除草用四足機(jī)器人穩(wěn)定性的判定與分析

張皓然，戈振揚，于英杰，陳林，丁巍，盧衷正

(昆明理工大學(xué)現(xiàn)代農(nóng)業(yè)工程學(xué)院，云南 昆明 650500)

除草機(jī)器人代替人工除草，能減輕勞動強(qiáng)度，減少化學(xué)除草劑的使用，減輕對環(huán)境的污染[1–3]。除草機(jī)器人多為輪式或履帶式，四足機(jī)器人因其承載能力強(qiáng)、穩(wěn)定性好、結(jié)構(gòu)簡單[4–5]而優(yōu)于雙足和六足機(jī)器人。四足機(jī)器人具有良好的抗干擾能力和較高的運動穩(wěn)定性[6–7]，是保障其快速有效除草的關(guān)鍵，必須選擇合理的參數(shù)來評價穩(wěn)定性[8–9]。目前對四足仿生機(jī)器人運動穩(wěn)定性的評判方法有重心投影法、零力矩點法、壓力中心法、力–角穩(wěn)定性度量法等，這些方法主要是針對單一的判據(jù)進(jìn)行分析，使得評判的可靠性不高[10]，而在不規(guī)則環(huán)境中受到多因素影響的綜合評價指標(biāo)尚未見報道。筆者通過幾何分析和公式推導(dǎo)，得出除草用四足機(jī)器人在不規(guī)則農(nóng)田環(huán)境下行走時判定標(biāo)準(zhǔn)的計算方法，運用數(shù)值模擬研究地面傾角、外載荷及外力矩對機(jī)器人穩(wěn)定性的影響，并進(jìn)行了試驗驗證。

1 穩(wěn)定性判定方法

對已有的穩(wěn)定性判定方法進(jìn)行綜合分析，結(jié)合文獻(xiàn)[12]和[13]的力–角穩(wěn)定性度量法及穩(wěn)定錐法，考慮模塊化研究，各模塊運用合適的判據(jù)進(jìn)行權(quán)重分析，在此基礎(chǔ)上提出了三棱錐法。在進(jìn)行三棱錐法的推導(dǎo)時，作如下假設(shè)[11]。

1) 除草用四足機(jī)器人足底與地面為點接觸，即在地面與足底之間僅有作用力，而沒有作用力矩的傳遞。

2) 穩(wěn)定性分析僅考慮機(jī)器人的傾翻平衡性，忽略足底與地面的相對滑動，即假設(shè)足底與地面間的摩擦力無窮大。

圖1 為占空比與周期對應(yīng)曲線，占空比是機(jī)器人某條腿處于支撐狀態(tài)的時間與周期的比值。一個周期內(nèi)，除草用四足機(jī)器人在行走、作業(yè)時，一般處于靜態(tài)步行狀態(tài)，其占空比ρ，大小為3/4≤ρ＜1，也就是在任何時刻除草機(jī)器人在步行過程中最少有三足支撐機(jī)體，構(gòu)成支撐凸多邊形。

圖1 不同占空比下的周期 Fig.1 Cycle time of different duty factor

對三棱錐法進(jìn)行定義，如圖2 所示。除草機(jī)器人的重心為棱錐的頂點O，n 為過重心O 的向量，由除草機(jī)器人的四足與地面的接觸點作為棱錐的地面角點，以俯視時順時針方向進(jìn)行標(biāo)記，記為Pj(j=1，2，3)，由角點連接而成的凸多邊形作為三棱錐的底面，β 是除草機(jī)器人沿軸線傾翻的穩(wěn)定角，θ 為機(jī)器人沿角點傾翻的穩(wěn)定角。

圖2 穩(wěn)定三棱錐示意圖 Fig.2 Triangular pyramid method definition

棱錐頂點O 到角點的向量按照角點記為 Pj，則

式中：Pjx為該點在X 軸上的坐標(biāo)值，Pjy、Pjz同義。

兩角點間的直線亦即穩(wěn)定棱錐的底邊定義為傾翻軸線，其向量記為：

過機(jī)器人重心O 作與傾翻軸線的法線向量為：

式中：ejb為bj的法向量，

2 穩(wěn)定性參數(shù)的計算

2.1 靜態(tài)穩(wěn)定性分析

當(dāng)除草機(jī)器人沿軸線傾翻時，軸線傾翻穩(wěn)定角β 即為傾翻軸線的法線 jL 和機(jī)器人重心向量n 的夾角，可由(4)式得出。

當(dāng)機(jī)器人沿角點傾翻時，角點傾翻穩(wěn)定角可由式(5)得出。

由上述可知，有軸線傾翻穩(wěn)定角和角點傾翻穩(wěn)定角，從機(jī)器人整體穩(wěn)定性來看，取角點傾翻角和與其相鄰的2個軸線傾翻角，即：

若要使除草機(jī)器人保持穩(wěn)定，必須選取上述角度中的最小值，亦即最小穩(wěn)定角γ。

從式(8)可知，γ 越大，機(jī)器人越穩(wěn)定。一般來說，臨界傾翻發(fā)生在γ=0 時，當(dāng)γ<0 時，除草機(jī)器人會發(fā)生傾翻，所以，由上述推導(dǎo)可以發(fā)現(xiàn)，要使除草機(jī)器人保持穩(wěn)定，在靜力學(xué)上需找到一個較大的穩(wěn)定角γ。

