Phase-type分布在隨機(jī)退化模型中的應(yīng)用

張權(quán)，張金珠，韓旸，李艷君

（1.齊齊哈爾大學(xué)理學(xué)院，黑龍江齊齊哈爾 161006；2.北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，北京 100081；3.河北工業(yè)大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，天津 300401）

Phase-type分布在隨機(jī)退化模型中的應(yīng)用

張權(quán)1,2，張金珠3，韓旸1，李艷君1

（1.齊齊哈爾大學(xué)理學(xué)院，黑龍江齊齊哈爾 161006；2.北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，北京 100081；3.河北工業(yè)大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，天津 300401）

Phase-type分布是一類應(yīng)用廣泛的分布，主要用在隨機(jī)模型領(lǐng)域，例如：通訊、金融、排隊(duì)論、可靠性和生存分析．本研究的目的在于針對隨機(jī)退化模型，利用Phase-type分布的形式，建立了有限狀態(tài)空間的馬氏過程．同時(shí)假設(shè)維修時(shí)間和失效時(shí)間的分布是Phase-type分布，研究了幾類特殊的具有兩元件的隨機(jī)退化模型，并給出各模型的Q矩陣及其他感興趣的量．

Phase-type分布；串聯(lián)系統(tǒng)；并聯(lián)系統(tǒng)；冷儲(chǔ)備系統(tǒng)，可靠性

Phase-type分布于1975年Neuts[1]引入，從此，PH分布就被廣泛的應(yīng)用在通訊、金融、生物統(tǒng)計(jì)、排隊(duì)論、生存分析[2]、可靠性[3]等領(lǐng)域．PH分布之所以能應(yīng)用的如此廣泛，主要是因?yàn)樗麄儤?gòu)成了一類定義在非負(fù)實(shí)數(shù)空間的靈活的分布類．比如，在可靠性領(lǐng)域，當(dāng)PH分布取代指數(shù)分布后，他們的公式表示仍然保持著馬爾科夫結(jié)構(gòu)，這對問題的研究很有利，1917年，Erlang[4]第一個(gè)用階段法推廣指數(shù)分布，Neuts[5]推廣了Erlang的階段法，通過定義一個(gè)PH隨機(jī)變量，這個(gè)隨機(jī)變量表示，在一個(gè)具有吸收態(tài)有限連續(xù)的馬氏過程中，從某個(gè)狀態(tài)出發(fā)直到吸收狀態(tài)轉(zhuǎn)移所花的時(shí)間，然后引入了PH分布．最近，關(guān)于PH分布的文獻(xiàn)也很多[6-10]．現(xiàn)有的關(guān)于可靠性研究的大部分文章，所涉及的概率分布均假定是指數(shù)分布，這有一定的局限性，phase-type分布可以任意的近似其它分布，這就是研究本文的意義所在．特別是在原有的模型中，例如串聯(lián)、并聯(lián)、冷儲(chǔ)備等常用的系統(tǒng)，均沒有利用phase-type分布進(jìn)行研究的．鑒于此，本文主要研究串聯(lián)、并聯(lián)、冷儲(chǔ)備這幾種特殊的系統(tǒng)．每個(gè)系統(tǒng)中的元件具有退化效應(yīng)，通過模型給出各個(gè)系統(tǒng)的Q矩陣及主要指標(biāo)．

1 基本定義

定義1一個(gè)具有狀態(tài)空間1,,m+1的馬爾科夫過程，它的轉(zhuǎn)移率矩陣為

2 串聯(lián)系統(tǒng)

眾所周知，在馬爾科夫可修系統(tǒng)下，矩陣與初始向量給出后，其他各項(xiàng)指標(biāo)均能如愿獲得，見文獻(xiàn)[11]．

3 并聯(lián)系統(tǒng)

4 冷儲(chǔ)備系統(tǒng)

系統(tǒng)由2個(gè)不同元件和一個(gè)修理設(shè)備組成，第i（i=1,2）個(gè)元件的壽命Xi的分布為PHi,T i，序?yàn)閙i，故障后的修理時(shí)間Yi的分布為PHi,S i，序?yàn)閚i．若2個(gè)元件都正常工作，則一個(gè)部件工作，另一個(gè)部件作冷儲(chǔ)備，工作部件發(fā)生故障時(shí)，儲(chǔ)備部件立即替換而轉(zhuǎn)為工作狀態(tài)，修理設(shè)備立即對故障部件進(jìn)行修理，當(dāng)修理設(shè)備正在修理某個(gè)故障部件時(shí)，另一個(gè)故障部件必須等待修理，修理好的部件或進(jìn)入儲(chǔ)備狀態(tài)或立即進(jìn)入工作狀態(tài)，這個(gè)模型可作為具有m1+m2+m1n2+n1m2+n1+n2個(gè)狀態(tài)的馬氏過程來研究，狀態(tài)空間可被分為6個(gè)狀態(tài)集，狀態(tài)集表示為0，1，2，3，4，5．

