熟書(shū)生溫

復(fù)習(xí)指的是教師指導(dǎo)學(xué)生溫習(xí)已經(jīng)學(xué)過(guò)的教材，以強(qiáng)化知識(shí)記憶，加深理解，融會(huì)貫通，從而使知識(shí)系統(tǒng)化.它不是對(duì)原有舊知識(shí)進(jìn)行機(jī)械性重復(fù)和再現(xiàn)，是孔子所說(shuō)的“溫故而知新”，是華羅庚先生在《高等數(shù)學(xué)引論》的序言里寫(xiě)的“熟書(shū)生溫，似乎在復(fù)習(xí)，但把新東西講進(jìn)去了……，找另一條線索把舊東西重新貫穿起來(lái)”[1]的一個(gè)再創(chuàng)造過(guò)程，使得學(xué)生在復(fù)習(xí)舊知識(shí)、舊方法的同時(shí)又收獲了新知識(shí)、新方法.因此，復(fù)習(xí)課的設(shè)計(jì)要有一條線索來(lái)貫穿，這條線索能激活己有知識(shí)、方法，并能帶出新知識(shí)、新方法.

1 以新的知識(shí)內(nèi)容為線索貫穿舊知識(shí)

新知識(shí)指的是在新授課中沒(méi)學(xué)或不宜講的知識(shí).學(xué)生對(duì)這些新知識(shí)認(rèn)知還沒(méi)成熟，或知識(shí)點(diǎn)的區(qū)別與聯(lián)系還不夠系統(tǒng).如一個(gè)單元多個(gè)概念的出現(xiàn)，象人教A版必修5中的《解三角形》、《數(shù)列》，《不等式》，選修23中的《隨機(jī)變量的分布列》;概念的進(jìn)一步深化、拓展等，象必修1中的《函數(shù)概念》、《函數(shù)的應(yīng)用》，必修2中的《圓與方程》，選修21中的《圓錐曲線與方程》等等.這些只能在一個(gè)單元學(xué)習(xí)完畢，在單元復(fù)習(xí)課中，把這些新授課中沒(méi)學(xué)的新知識(shí)作為貫穿舊知識(shí)的紐帶，使得學(xué)生看似在復(fù)習(xí)，但把新東西學(xué)進(jìn)去了.下面以《隨機(jī)變量的分布列》的章節(jié)復(fù)習(xí)的設(shè)計(jì)為例來(lái)說(shuō)明.可以通過(guò)比較二項(xiàng)分布與超幾何分布的關(guān)系來(lái)復(fù)習(xí)，超幾何分布和二項(xiàng)分布這兩種離散型隨機(jī)變量的概率分布表面上看來(lái)風(fēng)馬牛不相及，但通過(guò)一節(jié)章末復(fù)習(xí)課，發(fā)現(xiàn)這兩種分布可以通過(guò)有無(wú)“返回”，隔離正品和次品等方法來(lái)互相轉(zhuǎn)換，也可把二項(xiàng)分布看作超幾何分布的極限，它們的期望和方差之間也存在這種極限關(guān)系.下面是《超幾何分布和二項(xiàng)分布復(fù)習(xí)課》的設(shè)計(jì).

超幾何分布和二項(xiàng)分布是新課標(biāo)人教版選修23第二章《隨機(jī)變量的分布列》中的核心內(nèi)容.教材通過(guò)幾個(gè)生活中的實(shí)例讓學(xué)生認(rèn)識(shí)兩種模型所刻畫(huà)的隨機(jī)變量的各自特點(diǎn)，從而建立兩種新模型.但在實(shí)際建模過(guò)程中有些學(xué)生往往容易把超幾何分布與二項(xiàng)分布孤立起來(lái)，也甚至有些學(xué)生把兩個(gè)模型完全混淆，很難談得上靈活運(yùn)用兩模型解決一些實(shí)際問(wèn)題.因此，此章復(fù)習(xí)，可以通過(guò)比較二項(xiàng)分布與超幾何分布的關(guān)系來(lái)復(fù)習(xí).

環(huán)節(jié)一 學(xué)生回顧兩個(gè)概念.

環(huán)節(jié)二 通過(guò)定義比較兩者最本質(zhì)的區(qū)別.

