淺談高中函數(shù)單調(diào)性的教學(xué)

（河北高陽(yáng)中學(xué)071500）

淺談高中函數(shù)單調(diào)性的教學(xué)

蘇漪（河北高陽(yáng)中學(xué)071500）

函數(shù)是高中數(shù)學(xué)課程中的一個(gè)核心概念，函數(shù)單調(diào)性作為高中函數(shù)的第一個(gè)性質(zhì)，對(duì)后續(xù)函數(shù)性質(zhì)的學(xué)習(xí)具有不可替代的作用和意義。筆者對(duì)函數(shù)單調(diào)性教學(xué)進(jìn)行探討，針對(duì)目前函數(shù)單調(diào)性教學(xué)存在的問題，提出相應(yīng)的教學(xué)思路和教學(xué)建議。

高中數(shù)學(xué)函數(shù)單調(diào)性

一、函數(shù)單調(diào)性的概念

一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镮:如果對(duì)于屬于I內(nèi)某個(gè)區(qū)間上的任意兩個(gè)自變量的值x，當(dāng)x1＜x2時(shí)，都有f(x1)＜f(x2)，那么就說f(x)在這個(gè)區(qū)間上是增函數(shù);如果對(duì)于屬于I內(nèi)某個(gè)區(qū)間上任意兩個(gè)自變量的值x1、x2，當(dāng)x1＜x2時(shí)，都有f（x1)＞f（x2），那么就說f(x)在這個(gè)區(qū)間上是減函數(shù)。

二、從數(shù)學(xué)知識(shí)的角度認(rèn)識(shí)函數(shù)單調(diào)性

函數(shù)單調(diào)性概念是函數(shù)概念的進(jìn)一步學(xué)習(xí)，對(duì)它的學(xué)習(xí)是建立在函數(shù)概念的基礎(chǔ)之上的，所以“函數(shù)單調(diào)性”并不是客觀存在的東西，它是從大量的函數(shù)的具體事例中，經(jīng)過了分化、類比等多次抽象、概括出來的函數(shù)這類數(shù)學(xué)對(duì)象所具有的本質(zhì)屬性。因此，它具有高度抽象性。

數(shù)學(xué)符號(hào)由符號(hào)形式和符號(hào)內(nèi)容兩部分組成，一種是符號(hào)內(nèi)容能被符號(hào)的形式充分暗示出來的概念，如平行、垂直等；另一種是符號(hào)內(nèi)容不能由符號(hào)形式表示的概念，如函數(shù)、復(fù)數(shù)等。然而，函數(shù)單調(diào)性又恰恰屬于符號(hào)內(nèi)容不能被符號(hào)形式暗示出來的概念，對(duì)它的學(xué)習(xí)需要進(jìn)行更多的數(shù)學(xué)思維活動(dòng)。

函數(shù)單調(diào)性的表達(dá)方式具有多樣性，它不僅能用表格、圖像表示，還能用符號(hào)語言表示，甚至還可以用自然語言描述。因此，學(xué)習(xí)函數(shù)單調(diào)性這部分內(nèi)容，不但要求學(xué)生能進(jìn)行單一“數(shù)”或“形”的運(yùn)算，還要求學(xué)生進(jìn)行“數(shù)”與“形”相結(jié)合的運(yùn)算。對(duì)于高一階段的學(xué)生而言，把觀察函數(shù)圖像得到的結(jié)論轉(zhuǎn)化成形式化的數(shù)學(xué)符號(hào)語言無疑是一種思維上的挑戰(zhàn)。

三、高中函數(shù)單調(diào)性研究的必要性

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》明確提出：理解基本的數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)結(jié)論的本質(zhì)，了解概念、結(jié)論等產(chǎn)生的背景、應(yīng)用，體會(huì)其中所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想和方法，以及在后續(xù)學(xué)習(xí)中的作用?？梢?，課程標(biāo)準(zhǔn)非常重視數(shù)學(xué)概念的教學(xué)，尤其是對(duì)數(shù)學(xué)概念本質(zhì)和數(shù)學(xué)思想方法的理解。例如，課標(biāo)對(duì)函數(shù)單調(diào)性的要求：通過已學(xué)過的函數(shù)特別是二次函數(shù)，理解函數(shù)的單調(diào)性、最大（?。┲导捌鋷缀我饬x；學(xué)會(huì)運(yùn)用函數(shù)圖像理解和研究函數(shù)的性質(zhì)。

函數(shù)單調(diào)性的不管是教學(xué)方式，還是學(xué)習(xí)方式，特別是其研究方法對(duì)函數(shù)后續(xù)性質(zhì)的學(xué)習(xí)具有良好的示范作用。由此可見，對(duì)函數(shù)單調(diào)性的教學(xué)進(jìn)行研究是非常有必要的。

