幾類含參問題初探

吉林省白山市撫松縣撫松五中 夏興鳳

含參問題是整個高中數(shù)學教學的重點，也是一個難點。高考中也少不了這類題型。面對某些含參問題，正面思考會覺得很困難。但通過轉(zhuǎn)變思想，變換自變量，重新設定自變量的方法，會使解題思路凸現(xiàn)，而這個變化過程也大大優(yōu)化了求解過程。下面是我平時在教學工作中對這一問題的一點思考，愿與我們大家共同分享。敬請斧正！

一、設定自變量求含參問題

例如：已知

其中a為常數(shù)。

若h( x) = f( x) + g( x)是增函數(shù)，且h′( x)存在正零點（h′( x)為h(x)導數(shù)）

（1）求a值。

（ ⅰ ） 若0 ＜ a ＜ 1 ,ln a ＜0于 是x2?ln a ? 2 x ? ln a +1 ≤ 0恒 成 立 。 又h′( x)存在正零點，所以 ?= 4 ln2a ? 4 ln a =0。得ln a =0或ln a =1，與ln a ＜0矛盾。

（ ⅱ ） 若a＞1， 由x2?ln a ? 2 x ? ln a +1 ≥ 0恒成立，又h′( x)存在正零點，故?=0，所以a =e。

做到這里有的同學就不知該如何往下證明了，在上邊這個式子中，出現(xiàn)了兩個變量x1, x2，倘若把其中的一個設為自變量，另一個看做參變量，那么這個問題的思路便豁然開朗了。

不妨令X1=X，則令r( x) = x ? ln x2?x ? ln x ? x2+x （0＜x＜x2）只需證r( x) ＜ 0，x ∈ (0,x2)即可。

r′( x) = l n x2? l n x ＞0

∵x ∈ (0,x2),∴ r′( x) ＞ 0∴r( x)在(0,x2)上 遞 增 。 ∴ r ( x1) ＜ r( x2)即x1?ln x2?x1?ln x1?x2+x1＜0

二、變換自變量解含參問題

對于有些問題，如果把不等式看做關于 的不等式則解題過程非常復雜，但如果把不等式看做關于參數(shù)a的不等式則可簡化解題過程，實現(xiàn)常量與變量的轉(zhuǎn)化。

再如，對于滿足的所有實數(shù)a，求使 不等式x2+ a x + 1 ＞ 2 x + a 恒成立的x的取值范圍。

不等式化為(x ? 1)a + (x ?1)2＞0，令f( a ) = (x ? 1 )a + (x ?1)2，把它看作是關于a的一次函數(shù)，由有 ?2 ≤ a ≤2，對于 ?2 ≤ a ≤2時，要使f( a) ＞ 0恒 成 立 ， 只 需f( ?2) = (x ? 1 )(x ?3) ＞ 0和f( 2) = (x ? 1 )(x +1) ＞ 0同時成立即可，得x＜?1或x＞3。如此變換，復雜的問題就簡單多了，學生做題時也省去了不必要的麻煩。

三、變更自變量從而回避討論

某些分類討論問題中含有多個變量，可根據(jù)題目的結(jié)構(gòu)特點，選擇某個變量為自變量，來個“反客為主”，從而回避討論的繁瑣。

例如：

設，其中a ∈ R , n ∈ N 且n≥2當x∈ (? ∞,1]時f( x)有意義，求a的范圍。

本題中有三個變量a, n, x 。這里條件復雜，解題方向不明確，如果選取其中的a 為自變量，把n, x 看作常量，問題就迎刃而解了。

由于n≥2且有x∈ (? ∞,1]，所以

以上僅是我平時教學時的一些感觸。其實，在教學過程中，還有許多問題值得我們總結(jié)和思考。很多平時我們覺得很難的問題，只要換種角度去看待，即利用轉(zhuǎn)化的思想去分析研究，也許那些問題就不再深不可測了。當然這只是我個人的一點點想法，如有不當之處，敬請批評指正！