ將最終影響兩種信息的傳播結(jié)果。

設(shè)網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)總數(shù)為N，若t時(shí)刻易感節(jié)點(diǎn)數(shù)和分別感染兩種病毒的節(jié)點(diǎn)數(shù)分別為S(t)，I1(t)，I2(t)，I1,2(t)，顯然有：S(t)+I1(t)+I2(t)+I1,2(t)=N。根據(jù)以上傳播規(guī)則可建立如下微分方程來(lái)描述：

(1)

(2)

(3)

以上方程為以均勻網(wǎng)絡(luò)作為底層傳播網(wǎng)絡(luò)時(shí)的平均場(chǎng)方程；均勻網(wǎng)絡(luò)的度呈泊松分布，〈k〉為網(wǎng)絡(luò)的平均度。當(dāng)?shù)讓觽鞑ゾW(wǎng)絡(luò)為非均勻網(wǎng)絡(luò)時(shí)則應(yīng)基于易感節(jié)點(diǎn)連接到度為k的感染節(jié)點(diǎn)的概率函數(shù)構(gòu)造傳播方程。

其中,E0被稱為無(wú)病平衡點(diǎn)，即3種感染態(tài)I1、I2和I1,2節(jié)點(diǎn)數(shù)目均為0。E1和E2分別為只感染病毒I1或病毒I2之一的平衡點(diǎn)。

對(duì)于無(wú)病平衡點(diǎn)E0有以下Jacobian矩陣：

該矩陣的特征值為β1〈k〉N-δ1，β2〈k〉N-δ2，-(δ1+δ2)，根據(jù)Routh-Hurwita穩(wěn)定判據(jù)知：特征值均為負(fù)值，即β1/δ1<1/N〈k〉，β2/δ2<1/N〈k〉時(shí)，無(wú)病平衡點(diǎn)E0是穩(wěn)定的，進(jìn)而得到病毒傳播閾值為λc=1/N〈k〉?？梢钥闯鰝鞑ラ撝递^傳統(tǒng)SIS模型的閾值λc=1/〈k〉小得多，這也就意味著極有可能有一種及一種以上的病毒在網(wǎng)絡(luò)中流行。對(duì)應(yīng)于病毒營(yíng)銷中的用戶最終將極有可能選擇具有競(jìng)爭(zhēng)關(guān)系的商品之一。無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)將得到相似的結(jié)論。上述方程還有可能存在一個(gè)I1,I2>0且I1,2>0的非零解，傳播穩(wěn)定時(shí)令式(1)、(2)、(3)左側(cè)等于零并化簡(jiǎn)可得

Nθ1〈k〉β1(1-θ1-(1-ε)i2)=δ1θ1

(4)

Nθ2〈k〉β1(1-θ2-(1-ε)i1)=δ1θ2

(5)

εN〈k〉(β1θ1i2+β2θ2i1)=(δ1+δ2)i12

(6)

其中,i1=I1/N，i2=I2/N，i1,2=I1,2/N，χ1=(I1+I1,2)/N,χ2=(I1+I1,2)/N分別為各類感染節(jié)點(diǎn)在整個(gè)網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)中的占比。進(jìn)一步化簡(jiǎn)得

(7)

其中，σ1=Nβ1/δ1，σ2=Nβ2/δ2，σ值表示兩種病毒實(shí)際傳播能力。式(7)表明最終參與合作的節(jié)點(diǎn)數(shù)目與網(wǎng)絡(luò)平均度分布〈k〉、實(shí)際傳播率有關(guān)。

3 仿真與實(shí)驗(yàn)結(jié)果分析

采用部分交叉免疫模型刻畫兩種營(yíng)銷信息的競(jìng)爭(zhēng)傳播，該模型有以下參數(shù)：感染率β1、β2、抑制強(qiáng)度ε、恢復(fù)率δ1、δ2，為方便討論令β1>β2，由于底層傳播網(wǎng)絡(luò)對(duì)于傳播影響巨大，因此分別使用WS小世界網(wǎng)絡(luò)和BA網(wǎng)絡(luò)作為底層傳播網(wǎng)絡(luò)，網(wǎng)絡(luò)特征見(jiàn)表1。從不同角度對(duì)仿真結(jié)果進(jìn)行分析。