2.2 動力穩(wěn)定性分析

除草機(jī)器人在不規(guī)則環(huán)境中進(jìn)行除草作業(yè)行走時，易受到外載荷的影響。如果F 和M 分別為外部作用于機(jī)器人重心的合力及合力矩，m 為機(jī)器人的質(zhì)量，則機(jī)器人受到外載荷時與重力共同作用于重心的合力為F+mg， 故沿傾翻軸線的合外力可用(9)式表達(dá)。

由于有M 的存在，故導(dǎo)致傾翻的作用力可等效為式(10)。

穩(wěn)定角γ 則可由式(4) ～式(8)和式(10)計算得到。

在對機(jī)器人進(jìn)行動力學(xué)穩(wěn)定性分析時，還需考慮除草機(jī)器人傾翻時的能量問題[14]，應(yīng)該考慮在動態(tài)情況下機(jī)器人繞傾翻軸線或者傾翻角點傾翻所消耗的最小能量。

式中： h 為棱錐重心到底面的距離。

對式(11)中E、h 和g 分別用dim(E)=FL=ML2T–2，dim(h)=L 和dim(g)= LT–2進(jìn)行無量綱化處理，則式(11)變?yōu)?/p>

2.3 傾翻性能系數(shù)

為了使除草機(jī)器人有最大的穩(wěn)定性，引入傾翻性能系數(shù)η 作為機(jī)器人傾翻穩(wěn)定性綜合評價指標(biāo)。

式中：jγ 為穩(wěn)定計算角，由式(8)定義；φ為除草用四足機(jī)器人繞軸線傾翻時的權(quán)重影響系數(shù)，其取值由動、靜力因素和傾翻軸線與運動方向的關(guān)系決定。當(dāng)傾翻軸線與除草機(jī)器人運動方向重合或夾角很小時，說明機(jī)器人遇到障礙或者地形發(fā)生變化等，該系數(shù)應(yīng)適當(dāng)增加。ψ 為除草用四足機(jī)器人繞棱錐角點傾翻的權(quán)重影響系數(shù)，在不規(guī)則地面或受到外力并且有棱錐角點離機(jī)器人重心較近時，可能會發(fā)生傾翻現(xiàn)象，該系數(shù)可適當(dāng)增加。φ 為除草用四足機(jī)器人發(fā)生傾翻時能量的權(quán)重影響系數(shù)，該系數(shù)需要考慮機(jī)器人在不規(guī)則地面的運動方向、慣性力、外載荷等，其值視情況而定。

3 穩(wěn)定性數(shù)值模擬及分析

3.1 初始參數(shù)

為了更直觀地對穩(wěn)定性進(jìn)行分析，根據(jù)除草機(jī)器人的實際設(shè)計尺寸，在MATLAB 中進(jìn)行了計算并仿真。假定機(jī)器人質(zhì)量分布均勻，在靜態(tài)情況下由圖2 所示坐標(biāo)系采集到穩(wěn)定棱錐角點坐標(biāo)，參照文獻(xiàn)[15]所選擇的權(quán)重系數(shù)取值如表1 所示。其他初始化條件如下：機(jī)器人質(zhì)量(m)2 kg，外載荷合力(F) 0～30 N，合外力矩(M)為0～15 N·m，地面傾斜角度0°～45°，傾角方向與機(jī)器人運動方向相同。仿真時間為30 s，速度為5 cm/s，采樣數(shù)據(jù)16個，根據(jù)(1)～(13)進(jìn)行計算，根據(jù)式(8)和(13)考慮除草機(jī)器人的最小穩(wěn)定角和傾翻性能系數(shù)。

表1 穩(wěn)定棱錐參數(shù) Table 1 Stability pyramid parameters

3.2 最小穩(wěn)定角分析

圖3 為最小穩(wěn)定角的計算值與擬合值。從圖3可以看出,最小穩(wěn)定角隨時間增加呈減小趨勢，計算得到最小穩(wěn)定角最小值為10°，表示此時除草機(jī)器人在穩(wěn)定角為10°的時候發(fā)生傾翻，穩(wěn)定性差；最小穩(wěn)定角最大值為35°，表示在機(jī)器人穩(wěn)定角最大為35°時發(fā)生傾翻，穩(wěn)定性較好。從計算值分布來看，存在離散現(xiàn)象，說明三棱錐角點坐標(biāo)規(guī)律性不好。影響機(jī)器人落足點的因素很多，部分兩點之間誤差較大是因為此時除草用機(jī)器人落足點地面情況變化大，導(dǎo)致兩點的坐標(biāo)變化較大。

