構(gòu)造方差代換 巧解范圍問題

石才英

中學(xué)數(shù)學(xué)中的方差公式在數(shù)學(xué)解題中有著極其廣闊的應(yīng)用價值，然而由于統(tǒng)計初步列入中學(xué)數(shù)學(xué)時間不長，因而有關(guān)方差公式在數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用資料甚少.為延伸教材內(nèi)容、緊跟素質(zhì)教育和新課程改革的步伐，下面我們以部分競賽題為例，將方差公式在求代數(shù)式的取值范圍問題中的應(yīng)用舉例介紹如下，供中學(xué)師生參考.

1 方差公式引理

如果為一組數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn的平均數(shù)，S2為這組數(shù)據(jù)的方差，則有

S2=1n[（x1-）2+（x2-）2+…+（xn-）2]=1n[（x21+x22+…+x2n）-n2]=1n（ni=1x2i-n2）.

2 典型例題解析

例1 （1993年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽題）實數(shù)x，y滿足4x2-5xy+4y2=5，設(shè)S=x2+y2，求S的取值范圍.

解 設(shè)x2+y2=t，視x，y為一組數(shù)據(jù)，則由方差公式得S2=12[（x2+y2）-2（x+y2）2]=12[（x2+y2）-x2+2xy+y22]=x2+y2-2xy4=t-2xy4.①因為4x2-5xy+4y2=5，所以5xy=4（x2+y2）-5，所以xy=45（x2+y2）-1=45t-1，代入①中，得S2=t-85t+24=-3t+1020≥0.所以3t-10≤0，t≤103，即Smax=103.所以由4x2-5xy+4y2=5得（2x-2y）2=5-3xy≥0及（2x+2y）2=5+13xy≥0，所以xy≥-513，所以S=x2+y2=54（1+xy），S≥54（1-513）=1013，所以Smin=1013，所以S的取值范圍為：

1013≤S≤103.

例2 （2001年全國初中數(shù)學(xué)競賽試題）已知實數(shù)a，b滿足a2+ab+b2=1，且t=ab-a2-b2，那么t的取值范圍是 ? ? .

解 將a2+ab+b2=1，t=ab-a2-b2，兩式相加可得ab=1+t2.故由

（a+b）2=（a2-ab+b2）+3ab=-t+3×t+12=t+32≥0，可知t≥-3.視a，b為一組數(shù)據(jù)，則由方差公式得S2=12[a2+b2-2（a+b2）2]=14[（a2-ab+b2）-ab]=

14（-t-t+12）=-3t+18≥0，于是3t+1≤0，即t≤-13，故t的取值范圍為：-3≤t≤-13.

例3 （2008年天津市初中數(shù)學(xué)競賽初賽試題）已知a，b為實數(shù)，且a2+ab+b2=3，設(shè)S=a2-ab+b2，求S的取值范圍.

解 設(shè)a2-ab+b2=t，由于a2+ab+b2=3，則ab=3-t2.于是（a+b）2=（a2-ab-b2）+3ab=t+3×3-t2=9-t2≥0，解得t≤9，視a，b為一組數(shù)據(jù)，則由方差公式得S2=12[a2+b2-2×（a+b2）2]=14[（a2-ab+b2）-ab]

=14（t-3-t2）=3t-38≥0，于是t≥1，故1≤t≤9.從而1≤a2-ab+b2≤9.

例4 （2004年“信利杯”全國初中數(shù)學(xué)競賽試題）實數(shù)x，y，z滿足x+y+z=5，xy+yz+zx=3，求z的取值范圍.

解 由x+y+z=5，xy+yz+zx=3可得x+y=5-z，因此

x2+y2

=（x+y）2-2xy=（5-z）2-2（3-yz-zx）=（5-z）2-2[3-z（5-z）]=-z2+19.

視x，y為一組數(shù)據(jù)，則由方差公式得S2=12[x2+y2-2（x+y2）2]=14[-z2+19-2（5-z2）2]=

-14（3z2-10z-13）.

由S2≥0，可知3z2-10z-13≤0，解得-1≤z≤133，這就是z的取值范圍.

