二維激光切割機(jī)的動態(tài)分形球面雕刻工藝*

李 斌，黃頻波，徐如濤，鐘希歡

(1.成都航空職業(yè)技術(shù)學(xué)院 航空維修系，四川 成都 610100；2.貴陽萬江航空機(jī)電有限公司，貴州 貴陽 550018)

二維激光切割機(jī)的動態(tài)分形球面雕刻工藝*

李 斌1，黃頻波1，徐如濤1，鐘希歡2

(1.成都航空職業(yè)技術(shù)學(xué)院 航空維修系，四川 成都 610100；2.貴陽萬江航空機(jī)電有限公司，貴州 貴陽 550018)

采用分形圖形方法研究二維激光切割機(jī)的球面雕刻工藝，幾何推導(dǎo)了球面等高量化后的分形尺寸，數(shù)值重建了等高量化后的三維臺階球面輪廓仿真圖，在分形理論基礎(chǔ)上，提出動態(tài)分形方法以降低量化階數(shù)過大所產(chǎn)生的不利影響。結(jié)果表明，二維激光切割機(jī)用該方法進(jìn)行3D球面雕刻具有一定的可行性。

二維激光切割機(jī)；動態(tài)分形；球面雕刻；量化階數(shù)

激光加工技術(shù)是將高能量的激光束通過聚焦光學(xué)系統(tǒng)，使激光焦點(diǎn)照射到材料表面，利用激光產(chǎn)生的熱效應(yīng)實(shí)現(xiàn)對工件熱加工的技術(shù)方法。由于其具有加工對象廣泛、加工精度高、加工速度快和工效高等特點(diǎn)，自問世以來受到國內(nèi)外學(xué)者的關(guān)注，并在工業(yè)精密加工領(lǐng)域不斷深入發(fā)展[1-6]。激光加工3D曲面需要將激光器與先進(jìn)的光學(xué)系統(tǒng)及自動化機(jī)構(gòu)相結(jié)合來實(shí)現(xiàn)；其自動化機(jī)構(gòu)要求具有多自由度多軸配置以及Z軸的高推進(jìn)行程以滿足工件的縱向加工深度以及加工寬度。球面加工是3D曲面加工中最平常的，而這種曲面往往也是需要購置多軸激光精密機(jī)床進(jìn)行加工，這使得制造成本代價(jià)昂貴。因此，本文選擇低成本的二維激光切割機(jī)，借鑒二元光學(xué)器件制作中的分形數(shù)字掩膜理論[7-11]，將三維高頻曲面圖形進(jìn)行N階量化得到一系列圖形輸入序列，在低自由度下模擬球面雕刻。此外，考慮到N階分形會使得量化能級一旦確定，則要求Z軸推進(jìn)以消除離焦錐形效應(yīng)帶來的激光切割深度不足以及加工寬度精度低等問題。本文在分形理論基礎(chǔ)上，提出動態(tài)分形雕刻方法，即采用n(n

1 理論分析

根據(jù)數(shù)字掩膜理論，三維曲面的形成是由激光的激光能量分布所決定，其表達(dá)式為：

E(x,y)=I(x,y)t(x,y)

(1)

式中，E(x，y)是3D曲面所需的激光能量；I(x，y)和t(x，y)分別是激光強(qiáng)度和停留時(shí)間；x和y是空間坐標(biāo)。

對于普通激光切割機(jī)或者雕刻機(jī)，一旦確定激光能級，即I(x,y)=I是定值，則3D曲面完全取決于停留時(shí)間在空間坐標(biāo)的復(fù)雜分布。這種時(shí)間分布在本質(zhì)上就是需要多自由度的自動化機(jī)構(gòu)來實(shí)現(xiàn)，但恰恰普通激光切割機(jī)不具備高性能的自動化機(jī)構(gòu)，因此激光切割機(jī)一般只能根據(jù)圖形輸入實(shí)現(xiàn)平面雕刻而無法實(shí)現(xiàn)三維曲面一次成型。然而，分形數(shù)字掩膜技術(shù)指出高頻曲面圖形可以進(jìn)行N階量化后得到N幅低頻分形圖形，其總的激光能量分布表達(dá)式為停留時(shí)間與相應(yīng)低頻分形圖形光強(qiáng)分布之積的和，即：

(2)

