GM(1，1)模型在數(shù)控磨床可靠性預(yù)測中的應(yīng)用* ＊

范晉偉 周中源 王澤立 苗 偉

(北京工業(yè)大學(xué)機(jī)械工程與應(yīng)用電子技術(shù)學(xué)院，北京100124)

數(shù)控磨床是復(fù)雜的集機(jī)、電、液于一體的高技術(shù)設(shè)備，是現(xiàn)代化產(chǎn)品加工生產(chǎn)的重要工具。然而，數(shù)控磨床在實(shí)際生產(chǎn)中經(jīng)常發(fā)生故障停機(jī)，對(duì)企業(yè)的可持續(xù)生產(chǎn)產(chǎn)生嚴(yán)重影響，直接關(guān)系到企業(yè)的經(jīng)濟(jì)效益。所以，磨床生產(chǎn)商為了增強(qiáng)自身的市場競爭力，對(duì)用戶磨床可靠性的預(yù)測提出了迫切的要求。

數(shù)控磨床可靠性預(yù)測的方法主要可以分為兩類:一類是基于實(shí)際經(jīng)驗(yàn)的預(yù)測方法，即由有經(jīng)驗(yàn)的專業(yè)人員在調(diào)查、采樣等工作的基礎(chǔ)上，結(jié)合當(dāng)時(shí)的實(shí)際情況，做出預(yù)測;另一類方法是建立在歷史數(shù)據(jù)和經(jīng)驗(yàn)數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)上，先建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，然后利用數(shù)學(xué)模型進(jìn)行預(yù)測。第1 種預(yù)測方法需要積累很多經(jīng)驗(yàn)，因此不容易學(xué)習(xí)，傳承性很差，而且預(yù)測的準(zhǔn)確率比較低，預(yù)測過程沒有堅(jiān)實(shí)的理論基礎(chǔ)，說服力比較差;而第2 種方法在預(yù)測數(shù)控磨床可靠性方面應(yīng)用比較廣泛，預(yù)測準(zhǔn)確率較高，而且預(yù)測過程以數(shù)學(xué)理論知識(shí)為基礎(chǔ)，說服力比較強(qiáng)［1］。本文在第2 類方法的基礎(chǔ)上提出運(yùn)用灰色GM(1，1)模型對(duì)數(shù)控磨床的可靠性進(jìn)行了科學(xué)預(yù)測，為磨床用戶提供可靠的預(yù)測結(jié)果。

1 灰色系統(tǒng)基本原理

1.1 灰色系統(tǒng)基本概念

灰色系統(tǒng)(gray system)是指信息不完全、不確定的系統(tǒng)，灰色問題(gray problem)是指結(jié)構(gòu)、特征、參數(shù)信息不完備的問題［2］。

系統(tǒng)不完全是指:系統(tǒng)因素不完全明確;因素關(guān)系不完全清楚;系統(tǒng)結(jié)構(gòu)不完全知道;系統(tǒng)的作用原理不完全明了。

1.2 灰色系統(tǒng)建模理論

模型是一個(gè)系統(tǒng)各種因素(變量)之間的數(shù)學(xué)關(guān)系?；疑到y(tǒng)理論建模的主要任務(wù)，是根據(jù)工程設(shè)計(jì)、社會(huì)、經(jīng)濟(jì)等系統(tǒng)的行為特征數(shù)據(jù)，尋找因素之間或者因素本身的數(shù)學(xué)關(guān)系?，F(xiàn)有的其他建模方法是用離散的數(shù)據(jù)建立一個(gè)按時(shí)間做逐段分析的模型，即遞推的離散模型。但是這種離散的數(shù)學(xué)模型有很大的局限性，因?yàn)檫@種方法建立起來的模型，只能表現(xiàn)出系統(tǒng)輸入與輸出之間的關(guān)系，而不能讓人們依據(jù)此模型把握系統(tǒng)的內(nèi)部本質(zhì)。因此人們希望能建立系統(tǒng)的微分方程，因?yàn)槲⒎址匠炭梢詼?zhǔn)確地把握要辨識(shí)的系統(tǒng)內(nèi)部本質(zhì)。但是微分方程模型可否建立及如何建立，用通常的方法難以給出確定的答案，灰色系統(tǒng)理論通過將任何隨機(jī)過程都看作是灰色過程，進(jìn)而建立其近似的微分方程，即灰微分方程?；疑到y(tǒng)理論是利用數(shù)據(jù)間的關(guān)系，來尋找系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，從而對(duì)灰色過程建立灰微分方程［3］。

GM 模型即灰色模型(gray model)，是用原始數(shù)列做一次累加生成后，利用累加數(shù)列建立灰色微分方程。由于系統(tǒng)被噪聲污染之后，原始數(shù)列呈現(xiàn)出離亂的情況，離亂的數(shù)列即灰色數(shù)列，或者灰色過程，灰色模型就是對(duì)灰色過程所建立的模型［4］。

