重視圖形幾何教學(xué)，提高學(xué)生推理能力

李樹臣??

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》（以下簡稱《課標(biāo)（2011年版）》）在“課程設(shè)計(jì)思路”中提出了十個(gè)核心概念，其中之一便是推理能力.針對(duì)推理能力，《課標(biāo)（2011年版）》進(jìn)一步解釋為“推理能力的發(fā)展應(yīng)貫穿于整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中.推理是數(shù)學(xué)的基本思維方式，也是人們學(xué)習(xí)和生活中經(jīng)常使用的思維方式.推理一般包括合情推理和演繹推理，合情推理是從已有的事實(shí)出發(fā)，憑借經(jīng)驗(yàn)和直覺，通過歸納和類比等推斷某些結(jié)果；演繹推理是從已有的事實(shí)（包括定義、公理、定理等）和確定的規(guī)則（包括運(yùn)算的定義、法則、順序等）出發(fā)，按照邏輯推理的法則證明和計(jì)算.在解決問題的過程中，合情推理用于探索思路，發(fā)現(xiàn)結(jié)論；演繹推理用于證明結(jié)論.”在“課程目標(biāo)”中指出：學(xué)生“在參與觀察、實(shí)驗(yàn)、猜想、證明、綜合實(shí)踐活動(dòng)中，發(fā)展合情推理能力和演繹推理能力，清晰地表達(dá)自己的想法”.

我們?cè)谡J(rèn)真研讀《課標(biāo)（2011年版）》）的“課程基本理念”和“教材編寫建議”的基礎(chǔ)上，在整體設(shè)計(jì)與呈現(xiàn)青島版《義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)》（七—九）的“數(shù)與代數(shù)”“圖形與幾何”“統(tǒng)計(jì)與概率”“綜合與實(shí)踐”四個(gè)部分的課程內(nèi)容時(shí)，“都盡可能地為學(xué)生提供觀察、操作、歸納、類比、猜測、證明的機(jī)會(huì)，發(fā)展學(xué)生的推理能力.”

平面幾何內(nèi)容歷來被認(rèn)為是培養(yǎng)學(xué)生推理能力的重要部分，我們?cè)谠O(shè)計(jì)青島版初中數(shù)學(xué)教科書中的幾何部分時(shí)，以培養(yǎng)學(xué)生的推理能力作為貫穿這部分內(nèi)容的主線之一，遵循“合情推理——演繹推理——合情推理與演繹推理相結(jié)合”的原則，采取“由淺入深”、“循序漸進(jìn)”的方式展開的，具體說來分為以下三個(gè)階段：1以發(fā)展合情推理為主，逐步培養(yǎng)學(xué)生的說理能力

這一階段主要包括6章內(nèi)容：七年級(jí)上冊(cè)第1章“基本的幾何圖形”，七年級(jí)下冊(cè)第8章“角”、第9章“平行線”、第13章“平面圖形的認(rèn)識(shí)”、八年級(jí)上冊(cè)第1章“全等三角形”、第2章“圖形的軸對(duì)稱”.

這些內(nèi)容都具有一個(gè)基本特點(diǎn)——?jiǎng)邮謱?shí)驗(yàn)，表現(xiàn)為研究圖形的方法是以直觀觀察、測量、展開、折疊、畫圖、度量、計(jì)算為主.這一階段的主要設(shè)計(jì)意圖是：

1.1培養(yǎng)學(xué)生的各種數(shù)學(xué)能力

在呈現(xiàn)本階段的幾何知識(shí)時(shí)，我們結(jié)合課程內(nèi)容，精心設(shè)計(jì)問題（串），以此引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行一系列的數(shù)學(xué)活動(dòng)，如觀察、實(shí)驗(yàn)、猜測、計(jì)算、探究、歸納等.學(xué)生在經(jīng)歷這些活動(dòng)的過程中，不僅能掌握“圖形與幾何”領(lǐng)域的基礎(chǔ)知識(shí)，形成相應(yīng)的基本技能，學(xué)會(huì)探索、發(fā)現(xiàn)幾何圖形性質(zhì)的一般方法，而且還能養(yǎng)成學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)的思維方式進(jìn)行思考的意識(shí)，增強(qiáng)發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力、分析和解決問題的能力.另外，學(xué)生在上述過程中還能感悟基本的數(shù)學(xué)思想方法、逐步積累基本的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).

