股票價(jià)格服從指數(shù)O—U過程的復(fù)合期權(quán)定價(jià)方法探析

許聰聰　王建鋒

摘 要 為探討歐式復(fù)合期權(quán)的定價(jià)方法，假設(shè)股票價(jià)格服從指數(shù)Ornstein-Uhlenback （O-U）過程，且所有參數(shù)均為相依于時(shí)間的函數(shù)，利用保險(xiǎn)精算和等價(jià)鞅測(cè)度兩種方法對(duì)歐式復(fù)合期權(quán)進(jìn)行定價(jià)，得到了兩種不同方法下的歐式復(fù)合期權(quán)的定價(jià)公式，并討論了兩者之間的關(guān)系.證明了在指數(shù)O-U 過程模型下保險(xiǎn)精算定價(jià)是一種有套利定價(jià)，從而進(jìn)一步推廣了Geske的結(jié)論.

關(guān)鍵詞 復(fù)合期權(quán)；指數(shù)O-U過程；保險(xiǎn)精算定價(jià)；鞅定價(jià)

中圖分類號(hào) O211.6；F830.9 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼 A 文章編號(hào) 1000-2537（2014）03-0074-06

期權(quán)定價(jià)是現(xiàn)代金融數(shù)學(xué)研究領(lǐng)域的主要內(nèi)容之一，1973 Black-Scholes在股票價(jià)格服從幾何布朗運(yùn)動(dòng)的假設(shè)下，推導(dǎo)出了著名的Black-Scholes公式（B-S公式）.由于B-S公式是建立在一系列的假設(shè)的基礎(chǔ)上的，如標(biāo)的資產(chǎn)服從幾何正態(tài)分布，不支付紅并且所有參數(shù)都為常數(shù)等，隨后很多人對(duì)B-S公式作了相應(yīng)的推廣[2-4].復(fù)合期權(quán)是一種標(biāo)的期權(quán)的新型期權(quán).最早Geske[5]利用微分方程方法計(jì)算出了復(fù)合期權(quán)的定價(jià)公式，Selby 和Hodges [6]以及李榮華[7]利用鞅方法分別得到了參數(shù)為常數(shù)以及參數(shù)為依賴于時(shí)間函數(shù)的復(fù)合期權(quán)定價(jià).王獻(xiàn)東[8]利用鞅方法得到了股票價(jià)格服從跳-擴(kuò)散過程的復(fù)合期權(quán)定價(jià).

上述期權(quán)定價(jià)方法都是建立在金融市場(chǎng)是完備的，無套利的基礎(chǔ)上.實(shí)際金融市場(chǎng)上這些條件往往并不滿足，1998年Bladt和Rydberg[9]利用保險(xiǎn)精算方法把期權(quán)定價(jià)問題轉(zhuǎn)化為公平保費(fèi)問題，在沒有任何市場(chǎng)假設(shè)的條件下推導(dǎo)出了期權(quán)定價(jià)公式.這種方法不但適用于無套利、均衡和完備的市場(chǎng)模型，對(duì)有套利、不均衡和不完備的金融市場(chǎng)仍然有效.閆海峰[10]利用保險(xiǎn)精算方法推導(dǎo)出了股票價(jià)格服從指數(shù)O-U過程的歐式期權(quán)定價(jià).劉堅(jiān)[11]利用保險(xiǎn)精算定價(jià)方法推到出了隨機(jī)利率下和O-U過程模型下歐式期權(quán)和歐式交換期權(quán)的定價(jià)結(jié)果.畢學(xué)慧[12] 利用保險(xiǎn)精算方法推導(dǎo)出了股票價(jià)格服從幾何布朗運(yùn)動(dòng)的歐式復(fù)合期權(quán)定價(jià)模型.股票價(jià)格服從O-U過程避免了傳統(tǒng)對(duì)數(shù)正態(tài)分布中股價(jià)有朝同一方向變化的局限， 對(duì)股價(jià)上升的趨勢(shì)進(jìn)行了削弱.本文假設(shè)股票價(jià)格服從指數(shù)O-U過程，且參數(shù)都是依賴于時(shí)間的確定函數(shù)，利用保險(xiǎn)精算和鞅方法兩種方法對(duì)復(fù)合期權(quán)進(jìn)行定價(jià)，結(jié)果發(fā)現(xiàn)保險(xiǎn)精算定價(jià)是有套利定價(jià)，而鞅定價(jià)無套利.

