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    基于枚舉的并行排序與選擇算法設(shè)計(jì)

    2015-07-18 12:22:46羅明山
    電腦知識(shí)與技術(shù) 2015年12期
    關(guān)鍵詞:并行計(jì)算枚舉排序

    羅明山

    摘要:隨著多核處理器的普及以及云計(jì)算應(yīng)用的推廣,并行算法和并行程序設(shè)計(jì)再度升溫,串行算法向并行算法轉(zhuǎn)換已成為提高計(jì)算性能的重要途徑。盡管枚舉算法在串行環(huán)境下是不可取的,但是,由于其枚舉比較本身具有潛在的并行執(zhí)行的可能性,使得它在并行計(jì)算環(huán)境下大放異彩。該文串行的枚舉排序?yàn)榛A(chǔ),闡述了基于枚舉的并行排序、并行(m,n)-選擇和并行K-選擇算法,在Open MP編程模型上用C++加以實(shí)現(xiàn)。運(yùn)行于多核CPU上,結(jié)果證明算法是有效的、有利用價(jià)值的。

    關(guān)鍵詞:枚舉;秩;排序;選擇算法;并行計(jì)算

    中圖分類號(hào):TP312 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼:A 文章編號(hào):1009-3044(2015)12-0088-03

    排序與選擇是計(jì)算機(jī)處理數(shù)據(jù)的重要工作。經(jīng)過(guò)長(zhǎng)期的研究,人們提出了許多排序算法,包括插入排序、希爾排序、選擇排序、堆排序、冒泡排序、快速排序、歸并排序和基數(shù)排序等。目前,排序算法是《數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)與算法設(shè)計(jì)》課程的重要組成部分。

    選擇算法包括k-選擇和(m,n)-選擇。k-選擇是指從數(shù)據(jù)序列中選出第k個(gè)最?。ɑ蜃畲螅┑臄?shù)據(jù)元素;(m,n)-選擇是指從n個(gè)數(shù)據(jù)序列中選擇出m個(gè)最?。ɑ蜃畲螅┑臄?shù)據(jù)元素[1]。選擇算法更適用并行處理,且多采用比較網(wǎng)絡(luò)實(shí)現(xiàn)。

    基于枚舉的排序稱為枚舉排序(Enumeration Sorting),也稱為秩排序(Rank Sorting)[2]。在串行環(huán)境下,枚舉排序是不可取的,但是,由于枚舉比較本身具有潛在的并行執(zhí)行的可能性,使得它在并行排序中大放異彩[3]。文獻(xiàn)[1] [2][3]介紹了串行枚舉排序和基于MIMD-CREW模型上的并行枚舉排序。本文介紹多核處理機(jī)上Open MP編程環(huán)境下的并行枚舉排序與并行選擇算法。

    1 并行枚舉排序

    所謂的“秩”是指數(shù)據(jù)集合中比自身小的數(shù)據(jù)元素的個(gè)數(shù),它可以直接反映該數(shù)據(jù)在排序數(shù)據(jù)序列中的位置。枚舉排序的基本思想是:逐一地計(jì)算每個(gè)數(shù)據(jù)的“秩”,然后根據(jù)“秩”調(diào)整數(shù)據(jù)的位置,最終實(shí)現(xiàn)排序。

    并行枚舉排序由數(shù)據(jù)播送、秩計(jì)算和數(shù)據(jù)收集三個(gè)過(guò)程組成[3]。與MIMD-CREW模型上的并行枚舉排序算法相比,多核處理器上的并行枚舉算法顯得更加簡(jiǎn)單,其基本思想是將待排序數(shù)據(jù)進(jìn)行分組,由多個(gè)處理機(jī)并行地對(duì)各分組進(jìn)行秩計(jì)算,最后根據(jù)秩調(diào)整數(shù)據(jù)的位置,得出排序序列。

    1.1秩的計(jì)算

    在待排序數(shù)據(jù)序列為S[0,…,n-1]中,計(jì)算數(shù)據(jù)元素S[k]的秩就是逐一地統(tǒng)計(jì)比S[k]小的數(shù)據(jù)元素的個(gè)數(shù)。算法描述如下:

    輸入:待排序數(shù)組S[0,..,n-1]和數(shù)據(jù)元素S[k]

    輸出:數(shù)據(jù)元素S[k]的秩

    Index(S[],n,S[k] )