狀態(tài)集0：元件1正常工作，元件2儲(chǔ)備，狀態(tài)集用單點(diǎn)集i來表示，1im1．

狀態(tài)集1：元件2正常工作，元件1儲(chǔ)備，狀態(tài)集用單點(diǎn)集j來表示，1jm2．

狀態(tài)集2：元件1工作，元件2修理，狀態(tài)集用數(shù)對i,j來表示，其中：1im1，1jn2．

狀態(tài)集3：元件2工作，元件1修理，狀態(tài)集用數(shù)對i,j來表示，其中：1in1，1jm2．

狀態(tài)集4：元件1修理，元件2待修，狀態(tài)集用單點(diǎn)i來表示，1in1．

狀態(tài)集5：元件2修理，元件1待修，狀態(tài)集用單點(diǎn)j來表示，1jn2．

同理，給定Q矩陣?yán)鋬?chǔ)備系統(tǒng)的各項(xiàng)指標(biāo)也能求得．

5 數(shù)值算例

5.1 從Q矩陣出發(fā)，求系統(tǒng)可靠性的穩(wěn)態(tài)指標(biāo)和平均指標(biāo)

5.2 系統(tǒng)首次故障前的平均時(shí)間（MTTFF）

若令狀態(tài)3和4為吸收態(tài)，得Q的子矩陣

5.3 系統(tǒng)的可靠性（詳見文獻(xiàn)[11]）

5.4 數(shù)值例子

6 結(jié)論

本文利用Phase-type分布的形式，構(gòu)建了馬爾科夫模型，并針對串聯(lián)系統(tǒng)、并聯(lián)系統(tǒng)、冷儲(chǔ)備系統(tǒng)模型，給出了各個(gè)系統(tǒng)隨機(jī)退化模型的Q矩陣．然后，在馬氏可修系統(tǒng)中，通過一個(gè)數(shù)值算例驗(yàn)證了本文的結(jié)論．

[1]Neuts MF．Probability distributions of phase type[J]．Liber Amicorum Prof Emeritus H Florin，Dept Math Univ Louvain，1975，66：173-206．

[2]FackrellM．Characterizationofmatrix-exponentialdistributions[D]．SouthAustrlia：SchoolofAppliedMathematics，UniversityofAdelaide，2003．

[3]Faddy M J．Compartmental models with phase-type esidence-time distributions[J]．Appl Stoch Models Data Anal，1990，6：121-127．

[4]ErlangAK．Solutionofsomeproblemsinthetheoryofprobabilitiesofsignificanceinautomatictelephoneexchanges[J]．PostOffElectrEng，1917，10：189-197．

[5]Neuts M F．Matrix-geometric solutions in stochastic models—An algorithm approach[M]．Baltimore：John Hopkins University Press，1981．

[6]Montoro-Cazorla D，Pérez-Ocón R，SegoviaMC．Shockandwear modelsunder policyNusingphase-type distributions[J]．AppliedMathematical Modelling，2009，33：543-554．

[7]Montoro-CazorlaD，Pérez-OcónR，SegoviaM C．ReplacementpolicyinasystemundershocksfollowingaMarkovianarrival process[J]．Reliability Engineering and System Safety，2009，94：497-502．

[8]Montoro-Cazorla D，Pérez-OcónR．Twoshockand wear systems under repair standinga finite number of shocks[J]．EuropeanJournal Operational Research，2011，214：298-307．

[9]Montoro-Cazorla D，Pérez-Ocón R．Shock and wear degradating systems under three types of repair[J]．Applied Mathematics and Computation，2012，218：11727-37．

[10]Montoro-CazorlaD，Pérez-OcónR．Ashockandwearsystemunder environmentalconditionssubjecttointernalfailuresrepairandreplacement[J]．Reliability Engineering and System Safety，2012，99：55-61．

[11]曹晉華，程侃．可靠性數(shù)學(xué)引論[M]．北京：高等教育出版社，2006．

[責(zé)任編輯 楊屹]

The use of Phase-type distribution in stochastic degradation model

ZHANG Quan1,2，ZHANG Jinzhu3，HAN Yang1，LI Yanjun1

(1.Science College,Qiqihaer University,Heilongjiang Qiqihaer 161006,China;2.School of Mathematics and Statistics,Beijing InstituteofTechnology,Beijing100081,China;3.SchoolofMechanicalEngineering,Hebei UniversityofTechnology,Tianjin300401, China)

Phase-type distributions have a wide application and have been mainly used in various areas of stochastic modeling such as telecommunications,finance,queueing theory,reliability and survival analysis,etc.This research is to utilize the formalismof Phase-type distributions,constructfinite state Markov processes for stochastic degradation model. Assuming that the time-to-failure and repair time distributions are of Phase type,several classes of special stochastic degradation models with two components are studied,and Q matrixes of all models and quantities of interest are given.

Phase-type distribution;series system;parallel system;cold standby redundancy system;reliability

O 213；O211.62

A

1007-2373(2015)04-0038-04

10.14081/j.cnki.hgdxb.2015.04.008

2014-03-16

國家科技支撐計(jì)劃（2013BAK12B0803）；黑龍江省教育廳項(xiàng)目（12541900）

張權(quán)（1978-），男（漢族），講師，博士生，zhangquan122400@163.com．