發(fā)現(xiàn)：兩者最本質(zhì)的區(qū)別是二項(xiàng)分布的隨機(jī)變量發(fā)生的概率是等可能的，而超幾何分布概型的隨機(jī)變量X發(fā)生的概率不是等可能的.導(dǎo)致兩者不同的根源在于超幾何分布是不放回抽取，而二項(xiàng)分布則是有放回地抽取.

環(huán)節(jié)三 提出問(wèn)題

若將條件做些許改變，兩者能融會(huì)貫通嗎？

1）若將有放回的抽取改為不放回，那么超幾何分布將轉(zhuǎn)化為二項(xiàng)分布嗎？

2）當(dāng)產(chǎn)品的數(shù)量N巨大時(shí)，超幾何分布將非常接近二項(xiàng)分布嗎？

環(huán)節(jié)四 解決問(wèn)題

問(wèn)題1

1）現(xiàn)有兩臺(tái)在兩地獨(dú)立工作的雷達(dá)，每臺(tái)雷達(dá)發(fā)現(xiàn)飛行目標(biāo)的概率分別為09和085，設(shè)發(fā)現(xiàn)目標(biāo)的雷達(dá)臺(tái)數(shù)為X，求EX

2）設(shè)有mkg水，其中含有n個(gè)大腸桿菌.現(xiàn)任取1kg水檢驗(yàn)，設(shè)其中含大腸桿菌的個(gè)數(shù)為X，試求EX，DX.

3）在含有5件次品的100件產(chǎn)品中，任取3件，求：

（1）取到次品數(shù)X的分布列

（2）至少取到1件次品的概率

4）在某年級(jí)的聯(lián)歡會(huì)上設(shè)計(jì)了一個(gè)摸獎(jiǎng)游戲，在一個(gè)口袋中裝有10個(gè)紅球和20個(gè)白球，這些球除顏色外完全相同.一次從中摸出5球，至少摸到三個(gè)紅球就中獎(jiǎng)，求中獎(jiǎng)的概率.

通過(guò)4個(gè)小題讓學(xué)生回顧超幾何分布與二項(xiàng)分布相關(guān)的問(wèn)題，感受有放回抽取與不放回抽取的不同.

問(wèn)題2

1）從含有3件次品的100個(gè)燈泡中，有放回地抽取一個(gè)燈泡進(jìn)行檢測(cè)，連續(xù)取3次，用ξ表示次品數(shù)，求ξ的分布列.

2）從一批數(shù)量巨大的紅酒中隨機(jī)抽取20瓶進(jìn)行質(zhì)量檢測(cè)，若這批紅酒的合格概率為95%，隨機(jī)變量ξ表示這20件產(chǎn)品中的不合格數(shù)，求隨機(jī)變量ξ的數(shù)學(xué)期望Eξ.

3）現(xiàn)在有一批數(shù)量很大的汽車輪胎，其中次品2%，現(xiàn)從中任意地連續(xù)取出100件進(jìn)行檢測(cè)，設(shè)其次品數(shù)為ξ，求Eξ和Dξ.

通過(guò)3個(gè)小例子讓學(xué)生感受到超幾何分布與二項(xiàng)分布的聯(lián)系，通過(guò)改變抽取方式或者讓總體的容量無(wú)限大時(shí)，超幾何分布就可以近似地理解成二項(xiàng)分布.

環(huán)節(jié)五 拓展提升

為了將學(xué)生對(duì)超幾何分布和二項(xiàng)分布的理解上升到更高的層次，給出這樣一個(gè)結(jié)論：設(shè)隨機(jī)變量X服從超幾何分布H（n，M，N），則當(dāng)N→+∞時(shí)，X近似的服從二項(xiàng)分布B（n，p），即CrMCn-rN-MCnN≈Crnprqn-r，其中p=MN，q=1-p.

環(huán)節(jié)六 概括總結(jié)

1.我們把次品都放入一個(gè)次品袋，把正品放入一個(gè)正品袋，若摸到正品袋中的產(chǎn)品看作“成功”，摸到次品袋中的產(chǎn)品看作“失敗”，每次摸球的過(guò)程中“成功”與“失敗”的概率相等，且每次試驗(yàn)都是相互獨(dú)立的，這正是典型的二項(xiàng)分布，由此用二項(xiàng)分布去刻劃其概率分布列.兩種分布僅“一袋之隔”，將正品和次品隔離，則超幾何分布將成為二項(xiàng)分布.