式中，Ii(x,y)是低頻數(shù)字圖形的光強(qiáng)分布；ti(x,y)是對應(yīng)低頻數(shù)字圖形的停留時(shí)間。

事實(shí)上，由于N無法趨近無窮，在加工中必然存在量化誤差。對于球面一般有等距量化和等高量化。量化球冠幾何關(guān)系如圖1所示，對于等距量化，它要求有不同的臺階高度，這意味著N幅圖形輸入有不一樣的激光能級以及長時(shí)間的測試取值，而且得到的臺階式球面誤差較大。若激光光強(qiáng)I(x,y)恒定，則式2可變成：

(3)

式中，I是確定的量化光強(qiáng)。

假定I在恒定運(yùn)行速度Δt條件下剛好對應(yīng)單位加工深度Δh，則對于等高量化有：

(4)

得到等高量化后在水平方向上每一個(gè)環(huán)帶半徑ri，即為第i幅低頻圓形圖形尺寸為：

(5)

圖1 N階量化球面示意圖

由于分形加工通常只有1個(gè)量化能級仍需要Z軸長程推進(jìn)，否則因加工深度的局限而僅能制作小尺寸球面零件，同時(shí)考慮到激光的離焦后錐形效應(yīng)對線寬精度影響，因此環(huán)帶半徑需根據(jù)實(shí)際測試適當(dāng)補(bǔ)償。此外，球面圖形用N幅輸入圖形，可能在實(shí)際加工過程中會出現(xiàn)圓心不能很好重合，即存在定標(biāo)誤差累積影響球面加工外觀；因此，采用動態(tài)分形方法提出n=log2N幅分形圖形來加工球面。總的激光能量為：

(6)

球面分形圖形中各環(huán)帶激光能量分布見表1。

表1 球面分形圖形中各環(huán)帶激光能量分布

根據(jù)等高量化有N-1階臺分形階，可以得到

(7)

式中，IΔt是單位激光量，對應(yīng)的是1個(gè)單位臺階高度Δh。

由N=2n則上式變形可以寫成：

(8)

從式8可知，選擇n=log2N，代表著N幅分形圖形可由n幅二進(jìn)制分形圖形所描述。同時(shí)，通過式8可以歸納出各幅動態(tài)分形圖形激光切割時(shí)間的規(guī)律為tn=2n-1，這表示在恒定運(yùn)動速度Δt條件下，需設(shè)置n幅分形圖形中的能級強(qiáng)度以保證各幅圖形的加工深度等于2i-1Δh(i=1、2、…、n)。

2 數(shù)值模擬分析

模擬參數(shù)設(shè)置為：球面結(jié)構(gòu)高度H=16 mm，底面半徑R2=32 mm，曲率半徑R1=48 mm。若球面結(jié)構(gòu)采用等高量化且量化階數(shù)為N=16，則可以得到單位量化臺階高度△h=1 mm。使用MATLAB軟件，根據(jù)計(jì)算得到的16環(huán)帶直徑和臺階高度數(shù)據(jù)重建出量化后臺階球面輪廓，如圖2所示。根據(jù)量化分形理論，可以知道量化階數(shù)越大，越能逼近真實(shí)的球面輪廓。16個(gè)同心圓如圖3所示，臺階球面結(jié)構(gòu)剖面如圖4所示。

圖3 16個(gè)同心圓

圖4 臺階球面結(jié)構(gòu)剖面

由圖3和圖4可知，對于等高量化，N取越大，各環(huán)帶的間距會隨著直徑的增大急劇地變小。這就表示在實(shí)際加工過程中，不能一味地增大量化階數(shù)N而不考慮激光切割機(jī)的極限線寬。因此，量化階數(shù)N存在一個(gè)由極限線寬所決定的上限。雖然從理論上講，數(shù)字分形技術(shù)利用N幅分形輸入圖形可以實(shí)現(xiàn)3D球面成型,但實(shí)際加工的高輪廓精度使得量化階數(shù)N仍然會比較大，這可能導(dǎo)致出現(xiàn)一些問題。量化階數(shù)N大，意味著臺階深度Δh小，則Z軸步進(jìn)小且難以控制，若激光停留時(shí)間恒定，則需要將切割機(jī)能級強(qiáng)度設(shè)定在一個(gè)很低水平范圍內(nèi)。此外，階數(shù)N大，說明需要輸入很多幅分形圖形，一方面非常耗時(shí)效率低，而另一方面各分形輸入圖形存在非相干性誤差，比如環(huán)帶的中心可能不重合，這樣的累積誤差會對球面加工精度造成很大的影響。故采用動態(tài)分形方法降低分形圖形數(shù)目。

