采用藤Copula構(gòu)建風(fēng)電場(chǎng)風(fēng)速相依模型

徐玉琴，王莉莉，張龍

（華北電力大學(xué)電氣與電子工程學(xué)院，保定071003）

采用藤Copula構(gòu)建風(fēng)電場(chǎng)風(fēng)速相依模型

徐玉琴，王莉莉，張龍

（華北電力大學(xué)電氣與電子工程學(xué)院，保定071003）

提出了采用基于Pair-Copula分解的藤Copula理論建立多元風(fēng)速相依模型的方法。該方法首先考慮了風(fēng)速分布的隨機(jī)性，并計(jì)及風(fēng)電場(chǎng)內(nèi)部風(fēng)機(jī)群風(fēng)速間的相關(guān)性，采用Canonical藤描述Pair-Copula分解的邏輯結(jié)構(gòu)，通過(guò)求解Canonical藤結(jié)構(gòu)中的Pair-Copula概率密度函數(shù)PDF（probabilitydensity function），得到高維聯(lián)合分布下的Pair-Copula多元風(fēng)速相依模型；再對(duì)某實(shí)際風(fēng)電場(chǎng)進(jìn)行實(shí)證分析，得到了風(fēng)電場(chǎng)內(nèi)部6個(gè)風(fēng)機(jī)群間風(fēng)速的Pair-Copula聯(lián)合概率密度函數(shù)JPDF（joint probability density function）；最后在風(fēng)電場(chǎng)風(fēng)速相關(guān)結(jié)構(gòu)的問(wèn)題上進(jìn)一步研究分析，為下一步建立混合Copula函數(shù)模型提供思路。

Pair-Copula；藤Copula；相關(guān)結(jié)構(gòu)；Kendall秩相關(guān)系數(shù)

大規(guī)模風(fēng)電場(chǎng)接入電網(wǎng)后，給本已存在著負(fù)荷波動(dòng)、元件故障等不確定因素的電力系統(tǒng)帶來(lái)更多挑戰(zhàn)[1-2]。如何進(jìn)行精確的風(fēng)電功率預(yù)測(cè)成為制約風(fēng)電發(fā)展的瓶頸之一。

文獻(xiàn)[3-4]將Copula函數(shù)應(yīng)用到風(fēng)電不確定性分析中，采用Copula函數(shù)模擬單個(gè)風(fēng)電場(chǎng)出力；文獻(xiàn)[5]應(yīng)用Copula理論對(duì)江蘇某4個(gè)風(fēng)電場(chǎng)出力分布之間的相依結(jié)構(gòu)進(jìn)行擬合，驗(yàn)證了相依概率性序列運(yùn)算在風(fēng)電場(chǎng)建模與計(jì)算上的有效性；文獻(xiàn)[6]采用可以描述不對(duì)稱尾部特性的Gumbel-Copula函數(shù)構(gòu)建多風(fēng)電場(chǎng)出力的聯(lián)合概率分布。針對(duì)我國(guó)風(fēng)電場(chǎng)的實(shí)際建網(wǎng)情況，單純地采用多元高斯Copula、多元t-Copula以及多元阿基米德Copula函數(shù)建立多風(fēng)電場(chǎng)聚合模型時(shí)，這些函數(shù)刻畫(huà)的多變量聯(lián)合分布其精確性將存在局限性。由于不同規(guī)模、不同地域、不同氣候風(fēng)速模型的尾部特性存在一定差異，雖然n維Copula函數(shù)能夠描述變量間的相依結(jié)構(gòu)，但忽略了維數(shù)的影響以及兩兩組合間的尾部相關(guān)性差異。對(duì)多元聯(lián)合密度函數(shù)進(jìn)行Pair-Copula分解可以解決這個(gè)問(wèn)題。相比傳統(tǒng)多元橢圓類Copula和阿基米德類Copula模型，Pair-Copula分解模型對(duì)相關(guān)結(jié)構(gòu)的刻畫(huà)更加靈活。

本文提出一種基于Pair-Copula理論的風(fēng)場(chǎng)風(fēng)速建模方法，采用Canonical藤結(jié)構(gòu)作為工具刻畫(huà)風(fēng)場(chǎng)內(nèi)部6個(gè)風(fēng)機(jī)群間風(fēng)速的聯(lián)合分布特性，進(jìn)一步研究分析了風(fēng)電場(chǎng)風(fēng)速相關(guān)結(jié)構(gòu)。