表1 傳播網(wǎng)絡(luò)特征

由表1得，2種網(wǎng)絡(luò)具有相同規(guī)模、平均度和邊數(shù)，但BA網(wǎng)絡(luò)具有更小的網(wǎng)絡(luò)距離表現(xiàn)出明顯的非均勻網(wǎng)絡(luò)特征，它擁有度為80的Hubs節(jié)點(diǎn)，而WS網(wǎng)絡(luò)相較BA網(wǎng)絡(luò)就有較大網(wǎng)絡(luò)距離，并且網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點(diǎn)分布滿足泊松分布，節(jié)點(diǎn)度分布見(jiàn)圖2。

首先合理選擇感染率β1，β2保證兩種病毒單獨(dú)傳播時(shí)能夠在網(wǎng)絡(luò)中擴(kuò)散(根據(jù)病毒傳播理論，均勻網(wǎng)絡(luò)的傳播閾值為λc=1/〈k〉，而無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)為λc=〈k〉/〈k2〉，當(dāng)網(wǎng)絡(luò)規(guī)模無(wú)限大時(shí)，閾值為0，為避免隨機(jī)選取的初始傳播源因傳播能力差異影響結(jié)果，采取以下策略選取兩種病毒的初始傳播源：隨機(jī)選擇一個(gè)節(jié)點(diǎn)使其感染病毒1，隨機(jī)選擇與該節(jié)點(diǎn)度相同的另一節(jié)點(diǎn)使其感染病毒2，這樣，初始時(shí)，兩個(gè)節(jié)點(diǎn)的傳播能力相同，從而能更準(zhǔn)確地觀察感染率和抑制強(qiáng)度參數(shù)對(duì)傳播結(jié)果的影響。

3.1 抑制強(qiáng)度對(duì)競(jìng)爭(zhēng)傳播的影響

當(dāng)β1>β2時(shí)，病毒1具有比病毒2更強(qiáng)傳播率，即病毒1代表在病毒營(yíng)銷中占據(jù)市場(chǎng)優(yōu)勢(shì)的一方，病毒2代表其競(jìng)爭(zhēng)對(duì)手，這里假設(shè)對(duì)手弱于病毒1代表的產(chǎn)品信息傳播，反之情況相似?？紤]抑制強(qiáng)度參數(shù)ε(0<ε<1)取值對(duì)傳播過(guò)程的影響。分別取ε=0，0.6和0.8， 恢復(fù)率δ1=δ2=0.2， 感染率β1=0.3，β2=0.2，得到傳播曲線見(jiàn)圖3，上面的3幅圖分別是WS小世界網(wǎng)絡(luò)的傳播演化曲線，下面3幅則是BA網(wǎng)絡(luò)的傳播演化曲線。圖3的第1列代表ε=0的結(jié)果，第2列和第3列分別給出了ε=0.6和0.8的結(jié)果。

圖2 傳播網(wǎng)絡(luò)的度分布特征

從圖3a的兩圖看到，當(dāng)ε=0時(shí)，即兩種病毒之間為完全交叉免疫，競(jìng)爭(zhēng)雙方完全排斥不存在合作，此時(shí)的傳播支持“贏者通吃”的結(jié)論：感染率較低的病毒2最終在網(wǎng)絡(luò)中消失。而當(dāng)競(jìng)爭(zhēng)雙方不是完全排斥時(shí)，則會(huì)使較弱病毒存活下來(lái)，在圖3b和圖3c中看到：盡管單獨(dú)感染病毒2的節(jié)點(diǎn)最終消失，但是由于合作關(guān)系的存在，網(wǎng)絡(luò)中出現(xiàn)了同時(shí)感染病毒1,2的節(jié)點(diǎn)，這一類型的節(jié)點(diǎn)經(jīng)過(guò)一定時(shí)間的上升后趨于穩(wěn)定，此時(shí)盡管網(wǎng)絡(luò)中沒(méi)有單獨(dú)感染了病毒2的節(jié)點(diǎn)，但是病毒2實(shí)際上能夠借助與病毒1的合作穩(wěn)定存在于網(wǎng)絡(luò)中，抑制強(qiáng)度參數(shù)值越大，病毒2存活概率就越大。