2.超幾何分布和二項(xiàng)分布這兩種離散型隨機(jī)變量的概率分布從表面上看來(lái)風(fēng)馬牛不相及，但通過(guò)本節(jié)課的設(shè)計(jì)，讓學(xué)生在復(fù)習(xí)兩種分布列相關(guān)知識(shí)的同時(shí)，也讓學(xué)生了解了這兩種分布列可以通過(guò)有無(wú)“放回”、隔離正品和次品等方法來(lái)互相轉(zhuǎn)換，也可把二項(xiàng)分布看作超幾何分布的極限，它們的期望和方差之間也存在這種極限關(guān)系.

在新授課中，大部分學(xué)生看待超幾何分布與二項(xiàng)分布是停留在區(qū)別上，而不是關(guān)系上，通過(guò)此復(fù)習(xí)課，學(xué)生不僅回顧了《隨機(jī)變量的分布列》的整章內(nèi)容，且收獲了全新的知識(shí).

2 以新的推理、思想方法為線索歸納、整理舊知識(shí)

數(shù)學(xué)是一門(mén)邏輯推理的學(xué)科，思想方法是高中數(shù)學(xué)課程的主線，很多復(fù)習(xí)課可以以新的推理或思想方法為線索進(jìn)行設(shè)計(jì)，推理包括歸納推理、類比推理、演繹推理.思想方法包括數(shù)形結(jié)合思想、方程與函數(shù)思想、建模思想、分類討論思想和化歸與轉(zhuǎn)化思想等.例如《等差數(shù)列的復(fù)習(xí)課》可以以函數(shù)的思想方法為線索復(fù)習(xí)等差數(shù)列的有關(guān)性質(zhì)，《計(jì)數(shù)原理的復(fù)習(xí)》中可以利用數(shù)列思想進(jìn)行復(fù)習(xí)，扇形染色問(wèn)題中的數(shù)列方法、走樓梯—斐波拉契數(shù)列方法調(diào)換座位—貝努利裝錯(cuò)信問(wèn)題、傳球問(wèn)題—縱向考慮的遞推思想、幾何問(wèn)題—等差數(shù)列的應(yīng)用.《等差數(shù)列與等比數(shù)列的復(fù)習(xí)課》可以運(yùn)用類比推理為線索，先復(fù)習(xí)等差數(shù)列的性質(zhì)，再運(yùn)用類比思想復(fù)習(xí)等比數(shù)列，在選修21的《圓錐曲線與方程》章節(jié)復(fù)習(xí)中通過(guò)圓的性質(zhì)類比得到橢圓、雙曲線、拋物線等一系列性質(zhì).下面來(lái)看《等差數(shù)列的復(fù)習(xí)課》的教學(xué)設(shè)計(jì)，它是以函數(shù)的思想方法為線索復(fù)習(xí)等差數(shù)列的有關(guān)性質(zhì).

教學(xué)目標(biāo)

讓學(xué)生學(xué)會(huì)利用等差數(shù)列的概念來(lái)判斷一個(gè)數(shù)列是否為等差數(shù)列，能利用等差數(shù)列的性質(zhì)特征解決一些簡(jiǎn)單數(shù)列問(wèn)題.

學(xué)會(huì)利用函數(shù)的觀點(diǎn)來(lái)研究數(shù)列，認(rèn)識(shí)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，前n項(xiàng)和公式均為特殊的一次函數(shù)與二次函數(shù)，培養(yǎng)學(xué)生利用函數(shù)思想解決數(shù)列問(wèn)題的能力.

讓學(xué)生體會(huì)到數(shù)列與函數(shù)不分家，數(shù)形不分家，享受數(shù)學(xué)的美.

教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)

教學(xué)重點(diǎn)：等差數(shù)列的判斷及其性質(zhì)的應(yīng)用

教學(xué)難點(diǎn)：利用函數(shù)思想認(rèn)識(shí)等差數(shù)列，解決數(shù)列相關(guān)問(wèn)題

教學(xué)過(guò)程

引例 請(qǐng)你給出兩個(gè)整數(shù).