案例1“三邊分別相等的兩個(gè)三角形全等”的探究發(fā)現(xiàn)過程.

“三邊分別相等的兩個(gè)三角形全等”的判定方法是八年級(jí)上冊(cè)第1章“全等三角形”中的內(nèi)容，教科書用“實(shí)驗(yàn)與探究”欄目給出了下面的問題情境：

（1）用三根木條制作一個(gè)三角形的架子（圖1），再用四根木條釘一個(gè)四邊形的架子（圖2①）.分別拉動(dòng)這兩個(gè)架子的邊框，你有什么發(fā)現(xiàn)？圖1圖2

（2）如果再取與圖1中的三根木條分別相等的木條，再制作一個(gè)三角形的架子，這兩個(gè)三角形架子的形狀、大小相同嗎？如果把其中一個(gè)三角形架子疊放在另一個(gè)三角形架子上，它們能重合嗎？

（3）通過這個(gè)實(shí)驗(yàn)，你能得出什么結(jié)論？

設(shè)計(jì)意圖青島版教科書把“三邊分別相等的兩個(gè)三角形全等”作為判定三角形全等的第四個(gè)方法，簡稱“SSS”，是在學(xué)習(xí)了“SAS”“ASA”“AAS”之后安排學(xué)習(xí)的.前兩個(gè)方法都是讓學(xué)生通過實(shí)驗(yàn)、操作、思考、探究發(fā)現(xiàn)的，第三個(gè)方法是第二個(gè)方法的推論，教科書是通過創(chuàng)設(shè)問題情境，引導(dǎo)學(xué)生通過交流活動(dòng)自主發(fā)現(xiàn)的.對(duì)于這個(gè)方法我們是用實(shí)驗(yàn)操作的方法引導(dǎo)學(xué)生自己得到的.學(xué)生通過操作（1）將會(huì)發(fā)現(xiàn)：用三根木條制作的三角形架子，當(dāng)木條的長度固定后，不論怎樣拉動(dòng)，它的形狀、大小不變.而對(duì)于四邊形的架子雖然它的四條邊的長度固定了，但它的四個(gè)角的大小并沒能隨之固定.因而拉動(dòng)邊框時(shí)，它的形狀、大小可以改變（圖2②）.操作（2）將發(fā)現(xiàn)用與這三根木條分別相等的三個(gè)木條制作的三角形架子與操作問題（1）得到的三角形架子完全重合，從而得到判定方法.

學(xué)生在探究這個(gè)判定方法的過程中，將會(huì)得到下面的性質(zhì)：只要三角形的三條邊的長度確定了，它的形狀和大小也就確定了，這個(gè)性質(zhì)是三角形的穩(wěn)定性，四邊形則具備不穩(wěn)定性.

這樣的設(shè)計(jì)對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生的探究發(fā)現(xiàn)能力、抽象概括能力等都是非常有益的，而且這樣的實(shí)驗(yàn)活動(dòng)又能將新知識(shí)與已有知識(shí)有機(jī)的結(jié)合起來，能增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)的主動(dòng)性、積極性，對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、解決問題的能力也具有重要的意義.

1.2為學(xué)習(xí)論證推理打好基礎(chǔ)

教科書從七年級(jí)下冊(cè)第8章“角”開始逐步滲透說理訓(xùn)練，目的是引導(dǎo)學(xué)生會(huì)進(jìn)行簡單的演繹推理活動(dòng)，并引入相對(duì)規(guī)范的、與證明階段相銜接的自然語言表達(dá)方式，逐步引導(dǎo)學(xué)生理解幾何命題之間的因果關(guān)系，為嚴(yán)格的演繹證明奠定基礎(chǔ).

案例2這兩條直線平行嗎？

教科書在七年級(jí)下冊(cè)第94“平行線的判定”中，通過引導(dǎo)學(xué)生動(dòng)手操作發(fā)現(xiàn)平行線的三個(gè)判定方法之后，為引導(dǎo)學(xué)生利用這些判定方法學(xué)會(huì)說理，也為論證推理做鋪墊，及時(shí)安排了這樣一個(gè)例題：

如圖3，點(diǎn)P，Q為直線AB上的兩點(diǎn)，分別

過點(diǎn)P，Q畫直線AB的垂線PC和DQ.直線PC與

直線QD平行嗎？為什么？

解：PC∥QD.