1 基本假設(shè)

考慮一個(gè)連續(xù)時(shí)間的無摩擦的金融市場(chǎng)，假設(shè)市場(chǎng)有兩種資產(chǎn)，一種為無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)，如債券；另一種為風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)，如股票.假設(shè)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)（股票）價(jià)格股票價(jià)格St服從廣義指數(shù)O-U過程：

dSt=St[（μt-αlnSt）dt+σtdWt]， S0=S.（1）

債券價(jià)格Pt滿足方程：

dPt=Ptrtdt， PT=1，（2）

其中S>0， （Wt）t∈[0，T] 是定義在概率空間（F， {Ft}t>0， P）的標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)，α 為常數(shù)， μt和 σt分別為股票的預(yù)期收益率和波動(dòng)率，rt是t時(shí)刻Pt瞬時(shí)利率， μt，rt，σt是[0，∞）→R 上的函數(shù)，且滿足

定義1[9] 股票價(jià)格過程{St， 0 ≤ t ≤ T}在[0，T]上產(chǎn)生的瞬時(shí)期望收益率∫t0βsds被定義為

其中，βt 為股票在t時(shí)刻的瞬時(shí)收益率，假設(shè)βt是[0，T]上的實(shí)值可測(cè)函數(shù) .

引理 1 若股票價(jià)格S（t）服從廣義指數(shù)O-U過程，則

2 主要結(jié)果

復(fù)合期權(quán)是一種期權(quán)的期權(quán)，給予了持有者在某一約定日期（t=T1 ）以約定價(jià)格買入（賣出）一份在日后t=T2 （T2>T1 ）到期實(shí)施敲定價(jià)格為K的 看漲（看跌）的權(quán)利.因此，復(fù)合期權(quán)有兩個(gè)執(zhí)行價(jià)格和兩個(gè)到期日，由于受兩個(gè)到期日的影響，一個(gè)是復(fù)合期權(quán)的到期日；另一個(gè)是標(biāo)的期權(quán)到期日.復(fù)合期權(quán)有4種類型：

（1）在t=T1 時(shí)刻購買 看漲期權(quán)的期權(quán)（call option on a call option），記為CC；

（2）在t=T1 時(shí)刻購買 看跌期權(quán)的期權(quán)（call option on a put option），記為CP；

（3）在t=T1時(shí)刻出售 看漲期權(quán)的期權(quán)（put option on a call option），記為PC；

（4）在t=T1時(shí)刻出售 看跌期權(quán)的期權(quán)（put option on a put option），記為PP.

這里有3種風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)：原生資產(chǎn)（如股票），原生期權(quán)（如股票期權(quán)）和復(fù)合期權(quán).首先在區(qū)域

∑2={0≤S<∞，0≤t≤T2} 上定義原生期權(quán)的價(jià)格，然后在區(qū)域∑1={0≤S<∞，0≤t≤T1}上建立復(fù)合期權(quán)CC（S， t），CP（S， t），PC（S， t） 及PP（S， t）.

2.1 歐式復(fù)合期權(quán)的保險(xiǎn)精算定價(jià)

定義2 股票價(jià)格 {St， t≥0}服從指數(shù)O-U過程（1），歐式看漲期權(quán)的看漲期權(quán)在t=0時(shí)刻的價(jià)格CC（S，0）為

注1 由于模型（1）中的項(xiàng)αlnSt，使得股票在t時(shí)刻的瞬時(shí)收益率βt 計(jì)算較為復(fù)雜，當(dāng)α = 0，股票價(jià)格服從幾何布朗運(yùn)動(dòng)，此時(shí)βt=μt，定理1即為文獻(xiàn)[12]結(jié)果.

2.2 歐式復(fù)合期權(quán)的鞅定價(jià)

引理4 假設(shè)股票價(jià)格 {St， t ≥ 0} 服從廣義指數(shù)O-U過程（1） ，令

θt = μt -rt -αlnt σt .（13）

若Ep[exp（12∫t0θ2sds）]<∞， 則存在唯一等價(jià)鞅測(cè)度Q ， 滿足Radon-Nikodyn導(dǎo)數(shù)：

dQdPFT=exp{-12∫T0θ2tdt-∫T0θtdBt}，

使得在測(cè)度Q 下折現(xiàn)過程S*t是鞅過程S*tStexp{-∫t0rsds}，令WQt=∫t0θsds+Wt，則由Girsanov定理可知，在概率測(cè)度Q下，WQ（t）是一個(gè)Brown運(yùn)動(dòng)，并且

ST=Stexp{∫Tt（rs-12σ2s）ds+∫TtσsdWQs}. （14）

引理4可由Girsanov定理和鞅表示定理證明，由期權(quán)定價(jià)鞅方法可得如下定理.