設(shè)X(0)為非負(fù)準(zhǔn)光滑序列，則X(0)一次累加生成序列X(1)具有準(zhǔn)指數(shù)規(guī)律，這是灰色系統(tǒng)建模的理論基礎(chǔ)。一般的非負(fù)準(zhǔn)光滑序列經(jīng)過累加生成后，都會(huì)減少隨機(jī)性，呈現(xiàn)出近似的指數(shù)增長規(guī)律，原始序列越光滑，生成后指數(shù)規(guī)律也就越明顯?；疑Ｊ抢秒x散的時(shí)間序列建立1 個(gè)近似連續(xù)的微分模型，在這一過程中，利用累加手段生成函數(shù)，其生成函數(shù)是灰色建模、預(yù)測的基礎(chǔ)［5］。

2 灰色GM(1，1)模型

GM(1，1)是最常用的一種灰色模型［6］，是由1 個(gè)包含單變量的一階微分方程構(gòu)成的模型。GM(1，1)模型的含義:其中G 代表灰色，M 表示模型，兩個(gè)1 分別表示一階微分方程和1 個(gè)變量。此模型的表達(dá)形式為:

式中:X(0)(t)為原始數(shù)據(jù)序列，X(0)t≥0，t=1，2，3，…，n;Z(1)(t)為由原始數(shù)據(jù)列生成的鄰均值數(shù)據(jù)列。

按照以下步驟建立GM(1，1)模型:

(1)利用原始數(shù)據(jù)生成數(shù)據(jù)序列

應(yīng)用累加生成法對(duì)原始故障數(shù)據(jù)進(jìn)行生成處理，通過累加體現(xiàn)灰色量積累過程的發(fā)展態(tài)勢，使離亂的原始數(shù)據(jù)的規(guī)律充分顯露出來，從而建立灰色預(yù)測模型。

設(shè)原始故障數(shù)據(jù)為:

式中:上標(biāo)(0)表示原始數(shù)據(jù)列;n 表示數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)。

設(shè)累加生成的新數(shù)據(jù)列為:

式中:上標(biāo)(1)表示經(jīng)過一次累加生成的數(shù)據(jù)。

(2)對(duì)X(0)進(jìn)行光滑準(zhǔn)指數(shù)檢驗(yàn)

灰色模型是針對(duì)符合光滑離散函數(shù)的數(shù)據(jù)建立的預(yù)測模型，同時(shí)認(rèn)定生成數(shù)列具有準(zhǔn)指數(shù)規(guī)律，建立灰色預(yù)測模型時(shí)，首先要對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行光滑離散檢驗(yàn)，然后再進(jìn)行準(zhǔn)指數(shù)檢驗(yàn)，只有兩項(xiàng)都通過后才能建立灰色預(yù)測模型，否則采用其他方法進(jìn)行預(yù)測。

對(duì)序列X(0)，光滑比ρ(t)=X(0)(t)，X(1)(t－1)，若ρ(t+1)，ρ(t)＜1，ρ(t)∈ [ 0，0.5 ]，則稱序列為光滑序列，只有該序列滿足了準(zhǔn)光滑性的條件，才能建模進(jìn)行預(yù)測。

對(duì)序列X(1)，級(jí)比σ(t)=X(1)(t) ，X(1)(t－1) ，若?t，σ(t)=∈ [a，b] ，b－a=δ，δ ＜0.5 ，則稱序列具有準(zhǔn)指數(shù)規(guī)律。只有序列X(1)滿足準(zhǔn)指數(shù)規(guī)律，才能進(jìn)行建模預(yù)測。

(3)建立GM(1，1)模型的基本形式

對(duì)序列X(1)做緊鄰均值生成，得序列:

其中

將X(1)(t)擬合成一階線性微分方程X(0)(t)+aZ(1)(t)=b。

(4)模型的參數(shù)估計(jì)

按最小二乘法求得參數(shù)a、b 的估計(jì)值。若a^=(a，b)T為參數(shù)列，且

解方程X(0)(t)+aZ(1)(t)=b，求得GM(1，1)預(yù)測模型為:

求X(1)的模擬值

(5)模型精度檢驗(yàn)

常用的檢驗(yàn)?zāi)Ｐ途鹊姆椒ㄓ袣埐顧z驗(yàn)、關(guān)聯(lián)度檢驗(yàn)、后驗(yàn)差檢驗(yàn)。這幾種方法都是通過對(duì)殘差的考察來判斷模型的精度。一般情況下常用相對(duì)誤差檢驗(yàn)，也可以同時(shí)用這幾種方法檢驗(yàn)。本文用平均相對(duì)誤差檢驗(yàn)?zāi)Ｐ途取?/p>