如圖5和圖6所示，原先需要輸入16幅分形圖，采用動態(tài)分形只用4幅輸入圖形就可以疊加加工球面結(jié)構(gòu)；但每一幅輸入圖形需要激光停留的時(shí)間是不一樣的。4幅圖形的停留時(shí)間依次是前一幅圖形的2倍。第1幅圖形的停留時(shí)間可以稱為單位停留時(shí)間，這是因?yàn)樗鼊偤眉庸?個(gè)單位臺階深度。換而言之，假定激光切割機(jī)的運(yùn)行速度恒定，這樣每一幅動態(tài)分形圖形都需要根據(jù)實(shí)際材料設(shè)置不同能級強(qiáng)度，而第1幅的能級強(qiáng)度恰恰可以加工1個(gè)臺階深度，此后每幅的能級強(qiáng)度能加工的深度是前一幅的2倍。動態(tài)分形的好處在于不僅降低了圖形輸入數(shù)目和累積誤差，提高了加工效率，而且采用的是逐級增大的能級強(qiáng)度，意味著需要Z軸的推進(jìn)行程小。

圖5 動態(tài)分形掩膜技術(shù)加工臺階球面示意圖

圖6 4幅分形圖疊加加工16臺階球面

3 試驗(yàn)驗(yàn)證

試驗(yàn)設(shè)備為激光切割機(jī)，切割時(shí)激光頭只沿x和y方向運(yùn)動。材料為有機(jī)玻璃。選擇切割速度為1 000 mm/min，并選擇不同的激光能量切割有機(jī)玻璃。測量切割深度，得到數(shù)據(jù)見表2。由表2可知，一般情況下，切割深度與激光功率成正比。

表2 切割速度為1 000 mm/min時(shí)，不同激光能量的切割深度

球面參數(shù)R1=48 mm，R2=32 mm，分成4層疊加加工，16個(gè)同心圓半徑r1～r16值見表3。第1層雕刻加工r1～r2，r3～r4，r5～r6…r15～r16共8個(gè)環(huán)帶區(qū)域。第2層雕刻加工r2～r4，r6～r8，r10～r12，r14～r16共4個(gè)環(huán)帶區(qū)域。

表3 H=16 mm時(shí)的各圓半徑值 (mm)

疊加雕刻加工后的有機(jī)玻璃實(shí)物如圖7所示，從側(cè)面圖可以看出，球面輪廓的曲線基本完整。

a) 側(cè)面圖 b) 正面圖

4 結(jié)語

論文采用分形圖形方法將球面零件量化，為球面激光加工提供一種低自由度加工新方法，同時(shí)為二維普通激光切割機(jī)實(shí)現(xiàn)3D球面成型提供可能方案。研究表明，分形圖形方法中的量化階數(shù)N大，意味著輸入圖形數(shù)目多，以及臺階深度Δh小，會影響到時(shí)效和加工精度。動態(tài)分形方法在本質(zhì)上是分形方法的二進(jìn)制描述，若采用動態(tài)分形方法可以降低輸入圖形的數(shù)目，采用漸增的能級減小Z軸推進(jìn)行程。此外，在實(shí)際加工過程中，應(yīng)考慮激光的極限線寬和離焦效應(yīng)，否則會影響到激光分形加工的精確性。

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*成都航空職業(yè)技術(shù)學(xué)院科研基金項(xiàng)目(061303Y)四川省教育廳資助科研項(xiàng)目(13ZB0053)

責(zé)任編輯彭光宇

DynamicFractalSphericalProcessingResarchof2DLaserCuttingMachine

LI Bin1，HUANG Pinbo1，XU Rutao1，ZHONG Xihuan2

(1.Chengdu Aeronautic Polytechnic，Chengdu 610100，China；2.Guiyang Wanjiang AviationElectrical Mechanical Co., Ltd.，Guiyang 550018，China)

Spherical work-piece of 2D laser cutting machine is analyzed by the fractal graph method. with equal high quantization, fractal geometric dimensions are deduced, and stepping spherical contour is also numerically reconstructed. In order to reduce the adverse impact of large quantitative order number, proposes dynamic fractal method based on the fractal method and theoretically illustrating its processing mechanism and characteristics.The results show that the 2D laser cutting machine to engraving 3D sphere has certain feasibility in this way.

2D laser machine, dynamic fractal, spherical engrave, quantitative order

TG 249

：A

李斌(1973-)，女，講師，碩士，主要從事材料成型工藝和數(shù)值模擬等方面的研究。

2014-12-22