問(wèn)題1 若這兩個(gè)數(shù)依次是等差數(shù)列{an}的第3項(xiàng)、第7項(xiàng)，你能寫(xiě)出an嗎？

追問(wèn)：為什么給出兩項(xiàng)就能確定an？

設(shè)計(jì)意圖 引出等差數(shù)列的通項(xiàng)公式an=a1+（n-1）d，并認(rèn)識(shí)到點(diǎn)（n，an）是直線上的離散點(diǎn).

問(wèn)題2 若數(shù)列{an}滿足an=pn+q（p、q是常數(shù)），求證數(shù)列{an}是等差數(shù)列.

設(shè)計(jì)意圖 回顧定義，學(xué)會(huì)用定義來(lái)證明等差數(shù)列.

問(wèn)題3 若數(shù)列{an}滿足2an=an-1+an+1（n≥2）記Sn=a1+a2+…+an，且a4=4，則可求（ ?）值

A.S6 ? B.S7 ? C.S8 ? D.S9

設(shè)計(jì)意圖 復(fù)習(xí)等差中項(xiàng)，學(xué)會(huì)用2an=an-1+an+1（n≥2）證明等差數(shù)列.

追問(wèn)：為什么S7與a1，d都無(wú)關(guān)？

設(shè)計(jì)意圖 揭示等差數(shù)列的幾何背景，加深對(duì)核心概念的理解.

問(wèn)題4 若等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若S2=S8=4.

（1）求S10的值;（2）求Sn的最大值.

設(shè)計(jì)意圖 通過(guò)一題多解，復(fù)習(xí)等差數(shù)列的兩個(gè)前n項(xiàng)和公式，鞏固等差數(shù)列的性質(zhì)，認(rèn)識(shí)到點(diǎn)（n，Sn）是拋物線上的離散點(diǎn).滲透函數(shù)方程和數(shù)形結(jié)合思想.

問(wèn)題5 若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若Sn=An2+Bn（A，B是常數(shù)），求證數(shù)列{an}是等差數(shù)列.

變式 若等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若S12=84，S20=460.求S28的值.

設(shè)計(jì)意圖 揭示等差數(shù)列的前n項(xiàng)和的本質(zhì)特征，進(jìn)一步加深對(duì)核心概念的理解.

利用函數(shù)思想來(lái)設(shè)計(jì)《等差數(shù)列的復(fù)習(xí)》，讓學(xué)生從一次函數(shù)的角度認(rèn)識(shí)等差數(shù)列通項(xiàng)公式，從二次函數(shù)角度來(lái)認(rèn)識(shí)等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式，不僅有效地復(fù)習(xí)了等差數(shù)列中的核心知識(shí)點(diǎn)，同時(shí)又讓學(xué)生對(duì)數(shù)列的認(rèn)識(shí)上升到更高的層次，也培養(yǎng)了學(xué)生用函數(shù)的觀點(diǎn)來(lái)認(rèn)識(shí)數(shù)列問(wèn)題的意識(shí).

原有的舊問(wèn)題的解決往往有固定模式，而以新的知識(shí)、推理、思想方法為線索歸納、整理舊知識(shí)會(huì)讓學(xué)生從另一個(gè)角度來(lái)理解數(shù)學(xué)問(wèn)題，使得要解決的問(wèn)題更加立體化，同時(shí)也讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)知識(shí)是融會(huì)貫通的[2].

參考文獻(xiàn)

[1] 華羅庚.高等數(shù)學(xué)引論[M].北京：高等教育出版社，2009.

[2] 張維忠.基于課程標(biāo)準(zhǔn)的數(shù)學(xué)教學(xué)研究[M].杭州：浙江大學(xué)出版社，2013.

作者簡(jiǎn)介 夏曉華，女，1971年生，浙江省永嘉縣人，教育碩士，中學(xué)數(shù)學(xué)高級(jí)教師.曾獲浙江省第五屆教育科學(xué)研究?jī)?yōu)秀成果三等獎(jiǎng)，浙江省優(yōu)秀教師、溫州市名師及溫州市勞動(dòng)模范 .發(fā)表論文10余篇.