隨機(jī)自共形測(cè)度關(guān)于幾何均值誤差的量子化維數(shù)

王春敏

(江蘇聯(lián)合職業(yè)技術(shù)學(xué)院鎮(zhèn)江分院 基礎(chǔ)部,江蘇 鎮(zhèn)江 212016)

隨機(jī)自共形測(cè)度關(guān)于幾何均值誤差的量子化維數(shù)

王春敏

(江蘇聯(lián)合職業(yè)技術(shù)學(xué)院鎮(zhèn)江分院 基礎(chǔ)部,江蘇 鎮(zhèn)江 212016)

主要證明強(qiáng)分離條件下,隨機(jī)自共形測(cè)度關(guān)于幾何均值誤差的量子化維數(shù)與其Hausdorff維數(shù)相等。

隨機(jī)自共形測(cè)度;量子化維數(shù);強(qiáng)分離條件

1 幾何均值誤差的量子化維數(shù)及主要結(jié)果

量子化問(wèn)題起源于信號(hào)傳輸和數(shù)據(jù)壓縮的相關(guān)理論。從數(shù)學(xué)角度來(lái)講,量子化的主要意義在于用具有有限支撐的離散概率測(cè)度逼近給定的概率測(cè)度。用分形進(jìn)行量子化處理的噪聲趨向于0的速度明顯快于歐式空間中的普通子集。量子化維數(shù)的定義最先由Zador[1]給出,隨著人們對(duì)隨機(jī)分形集所支撐的測(cè)度產(chǎn)生興趣,許多研究者開(kāi)始探索隨機(jī)測(cè)度的多重分形性質(zhì)與維數(shù),Arbeiter與Patzschke[2]探討了隨機(jī)自相似測(cè)度的多重分形性質(zhì),給出了隨機(jī)自相似測(cè)度的Hausdorff維數(shù)公式。在隨機(jī)測(cè)度的量子化維數(shù)研究方面,Dai與Tan[3]探討了隨機(jī)自相似測(cè)度的量子化維數(shù),并證明了隨機(jī)自相似測(cè)度與其分布之間的關(guān)系。Zhu[4]研究了r→0時(shí)自共形測(cè)度的量子化維數(shù)的幾何誤差,即當(dāng)r→0時(shí),r階量子化誤差收斂于幾何均值誤差[1]。而與非隨機(jī)分形相比,隨機(jī)分形通常與自然現(xiàn)象更接近。研究隨機(jī)測(cè)度μ關(guān)于幾何均值誤差的量子化維數(shù)及其與Hausdorff維數(shù)之間的關(guān)系非常有意義。

|S′(x)-S′(y)|≤CS|x-y|γ,

x,y∈U,其中S′(x)是S在x處的導(dǎo)數(shù),|S′(x)|是導(dǎo)數(shù)的算子范數(shù)。

令N≥2且是整數(shù),給出N個(gè)共形微分同胚Si:U→Si(U),i=1,…,N,考慮積空間

那么滿足上述3個(gè)條件的(Ω0,F0)上的概率測(cè)度P0叫做隨機(jī)共形函數(shù)系。

對(duì)隨機(jī)變量(S1,…,SN;p1,…,pN),如果有

那么這個(gè)唯一的緊致隨機(jī)集E?U稱為與P0相關(guān)的隨機(jī)自共形集,其中Ei(i=1,2,…,N)是E獨(dú)立于(S1,…,SN;p1,…,pN)的復(fù)制。類似地,存在使得supp(Φ)=E的與P0相關(guān)的有限隨機(jī)測(cè)度μ滿足

其中μi(i=1,2,…,N)是μ獨(dú)立于(S1,…,SN;p1,…,pN)的復(fù)制。若Si是相似映射,則上述隨機(jī)集是自相似集,測(cè)度是隨機(jī)自相似測(cè)度。

由文獻(xiàn)[5]可知,Rd上隨機(jī)測(cè)度μ關(guān)于幾何均值誤差的量子化誤差定義為

(1)