    { int index=0;

    for(int i=0;i<=n;i++)

    if(S[k]

    return index;}

    算法的時(shí)間復(fù)雜度為O(n)。

    1.2 各分組數(shù)據(jù)元素秩的計(jì)算

    并行枚舉排序的關(guān)鍵環(huán)節(jié)就是用多個(gè)處理機(jī)并行地進(jìn)行秩計(jì)算。每個(gè)處理機(jī)負(fù)責(zé)一個(gè)或多個(gè)分組,逐一地用分組中的數(shù)據(jù)元素與所有(全局)的待排序數(shù)據(jù)進(jìn)行比較,計(jì)算分組中各數(shù)據(jù)元素的秩。對(duì)于每一個(gè)處理機(jī)而言,這一個(gè)過(guò)程是串行的。為保證處理機(jī)能準(zhǔn)確地找到自己的分組,需要給出分組的起始位置和長(zhǎng)度。排序算法描述如下:

    輸入:帶排序數(shù)據(jù)S[0,…,n-1],S的長(zhǎng)度slen,起始位置startinde,分組長(zhǎng)度coupLen。

    輸出:S對(duì)應(yīng)元素的秩數(shù)組indexA [0,…,n-1]。

    void IndexSorting(int S[ ],int sLen,int startindex,int coupLen,int indexA[])

    {

    int endindex=startindex+coupLen;;

    for(int i=startindex;i

    { int index= Index(S,sLen,S[i]);

    indexA[i]=index;}}

    算法中,for循環(huán)的時(shí)間復(fù)雜度為 ,循環(huán)內(nèi)的Index(S,sLen,S[i])時(shí)間復(fù)雜度為 ,故該算法的時(shí)間復(fù)雜度為 。

    1.3 并行枚舉排序算法

    多核處理器是分布式Cache的共享存儲(chǔ)并行計(jì)算模型[4]。數(shù)據(jù)傳播過(guò)程主要體現(xiàn)為讀共享,而寫數(shù)據(jù)時(shí),每個(gè)處理機(jī)所寫的存儲(chǔ)單元是明確的、相對(duì)獨(dú)立的,因此不存在沖突問(wèn)題,計(jì)算可以達(dá)到最大程度的并發(fā)性。為確保處理機(jī)的均衡,提高算法效率,必須把處理機(jī)數(shù)作為分組依據(jù)之一。算法用Open MP編程模型上的C++語(yǔ)言描述如下:

    輸入:待排序數(shù)組A[]

    輸出:已排序數(shù)組S[]

    void ParallIndexSorting(int A[],int len,int S[])

    {

    int coupNum1=(int)(log10((double)len)+0.9999999); //

    int PNum=omp_get_num_procs(); //獲取處理機(jī)(運(yùn)算核)個(gè)數(shù)

    coupNum=coupNum1*PNum; //計(jì)算分組數(shù)

    int coupLen=(int)len/coupNum; //計(jì)算每個(gè)分組的長(zhǎng)度

    int *indexA=new int[len]; //定義“秩”數(shù)組,存放數(shù)組A[]對(duì)應(yīng)元素的“秩”

    int startindex;

    #pragma omp parallel for //并發(fā)地計(jì)算各分組元素的“秩”

    for(int i=0;i<=coupNum;i++)

    { if(i< coupNum)

    { startindex=coupLen*i;

    IndexSorting(A,len,startindex,coupLen,indexA);}

    else //最后一個(gè)分組

    { startindex=coupLen*coupNum;

    int ccouplenlen=len-startindex;

    IndexSorting(A,len,startindex,ccouplenlen,indexA);

    }

    }

    //根據(jù)“秩”調(diào)整數(shù)據(jù)的位置,直接寫入輸出數(shù)組S[]

    #pragma omp parallel for //并發(fā)回收數(shù)據(jù)

    for(int i=0;i

    { S[indexA[i]]=A[i]; }}

    假設(shè)待處理數(shù)據(jù)為n個(gè)元素,處理器有p個(gè)運(yùn)算核,,則分組計(jì)算秩的時(shí)間為n2/p,收集過(guò)程的時(shí)間為n/p。根據(jù)n2/p與n2的關(guān)系可知,所獲得的性能幾乎與運(yùn)算核數(shù)目p成正比。