圖3 抑制強(qiáng)度對(duì)競(jìng)爭(zhēng)傳播的影響

進(jìn)一步的，ε的值到底為多大時(shí)能夠觸發(fā)兩病毒間的合作？在該傳播模型中是否存在相變？為回答該問(wèn)題，使ε值從0至1變化(間隔0.01)即兩病毒從完全免疫到完全合作時(shí)，觀察感染節(jié)點(diǎn)數(shù)量的變化情況，從而發(fā)現(xiàn)抑制強(qiáng)度參數(shù)ε對(duì)合作傳播的影響。實(shí)驗(yàn)中WS網(wǎng)絡(luò)和BA網(wǎng)絡(luò)均取恢復(fù)率δ1=δ2=0.2，感染率β1=0.3，β2=0.2，圖4給出了ε值與感染概率間的關(guān)系曲線。

圖3給出了感染病毒1和同時(shí)感染病毒1,2的比例與感染病毒2和同時(shí)感染病毒1,2的節(jié)點(diǎn)比例，結(jié)果顯示無(wú)論WS網(wǎng)絡(luò)還是BA網(wǎng)絡(luò)，當(dāng)ε值很小時(shí)都不能有效觸發(fā)兩病毒間的合作，只有達(dá)到一定閾值時(shí)才使兩病毒間合作傳播，因此傳染過(guò)程有明顯的相變。WS網(wǎng)絡(luò)的閾值為0.05，BA網(wǎng)絡(luò)的閾值為0.04，說(shuō)明BA網(wǎng)絡(luò)更早開(kāi)始了合作。

3.2 恢復(fù)率對(duì)競(jìng)爭(zhēng)傳播的影響

在經(jīng)典SIS模型中，通常認(rèn)為一個(gè)感染節(jié)點(diǎn)恢復(fù)到易感節(jié)點(diǎn)的概率(恢復(fù)率)δ不影響最終傳播結(jié)論僅會(huì)改變病毒傳播的時(shí)間尺度，因此通常取值為1。這一結(jié)論在網(wǎng)絡(luò)中僅有一種病毒存在時(shí)成立，但是，當(dāng)網(wǎng)絡(luò)中存在多種病毒時(shí)該結(jié)論是否也成立？同時(shí)，在營(yíng)銷信息傳播中恢復(fù)率還有特殊意義：它代表用戶對(duì)產(chǎn)品的忠誠(chéng)度，δ值越小表明用戶越喜歡該品牌商品，放棄該類商品轉(zhuǎn)而購(gòu)買同類其它商品的概率就比較低，反之，δ值大將會(huì)使原有用戶以較大概率流失，為觀察δ值對(duì)兩種病毒傳播影響，分別取δ1=δ2，δ1<δ2和δ1>δ2給出圖5的傳播曲線，與3.1節(jié)相同，仍令β1>β2(β1=0.3，β2=0.2)。上面3幅圖分別是WS小世界網(wǎng)絡(luò)的傳播演化曲線，下面3幅則是BA網(wǎng)絡(luò)的傳播演化曲線，圖5的第1列與圖3第2列相同，給出了δ1，δ2相等時(shí)兩病毒的傳播演化曲線，圖5的第2列和第3列分別是δ1<δ2和δ1>δ2兩種情形。

圖4 參數(shù)ε與感染概率的關(guān)系曲線

圖5 恢復(fù)率對(duì)競(jìng)爭(zhēng)傳播的影響

圖5的仿真結(jié)果表明：盡管恢復(fù)率δ在一個(gè)病毒單獨(dú)傳播的情形下對(duì)傳播規(guī)模沒(méi)有影響，但是當(dāng)網(wǎng)絡(luò)中存在相互作用的兩種病毒時(shí)，不同的δ值將使兩種病毒有不同的傳播規(guī)模，圖5b展示了δ1<δ2時(shí)的結(jié)果，從圖中看，相對(duì)與競(jìng)爭(zhēng)對(duì)手較小的δ值增強(qiáng)了病毒1的傳播規(guī)模，傳播規(guī)模擴(kuò)大了使本身傳播能力低的病毒2雪上加霜，傳播規(guī)模減少了50%。圖5c則展示了相反的情形，δ1>δ2時(shí)，傳播能力較弱的病毒2借助較小的δ值(較大的品牌忠誠(chéng)度)有可能超過(guò)病毒1的傳播規(guī)模。

以上實(shí)驗(yàn)結(jié)果顯示：兩病毒的競(jìng)爭(zhēng)傳播不但存在無(wú)病平衡點(diǎn)，在一定條件下也存在地方病平衡點(diǎn)，在圖3、圖5的感染曲線中，隨時(shí)間演化感染兩種病毒的節(jié)點(diǎn)數(shù)目最終都達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)，說(shuō)明兩種病毒的確可以在一定的條件下共存。