理由是：在圖3中，∠BPC與∠BQD是直線CP，

DQ被直線AB所截得的同位角.

因?yàn)镃P⊥AB，DQ⊥AB，所以∠BPC=90°，∠BQD=90°.

于是∠BPC=∠BQD，所以PC∥QD.

設(shè)計(jì)意圖本題作為平行線判定方法的應(yīng)用，從知識(shí)方面看，目的是讓學(xué)生進(jìn)一步理解和掌握平行線的判定方法，從訓(xùn)練推理能力的角度看，主要是對(duì)學(xué)生進(jìn)行三種語言相互轉(zhuǎn)換的訓(xùn)練，從說理的過程看，用了兩次“因果關(guān)系”進(jìn)行了簡單的推理：（1）因?yàn)镃P⊥AB，DQ⊥AB，所以∠BPC=90°，∠BQD=90°；（2）因?yàn)椤螧PC=∠BQD，所以PC∥QD.這樣的說理過程實(shí)質(zhì)上就是演繹推理的格式，學(xué)生經(jīng)過長時(shí)間類似的訓(xùn)練，就能逐步養(yǎng)成“以理服人”的習(xí)慣，也為后面將要學(xué)習(xí)的演繹推理做好準(zhǔn)備.

在教學(xué)這一階段的內(nèi)容時(shí)，教師要做到以下五點(diǎn)：

（1）以學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展水平和已有的經(jīng)驗(yàn)為基礎(chǔ)，精心設(shè)計(jì)問題系列，以此引導(dǎo)學(xué)生積極主動(dòng)的進(jìn)行探究活動(dòng).

（2）給學(xué)生留有足夠的進(jìn)行觀察、實(shí)驗(yàn)、猜測、計(jì)算、思考、探究等活動(dòng)的時(shí)間和空間.

（3）在學(xué)生探究的過程中給予必要的指導(dǎo)與幫助.

（4）引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)并習(xí)慣使用常用幾何用語；經(jīng)常性地進(jìn)行文字語言、符號(hào)語言、圖形語言的相互轉(zhuǎn)換訓(xùn)練.

（5）從簡單的因果關(guān)系開始，循序漸進(jìn)的進(jìn)行說理訓(xùn)練，促進(jìn)學(xué)生對(duì)因果關(guān)系的理解.2以演繹推理為主，培養(yǎng)學(xué)生推理論證能力

這一階段主要指八年級(jí)上冊(cè)第5章“幾何證明初步”.教科書首先引入定義、命題等概念，其次通過多個(gè)實(shí)例讓學(xué)生明確意識(shí)到，以前通過探究得到的一些結(jié)論只有通過嚴(yán)格的數(shù)學(xué)證明才能確認(rèn)其“真實(shí)性”.然后引導(dǎo)學(xué)生從已經(jīng)探究到的結(jié)論中選取8個(gè)作為“基本事實(shí)”，利用它們對(duì)某些結(jié)論進(jìn)行證明.

在證明“對(duì)頂角相等”和“同角的余角相等”時(shí)，第一次采用了“∵…，∴…”的符號(hào)語言.給出了定理的完整規(guī)范的證明過程，初步建立起了推理論證的“基本模式”：

（1）根據(jù)題意，畫出圖形；

（2）結(jié)合圖形，根據(jù)條件、結(jié)論，寫出已知、求證；

（3）找出由已知推出求證的途徑，寫出證明.

最后，教科書對(duì)平行線的性質(zhì)和判定及三角形內(nèi)角和定理等給出了嚴(yán)格的證明過程，并且又按照上述模式證明了十余個(gè)幾何定理.

