一種基于稀疏分解的窄帶信號頻率估計算法

沈志博 董春曦黃 龍 趙國慶

(西安電子科技大學電子信息攻防對抗與仿真技術教育部重點實驗室 西安 710071)

一種基于稀疏分解的窄帶信號頻率估計算法

沈志博 董春曦*黃 龍 趙國慶

(西安電子科技大學電子信息攻防對抗與仿真技術教育部重點實驗室 西安 710071)

針對窄帶多分量信號頻率估計問題，該文提出一種基于稀疏分解的頻率估計算法，能夠同時對多個窄帶信號的頻率進行估計。首先利用傳統(tǒng)方法進行頻率預估計，然后根據頻率預估計的結果建立冗余字典，對信號進行稀疏表示，最后通過匹配追蹤算法得到精確的頻率估計。該算法極大地減小了字典的長度和稀疏分解的運算量，而且在迭代過程中利用了全局信息更新殘差向量，估計結果更為精確，在低信噪比情況下性能也較為穩(wěn)健。仿真結果驗證該算法的有效性和正確性。

信號處理；頻率估計；稀疏分解；冗余字典；稀疏表示

1 引言

信號的頻率是電子偵察中需要獲取的最為重要的參數，它反映了雷達的功能與用途，是信號分選和威脅識別的重要依據[1]。由于電子偵察面對的是非合作信號，接收機往往會瞬時覆蓋較大的頻率范圍[2]，因此，如何對寬頻段內的多個窄帶信號頻率進行有效的估計顯得尤為重要[3?5]。目前頻率估計算法主要分為非參數法和參數法兩大類。非參數法主要是以離散傅里葉變換(Discrete Fourier Transfer, DFT)為基礎的，物理意義明確，但是存在能量泄漏和柵欄效應，且算法精度和分辨能力主要依賴于信號長度[6]。參數法中最大似然法[7]雖然能夠達到理論上的最優(yōu)性能，但是需要多維非線性優(yōu)化，計算量很大，難以實際應用?；贚evinson-Durbin遞推的自回歸(AutoRegressive, AR)模型法[8]雖然避免了矩陣求逆，減小了計算量，但是受信號初相的影響較大，在分析短序列時會出現譜偏移，譜線分裂的現象，且階數難以確定，階數過低，譜峰不明顯，而過高的階數會產生虛假譜峰；以多重信號分類(MUltiple SIgnal Classification, MUSIC)算法[9]和旋轉不變技術估計信號參數(Estimating Signal Parameters via Rotational Invariance Techniques, ESPRIT)算法[10]為代表的子空間分解算法利用信號子空間和噪聲子空間的正交性，提取信號子空間，在信噪比較高時能夠得到較好的估計性能，而在信噪比較低時，估計誤差會明顯增大。近年來稀疏分解理論得到了廣泛的應用[11?13]，通過建立頻率冗余字典[14?16]尋求最優(yōu)匹配原子，再利用稀疏向量中非零元素的位置信息估計信號的各頻率分量[17,18]。但是這種方法隨著估計精度的提高，字典的長度會急劇增加，稀疏分解難度增大，且由于原子間相互干擾，導致匹配錯誤的概率也會增加，影響了算法的穩(wěn)定性。

針對上述問題，本文將傳統(tǒng)的頻率估計方法與稀疏分解理論相結合，提出一種新的窄帶信號頻率估計方法。算法利用傳統(tǒng)方法的頻率預估計的結果構建冗余字典，極大地減小了字典的長度，并對匹配追蹤算法求解稀疏系數的過程進行了改進，在迭代過程中利用預估計的結果更新殘差向量，使得算法具有更高的估計精度和穩(wěn)健的性能。

2 稀疏表示模型

假設信號由p個不同頻率的復指數正弦信號疊加而成，信號長度為N，則其離散數學模型為

式中，iA,fi,?i分別為第i個信號的幅度、頻率和初始相位；w(n)為高斯白噪聲。

由于信號由多個窄帶信號疊加構成，在頻域具有良好的稀疏性，所以可以在頻域對其進行稀疏表示。在頻域建立N×Ns維冗余字典D：

式中，Ns為字典長度，di=[1,ej2πfi·1,…,ej2πfi·(N ?1)]T為字典中的第i個原子，那么信號s(n)就可以表示為

式中，s =[s(0),s(1),…,s(N ?1)]T,n為N×1維高斯白噪聲，z為Ns×1維稀疏系數，在z中只有p個非零值，且對應于信號的幅度。由于z是p稀疏的