例5 （2003年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題）已知實數(shù)x，y滿足x+y=3a-1

x2+y2=4a2-2a+2，求a的取值范圍.

解 視x，y為一組數(shù)據(jù)，則由方差公式得S2=12[x2+y2-12（x+y）2]=

-14a2+12a+34≥0，即（a+1）（a-3）≤0，解得-1≤a≤3.

例6 （第七屆美國中學(xué)生數(shù)學(xué)競賽題）設(shè)實數(shù)a，b，c，d，e適合a+b+c+d+e=8，a2+b2+c2+d2+e2=16，求e的取值范圍.

解 因為a+b+c+d+e=8，所以a+b+c+d=8-e，因為a2+b2+c2+d2+e2=16，

所以a2+b2+c2+d2=16-e2，視a、b、c、d為一組數(shù)據(jù)，則由方差公式，得

S2=14[（a2+b2+c2+d2）-4（a+b+c+d4）2]=14[（16-e2）-14（8-e）2]=14（-54e2+4e）=-516e（e-165）≥0，所以0≤e≤165，這就是e的取值范圍.

例7 （2013年江西省高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題）函數(shù)y=3x-6+3-x的取值范圍是

.

解 令a=3-x，b=3x-63，則y=a+3b，易知1個a與3個b的平均數(shù)為y4.所以1個a與3個b的方差S2=14（a-y4）2+34（b-y4）2=y216-（a+3b）y8+a2+3b24，因為y=a+3b，所以S2=a2+3b24-y216=a2+3b24-（a+3b）216=3（a-b）216.（*）因為S2≥0，所以y216≤a2+3b24=14[（3-x）+3×3x-69]=14，即y2≤4，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=y4，即x=114時，y有最大值2，又因為a-b=3-x-3x-63在[2，3]上遞減，所以a-b≤1，則由（*）式，知S2≤316，即y216≥a2+3b24-316=14-316=116，當(dāng)且僅當(dāng)x=2時，y有最小值1.所以函數(shù)f（x）=3x-6+3-x的值域是[1，2]，所以1≤f（x）≤2.即f（x）的取值范圍.

例8 （吉林省高中數(shù)學(xué)競賽題）設(shè)實數(shù)a、b、c滿足a2-bc-8a+7=0，（1）

b2+c2+bc-6a+6=0.（2）則a的取值范圍是 ? ?.

解 （1）+（2），得b2+c2=-a2+14a-13.（2）-（1），得（b+c）2=（a-1）2.視b、c為一組數(shù)據(jù)，則由方差公式，得實數(shù)b、c的方差為

S2=12[（b2+c2）-12（b+c）2]

=-34（a2-10a+9）.

而S2≥0，所以a2-10a+9≤0，即1≤a≤9.這就是所求a的取值范圍.

綜上所述可知：應(yīng)用方差公式解取值范圍的競賽題，其關(guān)鍵在于根據(jù)題設(shè)，尋找出一組數(shù)據(jù)，再運用方差公式寫出S2=1n[（x21+x22+…+x2n）-n2]=1n（ni=1x2i-n2）的等式，然后通過化簡運算解不等式，去求得其解.此法富有新意，具有規(guī)律，解題明晰，易于理解，值得重視.總之，加強方差公式的研究，符合新課程改革關(guān)于“以課程標(biāo)準為指導(dǎo)，以教材為基礎(chǔ)，合理使用課本，加強教學(xué)科研”的理念要求，有利于培養(yǎng)學(xué)生的探索精神和創(chuàng)新意識，有利于指導(dǎo)學(xué)生啟迪思維、開拓視野，有利于學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力和綜合運用知識解題能力的提高，有利于培養(yǎng)學(xué)生感悟數(shù)學(xué)、掌握基礎(chǔ)知識和基本技能及方法，提高綜合解題水平，有利于培養(yǎng)學(xué)生的思維品質(zhì)，有利于調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，有利于提高學(xué)生的專題總結(jié)水平.故筆者認為：在今后的教學(xué)過程中，適當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生進行這樣的專題研究是很有必要的.