這些問題的證明體現(xiàn)了證明過程的層次性要求：直接可用的條件由多到少；圖形及論證過程由簡單到復(fù)雜；從不需要添輔助線過渡到需要添加輔助線；從命題以“圖形和符號(hào)語言”形式給出到以“文字語言”形式給出等.這種設(shè)計(jì)安排體現(xiàn)了《課標(biāo)2011年版》提出的“重要的數(shù)學(xué)概念與數(shù)學(xué)思想要體現(xiàn)螺旋上升的原則”的精神，也符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律.

這樣設(shè)計(jì)的主要意圖是：（1）使學(xué)生掌握基本的證明方法，體會(huì)通過合情推理探索的某些結(jié)果，會(huì)用演繹推理加以證明，從而完成獲得數(shù)學(xué)結(jié)論的過程.（2）逐步積累探尋分析證明思路的經(jīng)驗(yàn).

案例3證明“線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端的距離相等.”

已知：CD是線段AB的垂直平分線，垂足為點(diǎn)M，P是直線CD上的任意一點(diǎn).

求證：PA=PB.

證明：①當(dāng)點(diǎn)P不與點(diǎn)M重合時(shí)（圖4）.

因?yàn)镻M⊥AB（已知），

所以∠PMA=∠PMB=90°（垂直平分線的定義）.

因?yàn)镻M=PM（公共邊），

MA=MB（垂直平分線的定義），

所以△PMA≌△PMB（SAS）.

所以PA=PB（全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等）.

②當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)M重合時(shí)，

因?yàn)镸A=MB（垂直平分線的定義），

所以PA=PB（等量代換）.

由①②可知，該命題成立.

設(shè)計(jì)意圖“線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端的距離相等.”在第一階段（八年級(jí)上冊(cè)第2章“圖形的軸對(duì)稱”中），同學(xué)們已經(jīng)利用線段的軸對(duì)稱性質(zhì)，通過對(duì)折的方法，探索得到，這是合情推理的結(jié)果.在學(xué)習(xí)了演繹推理的證明方法后，首先通過畫圖，寫出已知和求證.然后利用全等三角形性質(zhì)給予證明.在證明時(shí)，分兩種情況分別進(jìn)行，完成對(duì)這個(gè)命題的證明，從而得到線段垂直平分線的性質(zhì)定理.這樣設(shè)計(jì)主要是讓學(xué)生掌握定理的證明過程，明確探索過程與證明過程的區(qū)別和聯(lián)系.

推理證明是學(xué)生學(xué)習(xí)的重點(diǎn)，也是難點(diǎn).初學(xué)時(shí)，學(xué)生的困難主要表現(xiàn)在三點(diǎn)：（1）不知如何下手；（2）不會(huì)用證明的格式；（3）不會(huì)把有關(guān)的推理組合成完整的證明過程.

為幫助學(xué)生掌握并熟練使用推理論證的基本模式進(jìn)行推理，教師可從三方面入手：

（1）讓學(xué)生明確推理和證明的區(qū)別與聯(lián)系

所謂推理是從一個(gè)或幾個(gè)已知判斷中推出一個(gè)新的判斷的思維形式，是人們學(xué)習(xí)和生活中經(jīng)常使用的思維方式.例如，下面的三個(gè)例子就是數(shù)學(xué)中常見的推理：

例1：若兩個(gè)角是對(duì)頂角，則這兩個(gè)角相等.所以，如果兩個(gè)角不相等，那么這兩個(gè)角一定不是對(duì)頂角.

例2：因?yàn)槠叫兴倪呅蔚膶?duì)角線互相平分，而正方形是平行四邊形，所以正方形的對(duì)角線互相平分.

例3：積的乘方法則的發(fā)現(xiàn)過程

①通過給定問題情境，讓學(xué)生計(jì)算下面的結(jié)果：

（2a）2=2a×2a=（2×2）×（a×a）=4a2，

②在此基礎(chǔ)上，讓學(xué)生計(jì)算：（2a）3=？（2a）4=？

③一般地，設(shè)m是正整數(shù)，

（ab）m=（ab）·（ab）·…·（ab）m個(gè)（ab）=（a·a·…·a）m個(gè)a（b·b·…·b）m個(gè)b=ambm.

即（ab）m=ambm.

在例1中，“若兩個(gè)角是對(duì)頂角，則這兩個(gè)角相等”是已知判斷.根據(jù)“逆否命題相互等價(jià)”這一原理（已經(jīng)知道的判斷），得到“如果兩個(gè)角不相等，那么這兩個(gè)角一定不是對(duì)頂角”這一新的判斷.