對圖3 中最小穩(wěn)定角的變化進(jìn)行回歸分析，運用最小二乘法對所得數(shù)據(jù)進(jìn)行三次曲線擬合，最小穩(wěn)定角γ 近似呈回歸式拋物線規(guī)律，擬合值與計算值相關(guān)程度高，相關(guān)系數(shù)為0.979 6，這表明所給出的數(shù)值計算方法可行。

圖3 最小穩(wěn)定角計算值與擬合值 Fig.3 The computed and fittedminimum stability angle

3.3 傾翻性能系數(shù)分析

圖4 –a 給出了在合外力矩一定時，合外力和地面傾角對傾翻性能系數(shù)的影響曲面，傾翻性能系數(shù)波動較大，說明隨合外力的增加和地面傾角的變大，傾翻性能系數(shù)變化顯著，且呈先減小后明顯增加趨勢。在合外力為11～13 N，地面傾角約為0°時，傾翻性能系數(shù)最小，為2.03，表明此時機(jī)器人發(fā)生傾翻的可能性小，穩(wěn)定性高。在合外力為21 N，地面傾角為45°時，傾翻性能系數(shù)達(dá)到最大，為7.32，表明此時機(jī)器人發(fā)生傾翻的可能性很大，穩(wěn)定性差。

圖4–b 給出了在合外力一定時，合外力矩和地面傾角對傾翻性能系數(shù)的影響曲面，傾翻性能系數(shù)較平穩(wěn)，說明隨合外力矩和地面傾角的增加，傾翻性能系數(shù)變化不顯著，呈平緩增大趨勢。在合外力矩為15 N·m，地面傾角為45°時，傾翻性能系數(shù)最大為4.01。

與合外力矩及地面傾角相比，合外力及地面傾角對機(jī)器人穩(wěn)定性的影響更大，地面傾角對機(jī)器人穩(wěn)定性的影響接近線性單調(diào)。

圖4 傾翻性能系數(shù)響應(yīng)曲面 Fig.4 Response surface of influence of tip-over coefficient

4 試驗驗證

為進(jìn)一步驗證除草機(jī)器人穩(wěn)定性評價方法的可行性，試驗驗證除草機(jī)器人的穩(wěn)定狀態(tài)，主要考慮其最小穩(wěn)定角度。根據(jù)其結(jié)構(gòu)模型制作的小型四足機(jī)器人，其足底有圓形彈性體，與地面近似于點接觸，并且彈性體粗糙，與地面摩擦力大，滿足三棱錐法所作假設(shè)，主要參數(shù)：長170 mm，寬130 mm，高140 mm，總質(zhì)量2 kg(含電池)。結(jié)構(gòu)采用內(nèi)膝肘式，單腿設(shè)置髖關(guān)節(jié)、膝關(guān)節(jié)2個自由度，由上位機(jī)通過USB 線連接舵機(jī)控制板后，在上位機(jī)中編寫動作組對8個舵機(jī)實施控制。

試驗在溫室玉米地進(jìn)行。用薄底板依次傾斜疊加0°～45°，對在30 s 內(nèi)除草機(jī)器人行走發(fā)生傾翻的角度進(jìn)行測量。將所測角度值與預(yù)測所得的最小穩(wěn)定角度值對比，結(jié)果如圖5 所示。試驗值與預(yù)測值的數(shù)據(jù)點分布近似，大部分?jǐn)?shù)值相近。經(jīng)過計算，兩者平均相對誤差為9.46%。從開始到第2 秒時，2個值都增大，兩者之間誤差略微減?。粡牡? 秒到第30 秒結(jié)束，2 值均呈現(xiàn)先減小、后增加、再減小的趨勢，兩者之間誤差在第2 秒到第20 秒都增大，在20 s 到28 s 誤差減小，28 s 到30 s 誤差增大。

圖5 最小穩(wěn)定角仿真值與試驗值 Fig.5 Fitted and experiment values ofminimum stability angle

5 結(jié)論

在提出三棱錐法的基礎(chǔ)上，對除草用四足機(jī)器人在不規(guī)則農(nóng)田地面上運動受到慣性力和外載荷等因素影響的穩(wěn)定性判定標(biāo)準(zhǔn)及綜合指標(biāo)進(jìn)行了推導(dǎo)。

通過數(shù)值模擬計算的最小穩(wěn)定角與試驗值相比，平均相對誤差為9.46%，與最小二乘法擬合所得曲線相關(guān)程度高，說明了方法具有可行性。

合外力及地面傾角對機(jī)器人穩(wěn)定性的影響顯著，傾翻性能系數(shù)變化明顯。合外力矩及地面傾角對機(jī)器人穩(wěn)定性影響不顯著，傾翻性能系數(shù)變化平緩。地面傾角對傾翻性能系數(shù)的影響近似成線性關(guān)系。

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