3.3 網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)對(duì)競(jìng)爭(zhēng)傳播的影響

表2比較了兩類網(wǎng)絡(luò)在不同參數(shù)下最終傳播規(guī)模(包括感染病毒1、病毒2和同時(shí)感染病毒1和2的節(jié)點(diǎn))，從結(jié)果看：無(wú)論在部分合作還是完全交叉免疫的情況下，病毒在度分布均勻的WS小世界網(wǎng)絡(luò)中總是比在無(wú)標(biāo)度的BA網(wǎng)絡(luò)中傳播范圍更廣，這一結(jié)論也與經(jīng)典傳播理論得到的結(jié)論一致。

表3給出了不同參數(shù)下單獨(dú)感染病毒1的節(jié)點(diǎn)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，無(wú)論在WS網(wǎng)絡(luò)還是BA網(wǎng)絡(luò)模型中，抑制強(qiáng)度ε值越大單獨(dú)感染病毒1的節(jié)點(diǎn)數(shù)越少，說(shuō)明抑制強(qiáng)度值越大傳播能力強(qiáng)的節(jié)點(diǎn)參與合作的比例越高，使得單獨(dú)感染病毒1的節(jié)點(diǎn)數(shù)顯著減少。這一現(xiàn)象在BA網(wǎng)絡(luò)中表現(xiàn)比在WS網(wǎng)絡(luò)中更為顯著，因?yàn)锽A網(wǎng)絡(luò)的節(jié)點(diǎn)度分布具有比WS網(wǎng)絡(luò)更強(qiáng)的異質(zhì)性，一旦Hubs節(jié)點(diǎn)感染病毒1則使病毒1快速蔓延，而這些已經(jīng)感染了病毒1的節(jié)點(diǎn)具有了更多與感染病毒2節(jié)點(diǎn)接觸的概率，也就增大了兩病毒合作的可能。但是抑制強(qiáng)度ε對(duì)單獨(dú)感染較弱病毒節(jié)點(diǎn)數(shù)的影響并不明顯，在恢復(fù)率相等的情況下，無(wú)論ε值大小，單獨(dú)感染病毒2的節(jié)點(diǎn)最終都會(huì)從網(wǎng)絡(luò)中消失，說(shuō)明弱病毒必須借助與傳播能力強(qiáng)的病毒合作才能夠更好地存活(這些節(jié)點(diǎn)同時(shí)感染了兩種病毒)。

表2 WS網(wǎng)絡(luò)與BA網(wǎng)絡(luò)傳播規(guī)模的比較

表3 強(qiáng)病毒參與合作情況的比較

4 總結(jié)與展望

信息的競(jìng)爭(zhēng)傳播不同于生態(tài)學(xué)的完全排斥，也不同于生物病毒競(jìng)爭(zhēng)傳播的完全交叉免疫，人們對(duì)信息的主觀接受程度有時(shí)并非完全接受或完全排斥，典型的信息競(jìng)爭(zhēng)傳播——病毒營(yíng)銷信息的傳播具有部分交叉免疫特征：當(dāng)人們購(gòu)買了某種商品后，對(duì)于同類商品的購(gòu)買欲、關(guān)注度可能會(huì)下降，但并不代表她不會(huì)再購(gòu)買或關(guān)注其他品牌的同類商品。觀點(diǎn)形成也具有同樣的特點(diǎn)，人們總是說(shuō)對(duì)問(wèn)題的看法要“一分為二”、“辯證地看到問(wèn)題”說(shuō)明對(duì)兩種相反的觀點(diǎn)，人們并不會(huì)完全接受一種而排斥令一種。以上這些社會(huì)現(xiàn)象說(shuō)明在信息傳播中存在競(jìng)爭(zhēng)，同時(shí)也存在一定的合作。對(duì)信息傳播的研究應(yīng)建立符合實(shí)際的傳播模型，論文從商品信息傳播中的競(jìng)爭(zhēng)現(xiàn)象入手，運(yùn)用經(jīng)典SIS模型建立了一個(gè)帶有部分交叉免疫的傳播模型，該模型揭示了兩種存在競(jìng)爭(zhēng)關(guān)系的信息在不同網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)下的傳播特征，模型引入?yún)?shù)“抑制強(qiáng)度”和“恢復(fù)率”，“抑制強(qiáng)度”ε刻畫了兩種商品信息的競(jìng)爭(zhēng)程度，ε值越小，兩病毒合作概率越小?！盎謴?fù)率”δ則用于刻畫個(gè)體從一種信息感染中恢復(fù)的概率，能夠反映用戶對(duì)某商品的忠誠(chéng)度。在不同網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)下對(duì)傳播模型進(jìn)行地方病平衡點(diǎn)仿真研究，得到結(jié)論：1)“抑制強(qiáng)度”ε=0時(shí)，兩病毒間不存在合作關(guān)系，支持“贏者通吃”的經(jīng)典生態(tài)學(xué)結(jié)論；當(dāng)“抑制強(qiáng)度”ε≠0時(shí)，兩種信息間存在一定程度的合作，ε值越大較弱病毒存活的規(guī)模越大。2)在“恢復(fù)率”相等(δ1=δ2)的情況下，無(wú)論ε值大小，單獨(dú)感染病毒2的節(jié)點(diǎn)最終都會(huì)從網(wǎng)絡(luò)中消失，說(shuō)明弱病毒必須借助與傳播能力強(qiáng)的病毒合作才能夠更好地存活。3)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)對(duì)競(jìng)爭(zhēng)傳播的影響：度分布越異質(zhì)越有利于合作，較強(qiáng)病毒在BA網(wǎng)絡(luò)中參與合作的規(guī)模大于WS網(wǎng)絡(luò)，這使得弱病毒能夠以較大規(guī)模存活。