例2由“平行四邊形的對(duì)角線互相平分”和“正方形是平行四邊形”這樣兩個(gè)已知的判斷，得出新的判斷“正方形的對(duì)角線互相平分”，這是利用一般原理推出特殊情況下的知識(shí).

在例3中，在對(duì)一些具體算式的觀察、比較的基礎(chǔ)上，通過合情推理，得到（ab）m=ambm.這是從對(duì)個(gè)別事實(shí)的研究中，得到一般性的結(jié)論.

這三個(gè)例子反映了兩種常見的推理：演繹推理（例1和例2）；合情推理（例3）.

而證明則是若干步推理的組合.如下面是“對(duì)頂角相等”的證明過程.

案例4證明“如果兩個(gè)角是對(duì)頂角，那么這兩個(gè)角相等.”

已知：如圖5，∠AOC和∠BOD是對(duì)頂角.

求證：∠AOC=∠BOD.

證明：因?yàn)椤螦OC和∠BOD是對(duì)頂角（已知），

所以∠AOC+∠AOD=180°，

∠AOD+∠BOD=180°（平角的定義）.

所以∠AOC+∠AOD=∠AOD+∠BOD（等量代換）.

所以∠AOC=∠BOD（等式的基本性質(zhì)）.

上面的證明過程就包括了三步推理：

由∠AOC和∠BOD是對(duì)頂角得到∠AOC+∠AOD=180°，∠AOD+∠BOD=180°是第一步推理，從上面兩個(gè)等式得到∠AOC+∠AOD=∠AOD+∠BOD是第二步推理，再由∠AOC+∠AOD=∠AOD+∠BOD得到∠AOC=∠BOD是第三步推理.

（2）引導(dǎo)學(xué)生熟悉推理證明的基本要求

證明一個(gè)命題的過程是，明確命題的條件和結(jié)論，正確地寫出已知和求證，會(huì)用數(shù)學(xué)符號(hào)語言進(jìn)行表達(dá)；有效的實(shí)現(xiàn)符號(hào)語言與圖形語言的轉(zhuǎn)化；明確每一步推理依據(jù)并能準(zhǔn)確的表達(dá)推理的過程.同時(shí)還應(yīng)注意引導(dǎo)學(xué)生分析證明的思路和方法，通過一定數(shù)量的推理證明訓(xùn)練，逐步使學(xué)生掌握綜合法證明的格式和敘述方法.

（3）留給學(xué)生獨(dú)立思考的時(shí)間和空間

在學(xué)習(xí)演繹推理的過程中，學(xué)生由已知判斷得到一個(gè)新的并且對(duì)證明給定問題有用的判斷需要進(jìn)行思考、分析才能確定，這個(gè)過程需要一定的時(shí)間，所以教師必須留給學(xué)生相應(yīng)的思考與交流的時(shí)間和空間.另外，學(xué)生從開始接觸推理論證的基本模式，到能自覺的使用這種格式規(guī)范的書寫證明過程，需要一個(gè)較長的過程，學(xué)生只有進(jìn)行“足量、適量”的練習(xí)之后，才能達(dá)到這一要求，不可一蹴而就.3合情推理和論證推理相輔相成，提升學(xué)生推理能力

在圖形與幾何部分，教科書始終把合情推理和邏輯推理這兩種方式相互交融在一起，在正式學(xué)習(xí)八年級(jí)上冊(cè)第5章“幾何證明初步”之前的各章，以合情推理為主，逐步滲透邏輯推理（說理），同時(shí)也為以后正式學(xué)習(xí)幾何證明做好知識(shí)和思想方法的鋪墊.該章之后，則以合情推理和邏輯推理相輔相成的方式，利用合情推理探索命題，再通過邏輯推理證明結(jié)論，使學(xué)生逐步學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的思維方式發(fā)現(xiàn)問題、提出問題，分析問題和解決問題，以不斷提高學(xué)生的數(shù)學(xué)探究能力和推理論證能力.