    2 并行枚舉選擇算法

    根據(jù)(m,n)選擇網(wǎng)絡(luò)的原理[1],只要從每個(gè)分組中選擇m個(gè)最小的數(shù),就可以覆蓋n個(gè)數(shù)據(jù)中m個(gè)最小的數(shù)。因此,(m,n)-枚舉選擇算法與(m,n)-選擇網(wǎng)絡(luò)的處理方法一樣:對(duì)n個(gè)數(shù)據(jù)進(jìn)行分組,然后從每個(gè)分組中選擇m個(gè)最小的數(shù)組成新的待選擇數(shù)據(jù),再分組,再選擇,直到找到m個(gè)最小的數(shù)據(jù)為止。不同的是,(m.n)選擇網(wǎng)絡(luò)采用硬件實(shí)現(xiàn),容易實(shí)現(xiàn)多路歸并選擇。對(duì)于多核處理器,每個(gè)處理機(jī)的執(zhí)行可以視為一個(gè)分組上的串行(m,n)-選擇,所以,并行枚舉(m,n)-選擇算法可以建立在串行(m,n)-選擇的基礎(chǔ)上。

    2.1 串行枚舉(m,n)-選擇算法

    為減少計(jì)算秩的次數(shù),提高算法效率,先定義leftCmpd和rightCmpd兩個(gè)參照數(shù),令leftCmpd始終保存秩小于m的最大數(shù),rightCmpd始終保存秩大于m的最小數(shù)。初始時(shí),leftCmpd等于一個(gè)無(wú)窮小量,rightCmpd等于無(wú)窮大量。選擇處理過(guò)程中,任何小于leftCmpd的數(shù)據(jù)都是所需的m個(gè)數(shù)據(jù)之一,不必再計(jì)算它的秩,直接存入輸出數(shù)組中;任何大于rightCmpd的數(shù)都不在所需的數(shù)據(jù)范圍之內(nèi),不做任何處理;而介于leftCmpd和rightCmpd之間的數(shù),則可能是所需的數(shù)據(jù),需要計(jì)算它的秩,如果秩小于m,則是所需的數(shù)據(jù),將其存入輸出數(shù)組中,并調(diào)整leftCmpd的值,使之左向逼近m;如果秩大于m,則不是所需的數(shù)據(jù),直接調(diào)整rightCmpd的值,使之右向逼近m。算法描述如下:

    輸入:A[0,…,len-1]

    輸出:S[0,…,m-1]

    void M_N_Select(int A[],int len,int S[],int m)

    { int leftCmpd,rightCmpd;

    leftCmpd=-2147483648; //無(wú)窮小數(shù),取最小的int值

    rightCmpd=2147483647; //無(wú)窮大數(shù),取最大的int值

    for(int i=0,j=0;i

    {if(A[i]

    { S[j]=A[i]; j++; }

    else if(A[i]>rightCmpd)

    { }

    else //A[i]介于leftCmpd和rightCmpd之間

    { int index=Index(A,len,A[i]);

    if(index

    { S[j]=A[i];

    j++;

    leftCmpd=A[i];

    }

    if(index>=m)

    { rightCmpd=A[i]; }}}}

    算法中,最好的情形下需要進(jìn)行1次求秩和m次比較,復(fù)雜度為O(n);最壞的情形下需要進(jìn)行(n-m)次求秩和m次比較,復(fù)雜度為O(n2)。

    2.2 并行枚舉(m,n)-選擇算法

    并行枚舉(m,n)-選擇算法的基本思想是:將待查找數(shù)據(jù)進(jìn)行分組,由p個(gè)處理機(jī)并發(fā)地調(diào)用串行枚舉(m,n)-選擇算法對(duì)各分組進(jìn)行(m,n)-選擇,再將各分組選出的m個(gè)最小數(shù)據(jù)重新組成待查找數(shù)據(jù),遞歸地進(jìn)行并行枚舉(m,n)-選擇,當(dāng)待查找數(shù)據(jù)元素的個(gè)數(shù)足夠小(分組數(shù)為1)時(shí),直接進(jìn)行串行(m.n)-枚舉選擇。算法描述如下:

    輸入:A[0,…,len-1]

    輸出:S[0,…,m-1]

    Parallel_M_N_Select(int A[],int len,int S[],int m)