本文借助經(jīng)典病毒傳播理論建立了合理的傳播模型來(lái)研究信息傳播中的競(jìng)爭(zhēng)現(xiàn)象，得到了一些有趣的結(jié)論，模型很好地再現(xiàn)了信息競(jìng)爭(zhēng)傳播在客觀世界中的特征，因此，該模型能為人們較好地理解信息傳播中的競(jìng)爭(zhēng)機(jī)理，使在具有競(jìng)爭(zhēng)情形下的病毒營(yíng)銷信息傳播策略制定提供理論指導(dǎo)。本文未對(duì)抑制強(qiáng)度ε導(dǎo)致的傳播相變閾值進(jìn)行分析，部分交叉免疫模型下網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)對(duì)競(jìng)爭(zhēng)傳播的影響研究還不夠深入，未對(duì)網(wǎng)絡(luò)異質(zhì)程度與競(jìng)爭(zhēng)傳播中兩種病毒間的影響量化，而現(xiàn)實(shí)世界的網(wǎng)絡(luò)具有明顯的無(wú)標(biāo)度特征，討論不同異質(zhì)程度的無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)對(duì)競(jìng)爭(zhēng)傳播的影響將是我們深入研究的重點(diǎn)。

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(責(zé)任編輯 耿金花)

Competitive Diffusion of Two Viral Marketing Information Based on Partial-Cross Immunity Model

SU Xiaoping1, SONG Yurong2

(1.School of Computer & Software Engineering, Nanjing Institute of Industry Technology, NanJing 210046, China;2.College of Automation, Nanjing University of Posts and Telecommunications, Nanjing 210003, China)

In order to more truly reflect the competition and cooperation behavior in viral marketing, based on the classic propagation model SIS, a propagation model with partial cross-immunity is proposed. The model describes the propagation of two viruses which enjoy both cooperative and competitive relationship and have different propagation probability. Further, we in depth study two kinds of viral marketing information propagation characteristics with different network structure. Simulation results show that there is a phase transition: If the competition is harsh, then we can get the same results as classic ecology studies i.e. ‘winner takes all’; otherwise, the weaker information will survive. And the higher the probability of cooperation is the greater scale the weaker virus survives in. Simulation results also show that the weaker virus can survive only when it cooperates with the stronger one. Heterogeneous distribution of degree is conducive to cooperation.

complex networks; competitive diffusion; viral marketing; partial-cross immunity

1672-3813(2015)04-0071-08;

10.13306/j.1672-3813.2015.04.010

2013-12-09；

2014-10-11

國(guó)家自然科學(xué)基金(61373136,61103051)；教育部人文社會(huì)科學(xué)研究項(xiàng)目(12YJAZH120)；南京工業(yè)職業(yè)技術(shù)學(xué)院重大項(xiàng)目(YK13-02-03)

蘇曉萍(1971-)，女，山東黃縣人，碩士，副教授，主要研究方向?yàn)閺?fù)雜網(wǎng)絡(luò)上動(dòng)態(tài)信息傳播、知識(shí)發(fā)現(xiàn)。

N93;N94

A