定理2 股票價(jià)格服從指數(shù)O-U過程（1），四種不同歐式復(fù)合期權(quán)在t=0時(shí)刻的鞅定價(jià)為

注2 當(dāng)α = 0時(shí)，股票價(jià)格服從幾何布朗運(yùn)動(dòng)，定理2是文獻(xiàn)[7]中的結(jié)果；在α = 0，且其他所有參數(shù)都為常數(shù)時(shí)，定理2即為文獻(xiàn)[5]中結(jié)果.

注3 由定理1與定理2結(jié)果可以發(fā)現(xiàn)，保險(xiǎn)精算定價(jià)不但和股票波動(dòng)率σt 有關(guān)，還與股票期望收益率μt 以及收益率的漂移項(xiàng)α有關(guān)；鞅定價(jià)只與股票的波動(dòng)率有關(guān)系，與股票的期望收益率無關(guān).由于等價(jià)鞅測(cè)度存在且唯一，所以期權(quán)有唯一的無套利定價(jià)，因此保險(xiǎn)精算定價(jià)實(shí)質(zhì)上是有套利定價(jià).當(dāng) βt=rt時(shí)，復(fù)合期權(quán)的價(jià)格為風(fēng)險(xiǎn)中性價(jià)格，是獨(dú)立于每個(gè)人的投資偏好的，此時(shí)定理 1的結(jié)論就是定理2的結(jié)論.

3 結(jié)束語

本文在假設(shè)股票價(jià)格服從指數(shù)O-U過程且參數(shù)都為時(shí)間確定函數(shù)的條件下，利用保險(xiǎn)精算和鞅兩種方法，得到了歐式復(fù)合期權(quán)的定價(jià)公式，推廣了文獻(xiàn)[5，7，12]的結(jié)果.另外，對(duì)兩種定價(jià)方法下的結(jié)果進(jìn)行了比較.結(jié)果發(fā)現(xiàn)，指數(shù)O-U過程模型下，復(fù)合期權(quán)的鞅定價(jià)是無套利的，而保險(xiǎn)精算定價(jià)是有套利定價(jià).

參考文獻(xiàn)：

[1] BLACK F， SCHOLES M. The pricing of option and corporate liabilities [J]. J Politi Econom， 1973，81（4）：637-659.

[2] MERTON R C. Continuous-time finance[M]. Cambridge， MA： Blackwell Publishers， 1998.

[3] SCHWEIZER M. Option heading for semimartingales[J]. Stoch Proc Their Appl， 1991，37（3）：339-363.

[4] PRIGENT J L. Option pricing with a general marked point process[J]. Math Oper Res， 2001，26（1）：50-66.

[5] GESKE R. The valuation of corporate liabilities an compound options[J]. J Finan Quant Anal， 1977，12（5）：541-552.

[6] SELBY M， HODGES S. On the evaluation of compound options[J]. Manag Sci， 1987，33（4）：347-355.

[7] 李榮華， 戴永紅， 常 秦. 常數(shù)依賴于時(shí)間的復(fù)合期權(quán)（英文）[J] .工程數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)， 2005，25（5）：692-696.

[8] 王獻(xiàn)東， 杜雪樵. 跳擴(kuò)散過程模型下的復(fù)合期權(quán)定價(jià)[J]. 數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí)， 2009，39（14）：5-11.

[9] BLADT M， RYDBERG H T. An actuarial approach to option pricing under the physical measure and without market assumptions[J]. Insurance： Math Econom， 1998，22（1）：65-73.

[10] 閆海峰， 劉三陽. 廣義Black-Scholes模型期權(quán)定價(jià)的新方法-保險(xiǎn)精算方法[J]. 應(yīng)用數(shù)學(xué)和力學(xué)， 2003，24（7）：730-738.

[11] 劉 堅(jiān)， 文鳳華， 馬超群. 歐式期權(quán)和交換期權(quán)在隨機(jī)利率及O-U過程下的精算定價(jià)方法[J]. 系統(tǒng)工程理論與實(shí)踐， 2009，29（12）：118-124.

[12] 畢學(xué)慧， 杜雪樵. 復(fù)合期權(quán)的保險(xiǎn)精算定價(jià)[J]. 合肥工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版， 2008，31（9）：1343-1346.

[13] 胡素敏， 胡電喜. 基于分?jǐn)?shù)跳擴(kuò)散過程的冪期權(quán)定價(jià)[J]. 湖南師范大學(xué)自然科學(xué)學(xué)報(bào)， 2012，35（7）：14-17.

（編輯 胡文杰）