1 Pair-Copula理論

Aas等[7]對(duì)Pair-Copula理論做了詳細(xì)介紹，其主要結(jié)論為多元變量聯(lián)合密度函數(shù)按照某種結(jié)構(gòu)可以分解為一系列Pair-Copula密度函數(shù)和邊緣分布函數(shù)的乘積?？紤]n維隨機(jī)變量X=（x1，x2，…，xn），其多變量聯(lián)合密度函數(shù)按條件密度函數(shù)理論可以寫(xiě)為

式中c[F1（x1），F(xiàn)2（x2），…，F(xiàn)n（xn）]為Copula密度函數(shù)。在二元情況下

由此可得

由此推導(dǎo)出任何一個(gè)條件密度函數(shù)為

式中：vj為n維向量v中的一個(gè)分量；v-j為向量v中的除去vj后n-1維分量。

對(duì)于高維聯(lián)合分布，Pair-Copula分解存在許多種邏輯結(jié)構(gòu)。Bedford等[8]引入了稱為藤的圖形來(lái)描述這種邏輯結(jié)構(gòu)，其中2類最簡(jiǎn)單的藤包括Canonical藤和D藤，2種藤不同的邏輯結(jié)構(gòu)適用于不同類型的數(shù)據(jù)集合。當(dāng)數(shù)據(jù)集中出現(xiàn)引導(dǎo)其他變量的關(guān)鍵變量時(shí)，適合用Canonical藤；而當(dāng)數(shù)據(jù)集中的變量間相對(duì)獨(dú)立時(shí)，適合用D藤來(lái)描述，結(jié)合風(fēng)電場(chǎng)內(nèi)6個(gè)風(fēng)機(jī)群分布地理位置的相關(guān)性分析，本文采用Canonical藤結(jié)構(gòu)對(duì)風(fēng)速進(jìn)行研究分析，如圖1所示。

圖1中的藤結(jié)構(gòu)有5棵樹(shù)Ti，i=1，2，3，4，5，每棵樹(shù)上的結(jié)點(diǎn)數(shù)為5-i，邊的數(shù)目為6-i，每條邊都對(duì)應(yīng)一個(gè)Pair-Copula密度函數(shù)。對(duì)于Canonical藤，有

式中：（fx1，x2，…，xn）為聯(lián)合密度函數(shù)；（fxk）為邊緣密度函數(shù)。為Pair-Copula密度函數(shù)，包含一對(duì)條件分布函數(shù)F（xi|xi+1，…，xi+j-1）和F（xi+j|xi+1，…，xi+j-1），可表示為

式中，Cxvj|v-j為二元Copula分布函數(shù)。特別地，當(dāng)v-j為單變量時(shí)有

當(dāng)x、v服從[0，1]上均勻分布時(shí)，有

式中，θ為Cxv（·）中的參數(shù)，表征2個(gè)隨機(jī)變量x與v的相關(guān)系數(shù)。

2 建立高維聯(lián)合分布下的Pair-Copula風(fēng)速相依模型

2.1 數(shù)據(jù)預(yù)處理

2.1.1 風(fēng)速概率模型選取

大量的統(tǒng)計(jì)結(jié)果表明，絕大部分地區(qū)的風(fēng)速是隨機(jī)變化的，且近似服從威布爾（Weibull）分布規(guī)律，可采用雙參數(shù)Weibull分布來(lái)擬合實(shí)際風(fēng)速概率分布模型[9-11]。雙參數(shù)Weibull分布的概率密度函數(shù)為

式中：vw為風(fēng)速；cw和kw分別為尺度參數(shù)和形狀參數(shù)。采用非參數(shù)核密度估計(jì)法[12]，根據(jù)6個(gè)風(fēng)機(jī)群的歷史風(fēng)速數(shù)據(jù)，獲取6維風(fēng)速序列的概率分布，作為邊緣分布，可知該分布服從[0，1]上的均勻分布。

2.1.2 Kendall秩相關(guān)

設(shè)（X1，Y1）和（X2，Y2）是相互獨(dú)立并且與（X，Y）具有相同分布的二維隨機(jī)向量，用P[（X1，Y1），（X2，Y2）〉0]表示它們的和諧概率，用P[（X1，Y1），（X2，Y2）〈0]表示它們的不和諧概率，這兩個(gè)概率的差稱為X與Y的Kendall秩相關(guān)系數(shù)τ，