    { int coupNum1=(int)(log10((double)len)+0.9999999);

    int PNum=omp_get_num_procs(); //獲取處理機(jī)數(shù)目

    int coupNum=coupNum1*PNum; //計(jì)算分組數(shù)

    int coupLen=(int)len/coupNum; //計(jì)算每各分組的長(zhǎng)度

    while(coupLen<2*m&&&coupNum>1) //調(diào)整分組數(shù),確保每個(gè)分組長(zhǎng)度都大于2m

    { coupNum--;

    coupLen=(int)len/coupNum;}

    if(coupNum==1) //只有1個(gè)分組時(shí),直接進(jìn)行串行(m.n)-選擇

    M_N_Select(int A[],int len,int S[],int m);

    else //分組數(shù)大于1,并行地對(duì)各分組作(m.n)-選擇

    { int *newA; //用于收集各分組選出的m個(gè)最小數(shù)據(jù)元素

    int newAlen=0; // newA的長(zhǎng)度

    #pragma omp parallel for

    for(int i=0;i

    { int alen; //本分組長(zhǎng)度

    if(i

    { alen=coupLen; }

    else //最后一個(gè)分組

    { alen=len-(coupLen*i); }

    int * privateA=new int[alen]; //內(nèi)部數(shù)組,存放本分組的待查找的數(shù)據(jù)元素

    int * privateS=new int[m]; //內(nèi)部數(shù)組,存放本分組找出的m個(gè)最小數(shù)

    for(int j=0;j

    { privateA[j]=A[(coupLen*i)+j]; }

    M_N_Select( privateA,alen, privateS,m);

    newAlen+=m;

    newA=new int[newAlen];

    for(int j=0;j

    { newA [(m*i)+j]=privateS[j]; }}

    Parallel_M_N_Select(newA,newAlen,S,m); //遞歸地進(jìn)行并行(m,n)-選擇}}

    串行(m,n)-枚舉選擇算法的最壞時(shí)間復(fù)雜度為O(n2),采用并行處理后,相當(dāng)于每個(gè)處理機(jī)只需要處理n/p個(gè)數(shù)據(jù),即加速比為接近p2。

    2.3 并行枚舉k-選擇算法

    K-選擇可以視為特殊的(m,n)-選擇算法。因此,并行枚舉k-選擇可以先進(jìn)行m=k的并行(m,n)-選擇,再對(duì)找出的k個(gè)數(shù)據(jù)進(jìn)行串行k-選擇。算法描述如下:

    輸入:A[0,…,n-1],k。

    輸出:第k個(gè)最小的數(shù)據(jù)元素

    Parallel_k_selection(A[],n,k)

    { Parallel_M_N_Select(A[],len, S[],k);

    for(int i=1;i

    { if(Index(S[],n,S[i]) ==k)

    return S[i];}}

    該算法的時(shí)間復(fù)雜度主要取決于并行枚舉(m,n)-選擇的時(shí)間復(fù)雜度。因此,其時(shí)間復(fù)雜度與并行枚舉(m,n)-選擇算法的時(shí)間復(fù)雜度相當(dāng)。

    3 結(jié)束語(yǔ)

    本文利用枚舉排序的基本思想,實(shí)現(xiàn)了并行的排序、(m,n)-選擇、k-選擇等算法。算法以串行算法為基礎(chǔ),通過(guò)分組技術(shù)和Open MP的并行導(dǎo)語(yǔ)實(shí)現(xiàn)并行處理,算法直觀,簡(jiǎn)單明了。在Open MP編程模型上使用C++加以實(shí)現(xiàn),運(yùn)行于具有2個(gè)運(yùn)算核以上的PC機(jī)。實(shí)驗(yàn)結(jié)果與理論分析預(yù)計(jì)的效果基本相同,證明枚舉算法在并行計(jì)算環(huán)境上是可取的、有運(yùn)用價(jià)值的。

    參考文獻(xiàn):

    [1] 陳國(guó)良.并行算法的設(shè)計(jì)與分析[M]. 3版.北京:高等教育出版社, 2009.

    [2] 陳國(guó)良.并行算法實(shí)踐[M].北京:高等教育出版社, 2004.

    [3] Thomas H, Cormen Charles E, Leiserson Ronald L.算法導(dǎo)論[M]. 潘金貴,譯.北京:機(jī)械工業(yè)出版社, 2009.

    [4] 周偉明.多核計(jì)算與程序設(shè)計(jì)[M]. 武漢:華中科技大學(xué)出版社,2009.

    [5] Wilkinson B, Allen M.并行程序設(shè)計(jì) [M]. 陸鑫達(dá),譯.2版.北京:機(jī)械工業(yè)出版社, 2005.

    [6] 鐘誠(chéng).并行散列選擇算法[J].計(jì)算機(jī)工程與科學(xué), 2000,22(3).

    [7] 朱戰(zhàn)立.數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)—java語(yǔ)言描述[M].北京:清華大學(xué)出版社, 2005.

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