(p＜＜Ns)，可以轉化式(4)的優(yōu)化模型：

直接求解式(4)是一個非確定性多項式問題(Non-deterministic Polynomial Hard, NP-hard)，可以將優(yōu)化目標用l1范數來代替[19]，這就將式(4)的優(yōu)化問題變成了一個凸優(yōu)化問題，方便求解。

最后根據z中非零值的位置得到p個窄帶信號的頻率估計。正交匹配追蹤算法(Orthogonal Matching Pursuit, OMP)算法[20]通過每次在字典中搜索與殘余信號相關性最大的原子來匹配出p個原子，求出稀疏系數確定頻率。顯然，字典的長度影響著稀疏分解的難度和計算量，Ns越大，迭代過程就越復雜；而且由于OMP算法每次迭代都只是從冗余字典中選擇一個與殘余信號最佳匹配的原子，對于整個信號而言每次匹配結果很可能只是局部最優(yōu)解。如果在迭代過程中某一次選錯了原子，那么接下來的迭代也會受到影響，最終造成分解結果不是最佳的稀疏解或者誤差較大。當字典長度增加時，也會增大這種誤匹配的概率，造成頻率估計錯誤。

3 算法原理及步驟

經過以上分析可知，OMP算法進行稀疏分解估計信號頻率時主要存在兩個問題：一是字典長度增加導致稀疏分解困難；二是迭代過程中的誤匹配問題?，F在考慮將傳統(tǒng)的頻率估計方法與OMP算法的迭代過程中的原子匹配過程進行融合，即采用傳統(tǒng)方法(FFT, ESPRIT等)進行頻率預估計，在估計出的頻率附近構建冗余字典可以有效地減小字典的長度；而將每次頻率的預估計值嵌入到OMP算法的迭代過程中，則可以在一定程度上減小誤匹配的概率。

3.1 冗余字典構建

首先用傳統(tǒng)算法對信號頻率進行預估計，得到p個信號頻率的估計值，然后在每個估計出的頻點附近Δf范圍內進行等間隔劃分，q為劃分的網格數，構造子字典D(fi)，并將多個子字典聯(lián)成一個冗余字典D

式中，d(fij)=[1,ej2πfij·1,…,ej2πfij·(N?1)]T,j=1,2,…,q表示第i個子字典中的第j個原子，每個子字典D(fi)的維數為N×q，總的冗余字典的D維數為N×L(L=pq)。

3.2 稀疏分解

OMP算法在第m次迭代過程中計算當前殘差向量rm?1與字典D中各原子的相關性，選出最佳匹配原子(D中的某一列)，加入到已選出的原子集合?m?1中，并計算原信號s在集合?m中的正交投影，得到投影系數zm，更新下一次迭代的殘差rm。

式中，g1()為投影系數βm所對應的原子。

3.3 算法具體步驟

具體的基于頻率預估計的稀疏分解算法步驟如表1所示。

表1 基于頻率預估計的稀疏分解算法步驟

4 算法性能分析

算法利用了傳統(tǒng)方法的估計結果構建冗余字典，即在已經估計出來的p個信號的頻率附近Δf范圍內進行等間隔劃分，劃分的網格數取決于期望達到的精度δf,q=Δf/δf 。與傳統(tǒng)的直接在測頻范圍內等間隔劃分相比，在達到相同的測頻精度的情況下，字典的長度大大減小。OMP算法的計算量為O(k2n)，在稀疏度k(這里等于信號個數)確定時，運算量與字典的長度n成正比，表2給出了不同的冗余字典構建方法計算量的比較。

表2 冗余字典不同構建方法的計算量比較

若測頻范圍為1 GHz，取δf=0.1 MHz,p=5，則直接構建字典需要的字典長度Ns=104，稀疏分解運算量為O(2.5×105)，且隨著測頻范圍的增加，字典長度和運算量還會增加；而采用頻率預估計構建字典，取Δf=5 MHz，則需要的字典長度僅為250，稀疏分解運算量為O(6.25×103)，且與測頻范圍無關，只取決于信號個數p和測頻精度δf。由此可見，采用頻率預估計的方法動態(tài)構建冗余字典可以有效地減小字典的長度，降低稀疏分解的運算量。