這一階段大致包括4章內(nèi)容：八年級(jí)下冊(cè)第6章“平行四邊形”，第11章“圖形的平移和旋轉(zhuǎn)”、九年級(jí)上冊(cè)第1章“圖形的相似”、第3章“對(duì)圓的進(jìn)一步認(rèn)識(shí)”.綜合運(yùn)用合情推理和演繹推理研究圖形，采用“邊探索，邊證明”的方式學(xué)習(xí)了大量的性質(zhì)定理和判定定理.

主要設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生用合情推理探索思路，發(fā)現(xiàn)結(jié)論，用演繹推理證明結(jié)論.讓學(xué)生搞清定理的來源，分清它們的條件和結(jié)論，弄清抽象、概括或證明的過程.做到既知其然，又知其所以然.實(shí)現(xiàn)《課標(biāo)（2011年版）》提出的“體會(huì)通過合情推理探索數(shù)學(xué)結(jié)論，運(yùn)用演繹推理加以證明的過程，在多種形式的數(shù)學(xué)活動(dòng)中，發(fā)展合情推理能力與演繹推理能力”的目的.

案例5“一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形”的發(fā)現(xiàn)與證明過程.

對(duì)于這個(gè)定理，教科書是用以下三個(gè)問題引導(dǎo)學(xué)生“先發(fā)現(xiàn)，再證明”的：

（1）根據(jù)平行四邊形的定義，兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形，如果把定義中的“兩組對(duì)邊平行”改為“一組對(duì)邊平行且相等”，你能畫出滿足這兩個(gè)條件的四邊形嗎？

（2）觀察你得到的四邊形，你猜測它是平行四邊形嗎？

（3）能證明你的猜測是正確的嗎？

已知：如圖6，在四邊形ABCD中，AD∥BC，AD=BC.

求證：四邊形ABCD是平行四邊形.圖6圖7

證明：如圖7，連接AC.因?yàn)锳D∥BC，所以∠1=∠2.

因?yàn)锳D=BC，AC=CA，所以△CDA≌△ABC（SAS）.

所以∠3=∠4.所以AB∥CD.

所以四邊形ABCD是平行四邊形.

設(shè)計(jì)意圖本題的設(shè)計(jì)分為“畫圖——猜想——證明”三部分.首先從平行四邊形的定義出發(fā)，通過將“兩組對(duì)邊平行”改為“一組對(duì)邊平行且相等”，引導(dǎo)學(xué)生按照新的條件自己動(dòng)手畫出圖形；然后在觀察所畫圖形的基礎(chǔ)上，發(fā)現(xiàn)新的命題，提出猜想“一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形.”最后探索命題的證明過程.在此基礎(chǔ)上得到判定定理1.后面將要學(xué)習(xí)的幾個(gè)平行四邊形的判定定理也是這樣安排的.這種設(shè)計(jì)既能培養(yǎng)學(xué)生的合情推理能力，又能培養(yǎng)演繹推理能力，而且對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題和解決問題的能力也是非常有必要的.

在數(shù)學(xué)性質(zhì)、定理的教學(xué)中，教師要把重點(diǎn)放在引導(dǎo)學(xué)生探索性質(zhì)、定理的發(fā)現(xiàn)過程，證明思路的猜測過程以及證明方法的嘗試過程上，因?yàn)閷W(xué)生在經(jīng)歷探索、猜測、嘗試的過程中，能發(fā)展其合情推理能力和演繹推理能力，并能有條理地、清晰地闡述自己的觀點(diǎn).

教科書在呈現(xiàn)幾何內(nèi)容時(shí)，從培養(yǎng)學(xué)生推理能力的角度看，經(jīng)歷了三個(gè)階段.這就決定了在數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)把既教會(huì)學(xué)生猜想，又能把握證明；既能合情推理，又能嚴(yán)格論證作為教學(xué)的指導(dǎo)思想.按照“合情推理——演繹推理——用合情推理探索思路，用演繹推理證明”的過程，逐步培養(yǎng)和提高學(xué)生的推理能力，形成良好的數(shù)學(xué)思維習(xí)慣，實(shí)現(xiàn)《課標(biāo)（2011年版）》提出的“人人都獲得良好的數(shù)學(xué)教育，不同的人在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展”的課程基本理念和課程目標(biāo).