從Kendall秩相關(guān)系數(shù)的定義不難看出，若對(duì)隨機(jī)變量（X，Y）進(jìn)行單調(diào)性相同的嚴(yán)格單調(diào)變換，X與Y的Kendall秩相關(guān)系數(shù)τ保持不變[13]。由于Kendall秩相關(guān)系數(shù)在Copula理論中要優(yōu)于Pearson線性相關(guān)系數(shù)[14]，因此本文采用Kendall秩相關(guān)系數(shù)來(lái)度量風(fēng)速相關(guān)性。

2.2 Pair-Copula模型確定

Pair-Copula模型的具體求解步驟如下。

步驟1首先依據(jù)歷史數(shù)據(jù)樣本估計(jì)6個(gè)風(fēng)機(jī)群間風(fēng)速的Kendall秩相關(guān)系數(shù)矩陣，確定樹(shù)T1的主變量和次變量；然后做主變量與次變量間的聯(lián)合分布統(tǒng)計(jì)直方圖，確定樹(shù)T1的最優(yōu)Copula函數(shù)。

步驟2利用式（8）計(jì)算T1的邊緣，確定T2的結(jié)構(gòu)。在步驟1的基礎(chǔ)上生成以主變量為條件分布的隨機(jī)數(shù)列，并計(jì)算Kendall秩相關(guān)系數(shù)，確定T2的主變量與次變量；做主變量與次變量間的聯(lián)合分布統(tǒng)計(jì)直方圖，確定T2的最優(yōu)Copula函數(shù)。

步驟3重復(fù)步驟2，依次求解樹(shù)T3、T4和T5的結(jié)構(gòu)，得到6維風(fēng)速序列密度函數(shù)的Pair-Copula分解結(jié)果。

3 實(shí)證分析

以2011年1—12每月第15日的風(fēng)速記錄作為樣本，采用上面介紹的方法研究某實(shí)際風(fēng)電場(chǎng)內(nèi)6個(gè)風(fēng)機(jī)群風(fēng)速間的相依結(jié)構(gòu)。

3.1 樹(shù)T1的結(jié)構(gòu)

計(jì)算流程如圖2所示。首先采用非參數(shù)核密度估計(jì)法，將6維歷史風(fēng)速序列V=（v1，v2，…，v6）的核分布估計(jì)序列U=（U1，U2，U3，U4，U5，U6）作為各風(fēng)機(jī)群風(fēng)速的邊緣分布；其次，結(jié)合Kendall秩相關(guān)系數(shù)矩陣確定主變量和次變量；最后通過(guò)直方圖擬合選擇最優(yōu)Copula函數(shù)。

依據(jù)歷史數(shù)據(jù)求得6個(gè)風(fēng)機(jī)群間風(fēng)速序列的Kendall秩相關(guān)系數(shù)矩陣為

由式（1）可以看出，第2列元素?cái)?shù)值最大，因而在樹(shù)T1中主變量為機(jī)群2，次變量為機(jī)群1、3、4、5和6。

圖2 計(jì)算流程Fig.2Flow chart calculation

機(jī)群2與其他機(jī)群間風(fēng)速的聯(lián)合分布統(tǒng)計(jì)直方圖如圖3所示。

由圖3可見(jiàn)，圖3（a）、（b）和（d）具有幾乎對(duì)稱的尾部特性；圖3（c）和（e）具有不對(duì)稱的尾部特性，而且上尾部特性較強(qiáng)，結(jié)合二元Copula函數(shù)的特性，本文采用t-Copula和Gumbel-Copula函數(shù)分別描述這兩種不同的尾部特性。

對(duì)于藤Copula模型，通常采用極大似然法估計(jì)模型參數(shù)，Canonical藤模型中T1的似然函數(shù)為

式中，θ為c（·）中的參數(shù)。當(dāng)c（·）為t-Copula密度函數(shù)時(shí)，包括ρ和υ兩個(gè)參數(shù)，l為相關(guān)系數(shù)，υ為自由度；當(dāng)c（·）為Gumbel-Copula密度函數(shù)時(shí)，θ指參數(shù)α。

圖3 機(jī)群2與其他機(jī)群間風(fēng)速的聯(lián)合分布統(tǒng)計(jì)直方圖Fig.3Joint distribution histograms of wind speed series between the 1st and the rest wind turbine groups