算法將傳統(tǒng)方法的頻率估計和OMP算法的迭代過程中的原子匹配進行了融合，OMP算法每次迭代是通過尋找字典中與殘差向量相關性最大的原子來確定某一個信號的頻率值，這可以看成是一種利用局部信息得到的最優(yōu)解，而對每次殘差向量進行頻率預估計卻能提供全部的頻率估計值，相當于一種全局信息，利用這種全局信息來尋找新的匹配原子以及殘差向量的更新獲得的全局范圍內的最優(yōu)解，因此能夠獲得更好的估計性能。另外，若在某一次迭代過程中發(fā)生原子匹配錯誤，則re2必然會大于re1，這時就會自適應地采用集合F1作為正交投影空間，利用F1中頻率所對應的原子張成的子空間下的正交投影系數來更新殘差向量，因此，通過比較正交投影誤差re1和re2也可以減小迭代過程中由于原子匹配錯誤帶來的影響。

由于字典是根據頻率預估計的結果構建的，因此，預估計誤差也會對最終的估計結果產生一定的影響。當頻率預估計精度較高時，算法會自適應地采用集合F1作為正交投影空間，更新殘差進行下一次迭代，最終頻率估計精度主要取決于頻率預估計精度。當預估計精度不高時，分為兩種情況：一是預估計誤差小于Δf/2，此時根據預估計值建立的字典中包含與真實頻率最為匹配的原子，算法會采用集合F2作為正交投影空間，更新殘差進行下一次迭代，因此，這種情況下，仍能得到頻率的正確估計，估計誤差主要受字典劃分間隔影響；二是預估計誤差大于Δf/2時，則根據預估計值建立的字典中不會包含與真實頻率最為匹配的原子，只能找到相對匹配的原子，而且隨著預估計誤差的增大，最終估計誤差也會變大。這種情況下，過大的預估計誤差(或預估計錯誤)會導致原子失配而無法得到正確的估計結果。因此，實際中在選擇字典范圍Δf時要考慮預估計誤差的影響，使得預估計誤差在Δf/2范圍內。

5 仿真分析

本節(jié)通過仿真實驗對本文所提出的基于頻率預估計的正交匹配追蹤(Frequency pre-estimation Orthogonal Matching Pursuit, F-OMP)算法進行分析與驗證。先對頻率進行預估計，并按文中所述，利用預估計的結果結合OMP算法的迭代過程求解。假設信號長度N=512，在預估計出每個頻率附近選取Δf=5 MHz范圍內等間隔劃分，每個子字典的長度q=50，并定義頻率估計的均方根誤差(Root Mean Square Error, RMSE)如式(12)所示

仿真實驗1 選取5個頻率分別為9.5 MHz, 23.6 MHz, 44.3 MHz, 56.7 MHz和67.1 MHz的單載頻信號，信噪比為15 dB。采用ESPRIT算法進行頻率預估計。圖1給出了頻率的估計結果，并與信號的真實頻率進行了比較。從圖1的結果可以看出F-OMP算法可以對多個窄帶信號頻率進行有效地估計。為了進一步驗證算法的性能，在不同信噪比下比較ESPRIT算法，OMP算法以及F-OMP算法的頻率估計均方根誤差，其中ESPRIT算法中數據段數為32, OMP算法中則是直接在整個頻率范圍內建立頻率間隔為0.1 MHz的過完備字典，而F-OMP算法則是先利用ESPRIT算法進行預估計，然后在預估計頻率附近建立頻率間隔為0.1 MHz的局部過完備字典。仿真中SNR從-5～25 dB，每隔1 dB取一個值，每個信噪比下選取3個頻率不同的信號，頻率從0～100 MHz內隨機取值，進行1000次蒙特卡羅實驗，得到3種算法頻率估計均方根誤差隨信噪比的變化曲線如圖2所示。

從圖2的仿真結果可以看出，ESPRIT由于利用了信號子空間信息，在高信噪比時相對于OMP算法具有較小的頻率估計均方根誤差，而在低信噪比區(qū)間信號子空間估計偏差較大，得到的頻率估計均方根誤差也明顯增大。OMP算法沒有利用信號子空間信息，而是利用原子之間的相關性尋找最佳匹配原子，其均方根誤差隨信噪比變化較為平緩，不像ESPRIT算法那樣敏感。F-OMP算法由于利用了頻率預估計的結果，所以在高信噪比區(qū)間性能優(yōu)于OMP算法，而在低信噪比區(qū)間則利用了類似于OMP算法計算相關性的迭代過程，所以改善了ESPRIT對信噪比的敏感性。因此，F-OMP算法在不同的信噪比均方根誤差都相對較小，能夠達到良好的估計性能。

仿真實驗2 現在考慮算法在信號頻率相距較近情況下的估計性能，選取一個信號頻率固定為71.3 MHz，另一個信號頻率在此基礎上每隔0.5 MHz取一個值，每隔頻率間隔上進行1000次蒙特卡羅實驗，圖3和圖4分別給出了SNR=15 dB和SNR=5 dB時ESPRIT和F-OMP算法(仍采用ESPRIT算法進行頻率預估計)在不同頻率間隔下的均方根誤差。