四、函數(shù)單調(diào)性教學(xué)現(xiàn)狀和存在的問題

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》強(qiáng)調(diào)概念教學(xué)的基礎(chǔ)性與重要性，但通過訪談?wù){(diào)查和案例研究發(fā)現(xiàn)：教師按照字面意思講解函數(shù)單調(diào)性定義的情況仍然存在；部分教師嘗試引導(dǎo)學(xué)生探索概念的形成過程，但教師在這個(gè)過程中忽視學(xué)生的獨(dú)立思考和建構(gòu)；忽視研究函數(shù)性質(zhì)的思想方法的滲透等“重知識(shí)，輕過程”情況仍然存在。然而，一線教師很向往解決課堂教學(xué)中出現(xiàn)的這些問題，也不斷嘗試用探究的方法讓學(xué)生經(jīng)歷函數(shù)單調(diào)性概念形成的思維構(gòu)造過程，但結(jié)果不盡如人意，仍有待突破。

五、對(duì)高中函數(shù)單調(diào)性教學(xué)提出的具體建議

（一）數(shù)形結(jié)合，優(yōu)化思維過程

高中函數(shù)單調(diào)性的概念是形與數(shù)結(jié)合的概念，所以教學(xué)應(yīng)該采用“形”和“數(shù)”相結(jié)合的方式，優(yōu)化學(xué)生的思維過程，讓學(xué)生全面地初步獲得概念。與此同時(shí)，還需要注意提供的正面實(shí)例必須是不同形式的能反映函數(shù)單調(diào)性本質(zhì)屬性的典型例子，還要利于學(xué)生從圖像（形）和表格（數(shù)）兩個(gè)角度對(duì)函數(shù)單調(diào)性進(jìn)行觀察、探究。

（二）巧妙設(shè)置探究問題

在函數(shù)單調(diào)性符號(hào)化的過程中，需要以學(xué)生為主體，結(jié)合學(xué)生已有的經(jīng)驗(yàn)設(shè)計(jì)出能夠引導(dǎo)學(xué)生思維參與的問題，使學(xué)生真正經(jīng)歷思維構(gòu)造的過程，最終建構(gòu)起函數(shù)單調(diào)性的概念。

（三）教學(xué)方式多樣化

函數(shù)單調(diào)性是一個(gè)復(fù)雜而抽象的概念，在概念的探究的過程中，可以融入概念形成和同化兩種方式，因?yàn)榇罅繉?shí)例可以讓學(xué)生先直觀感知新概念，在經(jīng)過同化使得新概念與原有概念發(fā)生認(rèn)知沖突，使學(xué)生真正經(jīng)歷這種不憤不啟、不悱不發(fā)的狀態(tài)，進(jìn)而引導(dǎo)學(xué)生得到形式化的新概念。在這個(gè)新概念建構(gòu)的過程中，既有感性認(rèn)識(shí)，又有理性認(rèn)識(shí)，在有限的課堂教學(xué)時(shí)間里，極大限度地幫助學(xué)生理解概念的本質(zhì)。

（四）多角度理解概念

在概念形成之初，學(xué)生對(duì)概念的理解是不深刻的，因此，教師應(yīng)及時(shí)幫助學(xué)生理解概念，而不是急著去講解函數(shù)單調(diào)性的判斷方法、證明步驟等。首先，用新獲得的概念去分析概念引入時(shí)所提供的實(shí)例，加深學(xué)生對(duì)新概念的認(rèn)識(shí)。其次，利用變式練習(xí)來突出概念的本質(zhì)屬性，采用多種形式的正反結(jié)合的例子讓學(xué)生明確概念的外延。此外，在后續(xù)學(xué)習(xí)指數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)等時(shí)，有目的地引導(dǎo)學(xué)生深刻認(rèn)識(shí)函數(shù)單調(diào)性概念。例如，可以讓學(xué)生用描點(diǎn)——連線的方法作出函數(shù)圖像，這種操作使得學(xué)生在函數(shù)單調(diào)性的圖像、表格、形式化的符號(hào)語言之間不斷地進(jìn)行轉(zhuǎn)換，豐富學(xué)生對(duì)函數(shù)單調(diào)性概念的認(rèn)識(shí)，加深學(xué)生對(duì)概念本質(zhì)的理解。

總之，函數(shù)是高中數(shù)字的重點(diǎn)內(nèi)容，而單調(diào)性又是函數(shù)的重點(diǎn)內(nèi)容。它又可以和許多非函數(shù)問題有機(jī)地結(jié)介在一起。所以，我們?cè)诮虒W(xué)中應(yīng)有意識(shí)地讓學(xué)生應(yīng)用函數(shù)單調(diào)性的知識(shí)、方法、技能解決新的、綜合性的問題，從而提高學(xué)生的觀察、分析、運(yùn)算、推理能力，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力以及良好的數(shù)學(xué)修養(yǎng)。

中華人民共和國(guó)教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)）[M].北京:人民教育出版社，2003.

（責(zé)編 趙建榮）