其中

如果對(duì)某些 1≤card(α)≤n的集合α?Rd,式(1)中的最小值能夠取到,那么這個(gè)集合α叫做μ的n-最優(yōu)集。n-最優(yōu)集的全體用Cn(μ)表示。在某些約束條件下,當(dāng)n→∞時(shí),en(μ)→0。定義

(2)

如果

則D(μ)稱為μ關(guān)于幾何均值誤差的量子化維數(shù)。

Graf與Luschgy[5]證明了開(kāi)集條件下,Rd上自相似測(cè)度的0階量子化維數(shù)等于其Hausdorff維數(shù),Zhu[4]證明了強(qiáng)分離條件下自共形測(cè)度有相同的結(jié)論。本文主要證明強(qiáng)分離條件下,支撐在隨機(jī)自共形集E上的隨機(jī)自共形測(cè)度關(guān)于幾何均值誤差的量子化維數(shù)與其Hausdorff維數(shù)相等。

定理強(qiáng)分離條件下,與隨機(jī)變量(S1,…,SN;p1,…,pN)相關(guān)的隨機(jī)自共形測(cè)度μ有

D(μ)=dimH(μ)

以概率1成立。

2 隨機(jī)自共形測(cè)度及相關(guān)性質(zhì)

用[σ]={τ∈Σ:στ}表示以σ開(kāi)頭的序列的柱集,其中σ∈Σ*。令是Ω上的σ-代數(shù),P是Ω上每個(gè)部分都有P0的積測(cè)度,則稱P是隨機(jī)共形迭代函數(shù)系。

dist(Ei,Ej)≥δmax{|Ei|,|Ej|}

(1≤i≠j≤N)以概率1成立,其中|Ei|表示Ei的直徑。注意到Si(E)?E,i,j=1,2,…,N,歸納可知,對(duì)任意兩個(gè)互不相容的詞σ,τ∈Σ*,有

dist(Eσ,Eτ)≥δmax{|Eσ|,|Eτ|}

(3)

以概率1成立。

對(duì)每個(gè)τ∈Σ*,記

由文獻(xiàn)[6]知,存在常數(shù)C≥1使對(duì)所有的x,y∈E,

(4)

以概率1成立。這意味著對(duì)所有的x,y∈E有

(5)

以概率1成立。

令

顯然0

(6)

(7)

以概率1成立。同時(shí)，對(duì)τ∈Σ*有

(8)

以概率1成立,其中Eτ:=Sτ(E)。

為了證明本文定理,還需要?jiǎng)e的記號(hào)。定義映射h:Ω×Σ→E為

其中x0∈Rd是任意點(diǎn)。由式(7)知,對(duì)ω∈Ω,上述極限存在且不依賴于x0的選取以概率P成立。然后,定義隨機(jī)變量

(9)

對(duì)每個(gè)n∈Ν,令

Γn:={τ∈Σ*:Εpτ-≥n-1pmin≥Εpτ},

易知

定義

同時(shí)，令

由文獻(xiàn)[4]可知下面的性質(zhì)。

3 定理的證明

引理1存在常數(shù)M0,λ>0,使對(duì)x∈Rd以及ε>0,有

μ(B(x,ε))≤M0ελ

(10)

以概率1成立。

證明令

ε0:=δmin{|Ei|:1≤i≤N}。

由文獻(xiàn)[5]的引理12.3知,欲證引理1成立,只需證式(10)對(duì)x∈E及所有的ε∈(0,ε0)成立即可。

對(duì)x∈E及ε∈(0,ε0),存在τ∈Σ*使x∈Eτ,δ|Eτ|≤ε<δ|Eτ-|。因此由式(2)知B(x,ε)∩E?Eτ-。從而有

(11)

以概率1成立。

由式(8)及式(6)可知，

以概率1成立。因此

以概率1成立,由式(11)可得,

令

可證引理1成立。

用(A)ε表示A?Rd的閉ε鄰域。對(duì)有限集β?Rd及τ∈Σ*,定義

χβ(τ):=card(β∩(Eτ)8-1δ|Eτ|),

則可得引理2。

引理2對(duì)任意有限集β?Rd,τ∈Σ*,存在常數(shù)M≥1,使

(12)