從圖3和圖4的結果可以看出，兩個信號的頻率相距越近，均方根誤差越大。在高信噪比的條件下ESPRIT算法和F-OMP算法的頻率分辨能力差異不大，在頻率相距較近時仍具有較高的估計精度，而當信噪比較低時，ESPRIT算法的分辨能力下降較為明顯(0.5 MHz時已無法分辨，故在圖4中沒有顯示)，而F-OMP算法則受信噪比影響較小，當信號頻率相距較近時仍然具有較小的均方根誤差，估計性能較好。

仿真實驗3 當信噪比較低時，頻率估計算法的穩(wěn)健性會受到較大影響，可能會導致頻率估計錯誤，為了驗證算法的穩(wěn)定性，SNR從-20～15 dB，每隔3 dB取一個值，每個信噪比下選取3個頻率不同的信號，頻率從0～100 MHz內隨機取值，進行1000次蒙特卡羅實驗，統(tǒng)計ESPRIT, OMP以及F-OMP 3種算法的估計成功次數(3個信號頻率全部估計正確，且誤差在0.5 MHz以內才算成功)，計算每個信噪比下的成功概率，得到估計成功概率隨信噪比變化曲線如圖5所示。

從圖5的結果可以看出，由于低信噪比的情況下，ESPRIT信號子空間估計偏差較大，估計成功概率較低，而依靠計算原子相關性的OMP算法和F-OMP算法更為穩(wěn)健。F-OMP算法在迭代過程中利用了殘差向量中頻率的預估計值和已估計出的頻率值進行正交投影更新下一次迭代的殘差向量，因此，在一定程度上較OMP算法具有更穩(wěn)健的性能。

6 結束語

信號的頻率估計在電子偵察中有著重要的研究意義。本文針對窄帶信號頻率估計問題，提出了一種基于稀疏分解的頻率估計算法。在預先估計出的頻率附近建立冗余字典，有效地降低了字典的長度和稀疏分解的運算量，并將頻率預估計的結果應用到每次的迭代過程中，以便于更好地尋找最佳匹配原子和更新殘差向量。理論分析和仿真實驗表明，該方法能夠達到較高的估計精度，且在低信噪比條件下也具有較為穩(wěn)健的性能。

圖1 頻率估計結果

圖2 頻率估計均方根誤差

圖3 不同頻率間隔下的估計精度(SNR=15 dB)

圖4 不同頻率間隔下的估計精度(SNR=5 dB)

圖5 不同信噪比下的估計成功概率

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沈志博： 男，1986年生，博士生，研究方向為電子戰(zhàn)信號處理.

董春曦： 男，1970年生，博士，副教授，研究方向為無源偵察技術、高分辨雷達干擾技術等.

黃 龍： 男，1988年生，博士生，研究方向為電子戰(zhàn)系統(tǒng)仿真.

趙國慶： 男，1953年生，碩士，教授，博士生導師，研究方向為電子偵察、無源定位等.

A Frequency Estimation Algorithm of Narrow-band Signal Based on Sparse Decomposition

Shen Zhi-bo Dong Chun-xi Huang Long Zhao Guo-qing
(Key Laboratory of Electronic Information Countermeasure and Simulation, Ministry of Education, Xidian University, Xi'an 710071, China)

For the frequency estimation problem of narrow-band multi-component signal, a frequency estimation algorithm based on the sparse decomposition is proposed, which simultaneously estimates the frequency of multiple narrow-band signal. Firstly, the pre-estimation is used to get the pre-estimating frequency by using the traditional method. Then the redundant dictionary is established by using the pre-estimating frequency to obtain a sparse representation of the signal. Finally, the precise frequency estimation is achieved by the matching pursuit algorithm. The algorithm can greatly reduce the length of dictionary and the computational complexity of sparse decomposition. The proposed algorithm can provide more accurate estimation results when updating residual vector by using the global information in an iterative process, and the performance is robust in lower SNR. The simulation results verify the effectiveness and correctness of the proposed algorithm.

Signal processing; Frequency estimation; Sparse decomposition; Redundant dictionary; Sparse representation

TN971

： A

：1009-5896(2015)04-0907-06

10.11999/JEIT140878

2014-07-02收到，2014-09-19改回

國家部委基金，中央高?；究蒲袠I(yè)務費專項基金(JB140203)和國家973計劃項目(613181)資助課題

*通信作者：董春曦 chxdong@mail.xidian.edu.cn