①計(jì)算殘差

①求相對(duì)誤差

相對(duì)誤差序列

③模擬精度檢驗(yàn)表

根據(jù)表、將Δ－與相對(duì)誤差a 進(jìn)行比較，確定模型精度。

表1 精度等級(jí)表

3 實(shí)例應(yīng)用

根據(jù)某機(jī)床廠提供的同一型號(hào)數(shù)控磨床的故障數(shù)據(jù)，應(yīng)用上述灰色預(yù)測模型，預(yù)測該型號(hào)磨床后續(xù)故障趨勢及下次故障時(shí)間，故障數(shù)據(jù)如表2 所示。

表2 數(shù)控磨床故障時(shí)間

(1)初步建立預(yù)測模型

此型號(hào)數(shù)控磨床整機(jī)故障原始時(shí)間序列為:

X(0)= (384，408，480，552，576，648，696，768，864，936，1 176，1 344)。

根據(jù)公式(3)作累加生成的新序列為:

X(1)=(384，792，1 272，1 824，2 400，3 048，3 744，4 512，5 376，6 312，7 488，8 832)，對(duì)故障序列X(0)作光滑性檢驗(yàn)，根據(jù)上述光滑比計(jì)算公式，得計(jì)算結(jié)果為:

得到ρ(1)=1.06，ρ(2)=0.61，ρ(3)=0.43 ＜0.5，…，ρ(11)=0.18 ＜0.5，所以當(dāng)t ＞2 時(shí)，序列X(0)滿足準(zhǔn)光滑條件;

對(duì)故障序列X(1)作準(zhǔn)指數(shù)規(guī)律檢驗(yàn)，根據(jù)上述計(jì)算公式得到計(jì)算結(jié)果為:

σ(t)= (2.06，1. 61，1. 43，1. 32，1. 27，1. 23，1.21，1.19，1.17，1.19，1.18);

得到σ(2)=1.61，σ(3)=1.43∈ [ 1，1.5 ]，…，σ(11)=1.18∈[ 1，1.5 ]，所以當(dāng)t ＞2 時(shí)，序列X(1)滿足準(zhǔn)指數(shù)規(guī)律檢驗(yàn);

由上面兩點(diǎn)可知，數(shù)控磨床故障數(shù)據(jù)列滿足光滑性要求，下面對(duì)其建立GM(1，1)預(yù)測模型。

(2)建立GM(1，1)預(yù)測模型

①根據(jù)公式(6)，對(duì)X(1)作緊鄰均值生成得到序列為:

令

②參數(shù)估計(jì)

對(duì)參數(shù)進(jìn)行最小二乘估計(jì)，得到下面估計(jì)結(jié)果:

③根據(jù)公式(7)確定模型時(shí)間響應(yīng)式為:

④根據(jù)上式求得X(1)的模擬值為:

表3 模型檢驗(yàn)

即X(0)(t)=353.72 ×e0.1164t，t =1，2，…，n。預(yù)測模型相應(yīng)的函數(shù)曲線如圖1 所示。

此型號(hào)數(shù)控磨床在考核期內(nèi)發(fā)生了12 次故障，根據(jù)故障預(yù)測模型函數(shù)可知，它可能在1 606.3 h 發(fā)生第13 次故障。

4 結(jié)語

運(yùn)用灰色GM(1，1)模型預(yù)測對(duì)數(shù)控磨床原始故障數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，得到的序列具有較好的準(zhǔn)光滑性，其累加生成序列也具有良好的準(zhǔn)指數(shù)規(guī)律，有效地提高了預(yù)測的精確度和可靠度，較好地解決了統(tǒng)計(jì)樣本數(shù)據(jù)少、信息貧乏的難題。通過建立的故障預(yù)測模型成功地預(yù)測出了數(shù)控磨床下次故障時(shí)間，這樣就為維修人員提供了理論依據(jù)，他們可以及時(shí)對(duì)磨床進(jìn)行檢查，發(fā)現(xiàn)潛在的故障予以解除，減少停機(jī)時(shí)間，為企業(yè)帶來生產(chǎn)效益。

［1］余香梅，羅良玲. 基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的數(shù)控機(jī)床可靠性預(yù)測的研究與實(shí)現(xiàn)［J］. 現(xiàn)代機(jī)械，2007(2):50 －52.

［2］鄧聚龍. 灰色系統(tǒng)理論教程［M］. 武漢:華中理工大學(xué)出版社，1990.

［3］孫要偉.灰色神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)GNNM(1，1)批處理算法的收斂性［D］. 大連:大連理工大學(xué)，2009.

［4］鐘珞，饒文碧，鄒承明.人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)及其融合應(yīng)用技術(shù)［M］.北京:科學(xué)出版社，2007:91 －92.

［5］王自力.航空可靠性工程技術(shù)與應(yīng)用［M］. 北京:國防工業(yè)出版社，2009:299 －300.

［6］朱曉翠.基于灰色理論的數(shù)控機(jī)床可靠性及維修性分析技術(shù)［D］.長春:吉林大學(xué)，2013.