以概率1成立。特別地,如果β?(Eτ)8-1δ|Eτ|,那么

以概率1成立。

證明令M:=[(16δ-1+2)d]+1,則Eτ可以被M個(gè)中心在其內(nèi)部,半徑為8-1δ|Eτ|的閉球覆蓋?？上瓤紤]由中心在Eτ內(nèi)、半徑為16-1δ|Eτ|的閉球組成的Eτ的一個(gè)最大覆蓋P,然后，把半徑擴(kuò)大2倍得到Eτ的覆蓋。通過(guò)體積估計(jì)知

card(P)(16-1δ|Eτ|)d≤((1+8-1δ)|Eτ|)d。

由式(7)得

以概率1成立。如果β?(Eτ)8-1δ|Eτ|,那么

以概率1成立。

推論令α∈Cn(μ),τ∈Σ*,由式(7)可得

以概率1成立。

則有

以概率1成立。

證明參考文獻(xiàn)[7]中引理2的證明方法。

引理4對(duì)n≥1及常數(shù)M0,λ>0,有

證明參考文獻(xiàn)[5]中引理5.8的證明方法。

綜合上面的引理可以得到定理的證明。

證明定義

N1:=[(16-1δ+6)d]+1,

由引理4,存在最小整數(shù)N≥N1+N2,使對(duì)k≥N,有

(13)

以概率1成立。N,N1,N2是獨(dú)立于τ∈Σ*的。對(duì)h≤card(Γn),α∈Ch(μ),有

χα(τ)≤N

(τ∈Γn)以概率1成立。

假設(shè)對(duì)某些τ∈Γn,有χα(τ)>N。事實(shí)上,由N1,N2的定義可知

1) (Eτ)4-1δ|Eτ|能被N1個(gè)中心在此集合上、半徑為8-1δ|Eτ|的閉球覆蓋,若用γ1表示這個(gè)閉球的中心組成的集合,那么card(γ1)=N1。

令γ3∈Cχα(τ)-N1-N2(μ),同時(shí)定義

γ:=(α(Eτ)8-1δ|Eτ|)∪γ1∪γ2∪Sτ(γ3),

則card(γ)≤card(α)。再由γ1的定義及度量d的三角不等式,易知3)(見(jiàn)下)。

(14)

以概率1成立。

4) 對(duì)x∈Eτ,有

(15)

d(x,α)≥8-1δ|Eτ|

(16)

均以概率1成立。

由式(15),式(16)及Γn的定義可得

γ)dμ(x)≥Εpτlog (8-1δ|Eτ|)-

(17)

以概率1成立。

由引理2,引理3和式(13)可得

(18)

以概率1成立。

聯(lián)立式(14)，式(17)和式(18)可得,

以概率1成立。這顯然與α的最優(yōu)性矛盾。

以概率1成立。因此,由引理4可推得

(19)

以概率1成立。類似地,易證

(20)

以概率1成立。

顯然地,對(duì)任意x∈Eτ和所有的τ∈Γn,

定義

由式(9)及引理2知,對(duì)足夠大的n有

(21)

以概率1成立。類似地,可推得

(22)

以概率1成立。綜合式(19)至式(22),由性質(zhì)可證明定理成立。

[1] ZADOR P L. Asymptotic quantization error of continuous signals and the quantization dimension[J].IEEE Trans. Inform. Theory,1982 (28): 139-149。

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〔責(zé)任編輯：盧 蕊〕

Quantizationdimensionofrandomself-conformalmeasureswithrespecttothegeometricmeanerror

WANG Chun-min

(Basic Courses Department,Zhenjiang Branch of Jiangsu Joint Vocational College,Zhenjiang 212016,China)

In the strong separation condition,the thesis mainly studies and proves the quantization dimension of random self-conformal measures with respect to the geometric mean error and it coincedes with the Hausdorfl dimension.

random self-conformal measures; Hausdorff dimension; strong separation condition

2015-03-18

王春敏(1982—),女,江蘇鎮(zhèn)江人,講師,碩士生,主要從事分形幾何研究。

O211.9

：C

：1008-8148(2015)03-0061-05