3.2 分析結(jié)果

在樹(shù)T1確定的情況下，確定樹(shù)T2的結(jié)構(gòu)，方法如第2.2節(jié)所述。通過(guò)式（12）計(jì)算得到T1中Copula函數(shù)的相關(guān)參數(shù)，結(jié)合式（8）得到6組新的條件分布序列作為風(fēng)速樣本，選擇機(jī)群4作為樹(shù)T2的主變量，得機(jī)群4與機(jī)群1、機(jī)群3、機(jī)群5和機(jī)群6間風(fēng)速的聯(lián)合分布統(tǒng)計(jì)直方圖，選擇最優(yōu)Copula函數(shù)描述其特性。重復(fù)上述步驟，依次求解樹(shù)T3、T4和T5的結(jié)構(gòu)。匯總計(jì)算結(jié)果：采用極大似然估計(jì)法得到藤Copula模型的參數(shù)如表1所示；6個(gè)風(fēng)機(jī)群間風(fēng)速變量的聯(lián)合密度函數(shù)的Pair-Copula分解結(jié)果為

式中：ct（·，·）為t-Copula密度函數(shù)；cg（·）為Gumbel-Copula密度函數(shù)。

表1 藤Copula模型的參數(shù)估計(jì)結(jié)果Tab.1Parameter estimation results of vine-Copula model

5 結(jié)語(yǔ)

本文在總結(jié)前人經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上，引入了一種Pair-Copula的新方法，構(gòu)建髙維風(fēng)速序列之間的相依結(jié)構(gòu)。這種方法引入“藤”的概念，把復(fù)雜的髙維相關(guān)結(jié)構(gòu)逐步分解成二維隨機(jī)變量的關(guān)系，使得問(wèn)題得到很大的簡(jiǎn)化。

藤Copula結(jié)構(gòu)作為一種非常靈活的刻畫(huà)多變量相關(guān)結(jié)構(gòu)的工具，突破了傳統(tǒng)的刻畫(huà)多元變量聯(lián)合分布方法的局限性，通過(guò)對(duì)云南電網(wǎng)某實(shí)際風(fēng)電場(chǎng)內(nèi)部風(fēng)機(jī)群風(fēng)速分布的Pair-Copula分解可以看出，單獨(dú)地采用一種Copula函數(shù)不能實(shí)時(shí)精確地刻畫(huà)風(fēng)電場(chǎng)風(fēng)速模型。同時(shí)，藤Copula理論為研究多風(fēng)電場(chǎng)聚合模型的問(wèn)題提供了一個(gè)嶄新的思路，對(duì)電力系統(tǒng)中多風(fēng)電場(chǎng)聚合模型的建立具有一定指導(dǎo)意義，如基于Pair-Copula分解的多元混合Copula函數(shù)模型。

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Modeling Multiple Wind Speed Dependency Structure by Vine-Copula in Wind Farm

XU Yuqin，WANG Lili，ZHANG Long
（School of Electrical and Electronic Engineering，North China Electric Power University，Baoding 071003，China）

Based on the theory of the decomposition of Pair-Copula，vine-Copula is introduced to depict the multiple wind speed dependency structures in this paper．This method takes the correlation among the internal groups wind speed sequences in a wind farm into account besides the randomness of the wind speed distributions．the logical structure of Pair-Copula is dscribed by choosing Canonical Vine.By solving the PDF of Pair-Copula in the Canonical Vine structure，a multiple wind speed dependency model is constructed．A study wind farm is given to perform the empirical analysis，achieving joint probability density function（JPDF）between the six wind turbine groups inthe Canonical Vine structure．Finally，a further research on the problem of the multiple wind speed dependency structures is built up，which can provide novel ideas for modeling the dependency structures with mixed Copula function as well．

Pair-Copula；vine-Copula；dependency structure；Kendall rank correlation coefficient

TM614

A

1003-8930（2015）05-0062-05

10.3969/j.issn.1003-8930.2015.05.12

徐玉琴（1964—），女，碩士，教授，研究方向?yàn)殡娏ο到y(tǒng)分析、運(yùn)行控制，分布式發(fā)電與配電網(wǎng)，電力系統(tǒng)繼電保護(hù)等。Email：xuyuqin_ncepu@126.com

2013-08-09；

2013-10-03

王莉莉（1988—），女，碩士研究生，研究方向?yàn)殡娏ο到y(tǒng)分析計(jì)算、運(yùn)行控制。Email：wang_lily2@163.com

張龍（1989—），男，碩士研究生，研究方向?yàn)殡娏ο到y(tǒng)分析、運(yùn)行控制。Email：zhanglong4ever@163.com