等周約束條件下泛函的無條件極值曲線求法證明

朱建華,孟新柱

(山東科技大學(xué) 數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院,山東 青島 266590)

等周約束條件下泛函的無條件極值曲線求法證明

朱建華,孟新柱

(山東科技大學(xué) 數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院,山東 青島 266590)

利用函數(shù)的連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),積分分部求解,函數(shù)極值的性質(zhì),在結(jié)合常微分方程中隱函數(shù)定理性質(zhì),以及高階常微分方程求解知識,證明了在等周問題約束條件下將條件極值轉(zhuǎn)為無條件極值的類Euler方程．

Euler方程； 極值性質(zhì)； 隱函數(shù)定理； 積分變換

0 引言

在許多實(shí)際問題中,求泛函

(1)

的極值時,除了要求容許曲線類為通過兩點(diǎn)的光滑曲線之外,還要求曲線滿足另外一些約束條件,也就是泛函(1)中的條件極值．

等周問題就是指:給出一個目標(biāo)泛函(M,L),一個約束泛函(M,N)以及一個給定的常數(shù)c,我們要求在條件N(u)=c約束下,求解泛函I達(dá)到極小值的必要條件和充分條件．

1 等周問題的提法

在條件

(2)

下,求一光滑曲線y=y(x).使泛函

取得極值．其中F,G對于變元x,y,y′都有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),l為曲線定長．

下面這個定理的核心思想就是泛函(1)在條件(2)下的極值曲線,就是相當(dāng)于把泛函(1)中的函數(shù)F(x,y,y′)換成F(x,y,y′)+tG(x,y,y′),然后求此泛函的無條件極值曲線．

證明

(3)

對式(2)移項(xiàng)可以得

(4)

假設(shè)y=y0(x)+αθ(x)+βτ(x)是泛函(1)在滿足條件(2)下可行函數(shù)類．構(gòu)造下列方程

(5)

令方程

T(α,β)=0

(6)

下面證明(6)滿足隱函數(shù)存在定理:

(i)式(6)中G(x,y,y′)滿足G(x,y,y′)對于x,y,y′而言是連續(xù)可微的函數(shù),且T(α,β)對于β存在連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)．

(7)

對(7)進(jìn)行分部積分,因?yàn)?/p>

τ(u0)=τ(u1)=0.

所以有

令

(8)

因?yàn)槭?1)在y=y0處取極值,φ(α)在α=0處取極值．

故φ′(0)=0，而

令α=0有

(9)

由隱函數(shù)可微性定理有

所以

(10)

將式(10)代入式(9),得到

(11)

令

所以式(11)可以簡化為

對式(11)進(jìn)行移項(xiàng)得

對式(11)分部積分得

其中θ(x)是[u0,u1]上的任意二階連續(xù)可微函數(shù)且有θ(u0)=θ(u1)=0則由引理2得

定理得證．

2 應(yīng)用

解得t=0.舍去(因?yàn)樵谶@個條件下約束方程沒有意義).

3 結(jié)束語

本文的主要利用本科階段的基礎(chǔ)知識證明在等周約束條件下將條件約轉(zhuǎn)為無條件約束的類Euler方程,并且給出一道例題說明在此類約束條件下泛函方程轉(zhuǎn)為無條件約束方程求極值曲線問題的有效性．

[1]繆淑賢.含多個函數(shù)的泛函的等周問題的變分方法[J].沈陽建筑工程學(xué)院學(xué)報,1999 15(4):404-209.

[2]老大中.變分法基礎(chǔ)[M].北京:國防工業(yè)出版社,2004:194-197.

[3]張恭慶.變分學(xué)講義[M].北京:高等教育出版社,2011:91-96.

[責(zé)任編輯：李春紅]

IsoperimetricFunctionalConstraintConditionsoftheUnconditionalExtremeValueCurveMethodtoProve

ZHU Jan-hua,MENG Xin-zhu

(College of Mathematics and Systems Science,Shandong University of Science and Technology,Qingdao Shandong 266590,China)

In this paper,we use some basic mathematics knowledge that we learn in the university including of continuous partial derivative function,integral division,the nature of the function extreme value,in combination with ordinary differential equations in the nature of the implicit function theorem,and knowledge of higher order ordinary differential equation,proves that the constraint conditions in isoperimetric problem of Euler equations of conditional extreme value into the unconditional extreme value.

euler equation; extremal property; implicit function theorem; integral transform

2015-04-13

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(N11371230); 山東省自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目 (ZR2012AM012)

孟新柱(1972-),男,山東菏澤人,教授,博士,主要從事脈沖微分方程、泛函微分方程等研究. E-mail:15764226503@163.com

0176.2

:A

:1671-6876(2015)03-0189-04